Probabilidade Lista 6 - Variáveis Aleatórias Contínuas e Vetores Aleatórios

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1 Probabilidade Lista - Variáveis Aleatórias Contínuas e Vetores Aleatórios Exercício. Uma v.a. X tem distribuição triangular no intervalo [0, ] se sua densidade for dada por 0, x < 0 cx, 0 x /2 c( x), /2 x 0, x > Encontre a constante c, esboce o gráco de f e calcule P (X /2), P (X > /2) e P (/4 X 3/4). Calcule também a esperança e o desvio padrão de X. Respostas: c = 4, P (X /2) = P (X > /2) = /2, P (/4 X 3/4) = 3/4, E(X) = /2 e DP (X) = /24. Exercício 2. Suponha que estamos atirando dardos num alvo circular de raio 0 cm, e seja X a distância do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A densidade de X é kx, 0 x 0 Qual a probabilidade de acertar o centro do alvo, se esse for um círculo de cm de raio? Mostre que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico é proporcional à sua área. Resposta: /00. Exercício 3. Calcule a esperança e o desvio padrão da v.a cuja densidade é sen(x), 0 x π/2 Além disso, esboce o gráco de f. Respostas: E(X) = e DP (X) = π. Exercício 4. A demanda diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma v.a. com densidade 2x/3, 0 x < x/3 +, x < 3 Qual a probabilidade de se vender mais do que 50 kg, num dia escolhido ao acaso? Em 30 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender? Qual a quantidade de arroz que deve ser daixada à disposição dos clientes diariamente para que não falte arroz em 95% dos dias? Respostas: 0,375, e 245kg. Exercício 5. A temperatura T de destilação do petróleo é crucial na determinação da qualidade nal do produto. Suponha que T seja considerada uma v.a. com distribuição uniforme no intervalo (50, 300). Suponha que o custo para produzir um galão de petróleo seja c reais. Se o óleo for destilada a uma temperatura inferior a 200, o produto obtido é vendido a c 2 reais; se a temperatura for superior a 200, o produto é vendido a c 3 reais. Faça o gráco da densidade de T. Qual o lucro médio por galão? Resposta: E(L) = (2/3)c 3 + (/3)c 2 c. Exercício. Se X N(0, 4), calcule P (8 < X < 0), P (9 X 2), P (X > 0) e P (X < 8 ou X > ). Respostas: 0,343, 0,5327, 0,50 e 0,473. Exercício 7. Para X N(00, 00), calcule P (X < 5), P (X 80) e P ( X 00 0). Obtenha o valor de a tal que P (00 a X 00 + a) = 0, 95. Respostas: 0,933, 0,977, 0,83 e a = 9,.

2 Exercício 8. Para X N(µ, σ 2 ), calcule P (X µ + 2σ), P ( X µ σ). Encontre o número b tal que P (X > b) = 0, 90. Respostas: 0,9772, 0,82 e b =, 28σ + µ. Exercício 9. As alturas de alunos de um colégio têm distribuição normal com média 70 cm e desvio padrão 5 cm. Qual o número esperado de alunos com altura superior a 5 cm? Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos? Respostas: 943 e [4, 25; 75, 75]. Exercício 0. Suponha que um mecanismo eletrônico tenha um tempo de vida X (em.000 horas) que possa ser considerado uma v.a. contínua com densidade e x, x > 0 Suponha que o custo de fabricação de um item seja R$2,00 e o preço de venda seja R$5,00. O fabricante garante total devolução do dinheiro se X 0, 9. Qual o lucro esperado por item? Resposta: 0,033. Exercício. De um lote de produtos manufaturados, extraímos 00 itens ao acaso; se 0% dos itens do lote são defeituosos, calcule, utilizando a aproximação da binomial pela normal, a probabilidade de exatamente 2 itens serem defeituosos. Resposta: 0,043. Exercício 2. A distribuição dos pesos de coelhos criados numa granja é normal, com média de 5 kg e desvio padrão de 0,8 kg. Um abatedouro comprará coelhos e pretende classicá-los de acordo com o peso, dos eguinte modo: 20% dos mais leves como pequenos, os 55% seguintes como médios, os 5% seguintes como grandes e os 0% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classe? Respostas: 4,33, 5,54 e,02. Exercício 3. A v.a. contínua X, assumindo valores positivos, tem uma distribuição gama com parâmetros α > 0 e β > 0, se sua densidade for dada por Γ(α)β x α e x/β, x > 0 α 0, x < 0, onde Γ(α) é a função gama, importante em muitas áreas da Matemática, dada por Γ(α) = 0 e x x α dx, α > 0. A distribuição gama dá origem a outras importantes distribuições, quando particularizamos seus parâmetros; por exemplo, se α =, obtemos a distribuição exponencial; se α = ν/2 e β = 2, obtemos a distribuição Qui-quadrado com ν graus de liberdade. a) Prove que se α > 0, então Γ(α + ) = αγ(α). b) Prove que se α for um inteiro positivo, então Γ(α) = (α )!. c) Sabendo-se que e y2 dy = π, mostre que Γ(/2) = π. d) Prove que a média e a variância de uma v.a. X com distribuição gama são, respectivamente, αβ e αβ 2. Exercício 4. Uma v.a. X possui a seguinte densidade: x/2, x 0 x/2, 0 < x /2, < x 2 Obtenha a função de distribuição F de X. Esboce os grácos de f e F. 2

