Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

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Luciano Wagner Fialho
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1 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 1 / 1

2 A distribuição t de Student é uma das distribuições mais utilizadas na estatística, com aplicações que vão desde a modelagem estatística até testes de hipóteses. Definição 15.1: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição t de Student com ν graus de liberdade, denotada por t ν, se sua função densidade for dada por: f(x) = 1 Γ ν+1 2 νπ Γ 1 + x 2 ν+1 2, ν = 1,2,3,... x ν ν 2 A expressão acima é assustadora???? Boa Notícia: Não precisaremos dela para calcular probabilidades. Mais uma vez, o parâmetro ν, chamado de graus de liberdade, está associado ao número de parcelas independentes em uma soma. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 2 / 1

3 Propriedades da distribuição t de Student Propriedades E(X) = 0 para ν > 1 Var(X) = ν ν 2, para ν > 2 A função geradora de momentos da t de Student não está definida para todos os graus de liberdade, entretanto podemos encontrar os momentos da função t de Student para alguns graus de liberdade. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 3 / 1

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7 Principais Características Cada número de graus de liberdade da origem a uma distribuição t diferente. A função densidade tem a mesma forma em sino da distribuição Normal, mas reflete uma maior variabilidade (com curvas mais alargadas) que é de se esperar em amostras pequenas. A distribuição t-student se aproxima da normal quando aumenta o número de graus de liberdade. A curva é simétrica em torno do zero, ou seja, dado um a, tem-se que f(a) = f( a). Logo P(X a) = P(X a). Se ν = 1 então f(x) = 1 para todo x. Esta distribuição é π(1+x 2 ) denominada distribuição de Cauchy. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 7 / 1

8 Ao contrário da distribuição normal, não existe uma relação entre as diferentes distribuições t, assim seria necessária uma tabela para cada valor de ν. É comum que os livros didáticos apresentem tabelas da distribuição t que envolvem os valores críticos. O motivo para isso é que a maioria das aplicações da distribuição t envolve a construção de intervalos de confiança ou de testes de hipóteses. Nessas aplicações, nosso interesse está no valor crítico associado a um nível de significância α que, como visto no gráfico a seguir, é o valor da abscissa que deixa probabilidade (área) α acima dela. Na tabela t, cada linha corresponde a um número diferente de graus de liberdade e cada coluna corresponde a uma área α na cauda superior. No corpo da tabela temos a abscissa t α que deixa a área α acima dela. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 8 / 1

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10 Exemplo de Tabela t de Student Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 10 / 1

11 Teorema 15.1: Sejam Y e Z variáeis aleatórias independentes, Y sendo normalmente distribuída com média 0 e variância 1, e Z tendo distribuição qui-quadrado com ν graus de liberdade. Então, a variável T = Y Z/ν tem distribuição t de Student com ν graus de liberdade. Observação 15.1: Considere X 1,X 2,...,X n variáveis aleatórias independentes com distribuição normal com média µ e desvio padrão σ. Então, a variável t = X µ s/ n onde s é o desvio padrão amostral, tem distribuição t de Student com n 1 graus de liberdade. Este fato é decorrente do teorema acima. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 11 / 1

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