3 Exercício 5. Seja X uma v.a. contínua com função de distribuição dada por: 0, x 0 x 2 /2, 0 < x /2 F (x) = x 3, /2 < x, x > Verique que F satisfaz as propriedades de uma função de distribuição. Obtenha a densidade de X. Esboce os grácos de f e F. Resposta: x, 0 < x /2 3x 2, /2 < x Exercício. Uma v.a. contínua X tem densidade dada por: c, x < 0 2/3, 0 x < 2c, x < 3/2 Determine a função de distribuição de X. Calcule P (X > /2 X /2). Esboce os grácos de f e F. Respostas: P (X > /2 X /2) = 5/ e F (x) = 0, x (x + ), < x 0 (4x + ), 0 < x (2x + 3), < x 3/2, x 3/2 Exercício 7. Lançam-se, simultaneamente, uma moeda e um dado. a) Obtenha a tabela de distribuição conjunta, considerando X o número de caras no lançamento da moeda e Y o número da face do dado. b) Verique se X e Y são independentes. Resposta: sim. c) Calcule P (X = ), P (X ), P (X < ), P (X = 2, Y = 3), P (X 0, Y 4) e P (X = 0, Y ). Respostas: /2,, /2, 0, 2/3 e /2. Exercício 8. A tabela abaixo dá a distribuição conjunta de X e Y. Y \X , 0, 0, 0,2 0 0, , 0, a) Obtenha as esperanças e variâncias de X e Y. Respostas: E(X) = 2, 2, V ar(x) = 0, 7, E(Y ) = 0, 9 e V ar(y ) = 0, 49. b) verique se X e Y são independentes. Resposta: não são independentes. c) Calcule P (X = Y = 0), P (Y = 2 X = 3), P (X 2) e P (X = 2 Y ). Respostas: /3, /5, /2 e /3. d) Calcule o coeciente de correlação entre X e Y. Resposta: 0,97. 3

4 Exercício 9. Dois tetraedros com faces numeradas de um a quatro são lançados e os números voltados para baixo são anotados. Sejam X o maior número observado, Y o menor número observado e Z = X + Y. a) Construa a tabela da distribuição conjunta de X e Y. b) Determine as médias e as variâncias de X, Y e Z. Respostas: E(X) = 3,, V ar(x) = 0, 8, E(Y ) =, 8, V AR(Y ) = 0, 8, E(Z) = 5 e V ar(z) = 2, 5. Exercício 20. As v.a's X e Y têm distribuição conjunta dada por 8x(x y), 0 < x < 2, x < y < x a) Faça um gráco do domínio de variação de x e y. b) Prove que f(x, y)dxdy =. c) Encontre as distribuições marginais de X e Y. d) Encontre P (X ). Resposta: /. e) Determine f X Y (x y) e f Y X (y x). Exercício 2. Suponha que as v.a's X e Y tenham distribuição conjunta dada por e (x+y), x > 0, y > 0 a) Encontre as distribuições marginais de X e Y. b) Calcule P (0 < X <, < Y < 2). Resposta: ( e )(e e 2 ). c) Calcule ρ(x, Y ). Resposta: 0. d) Determine f X Y (x y) e f Y X (y x). e) Determine E(Y x) e E(X y). Exercício 22. Determine as densidades marginais e condicionais para o vetor (X, Y ) com distribuição conjunta dada por 4 (x + y), 0 x 4, 0 y 4 Exercício 23. Determine as densidades marginais e condicionais para o vetor (X, Y ) com distribuição conjunta dada por 3e (x+3y), x > 0, y > 0 Determine também, E(Y x) e E(X y). Exercício 24. Desejamos comparar a relação entre o número de lhos (X) e anos de escolaridade do pai (Y ) em famílias de dois bairros (A e B) periféricos da cidade. Apesar dos bairros terem características próximas, suspeita-se que a intensidade da dependência entre essas variáveis seja diferente nos dois bairros. Para cada bairro, a distribuição conjunta é dada abaixo. 4

5 X A \Y A ,0 0,02 0,05 0,03 0,0 3 0,05 0,05 0,09 0,08 0,0 4 0, 0,0 0,0 0,3 0, X B \Y B ,0 0,0 0,03 0,08 0,09 3 0,04 0,07 0,0 0,0 0,05 4 0,2 0,3 0, 0,09 0,05 Calcule, para cada bairro, o coeciente de correlação e tire suas conclusões sobre as variáveis X e Y. Resposta: para o bairro A, temos ρ XA,Y A = 0, 02 e para o bairro B, temos ρ XB,Y B = 0, 58. Para os dois bairros, o sinal negativo no coeciente de correlação indica que o aumento nos anos de escolaridade do pai, tende a provocar um decrescimento no número de lhos nas famílias. No entanto, essa relação linear é muito mais forte no bairro B do que no bairro A. Exercício 25. Numa comunidade em que apenas dez casais trabalham, fez-se um levantamento no qual foram obtidos os seguintes valores para os rendimentos anuais: Casal Rendimento do homem (X) Rendimento da mulher (Y ) Um casal é escolhido ao acaso entre os dez. a) X e Y são v.a's independentes? Justique. Resposta: não. b) Calcule o coeciente de correlação entre X e Y. Resposta: 0,4. c) Considere a v.a. igual à soma dos rendimentos de cada homem e mulher. Calcule a média e a variância de Z. Resposta: E(Z) = 7, 5 e V ar(z) =, 25. 5