2º LISTA DE EXERCÍCIO

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1 DISCIPLINA: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA I Prof. Luiz Medeiros PERÍODO: º LISTA DE EXERCÍCIO 1) Em uma empresa de cerâmica sabe-se que existe em média 0,1 defeito por m 2. Um comprador analisa uma área de 5m x 4m de piso e decide comprar dessa marca se encontrar no máximo 1 defeito nesta área. Qual a probabilidade do comprador comprar desta marca de cerâmica? 2) Estudos anteriores mostram que a temperatura de um pasteurizador segue uma distribuição normal com média 75,4 o C e desvio padrão 2,2 o C. Sabe-se que se a temperatura ficar inferior a 70 o C, o leite poderá ficar com bactérias maléficas. a) Qual a probabilidade do leite ficar com bactérias maléficas? b) Considerando 1000 utilizações de um pasteurizador em quantas a temperatura deve ser inferior a 70 o C podendo prejudicar o leite? c) Qual a probabilidade de que em 10 utilizações do pasteurizador em nenhuma o leite fique com bactérias maléficas? 3) Uma caixa contém duas bolas brancas e três pretas. Quatro pessoas A, B, C e D retiram cada uma, nessa ordem, uma bola não a restituindo a caixa. A primeira pessoa a retirar a bola branca receberá R$ 10,00. Determine as esperanças de cada uma das pessoas vencerem. 4) O tempo T em minutos necessário para um operário processar certa peça, é uma V.A. com a seguinte distribuição de probabilidade: T p 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 a) Calcule o tempo médio de processamento b) Para cada peça processada o operário ganha um fixo de R$ 2,00, mas se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha a mais 0,50 por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em 4 minutos recebe a quantia adicional de R$ 1,00. Encontre a distribuição de probabilidade, a esperança e a variância da quantia ganha por peça. 5) Determinado tipo de parafuso tem geralmente 10% de defeituosos. Normalmente este parafuso é vendido em caixas com 1000 peças e cada caixa é vendida por 13,50. Um comprador faz a seguinte proposta: de cada caixa, ele escolhe uma amostra de 20 peças; se a caixa tiver 0 defeituoso ele paga 20,00; 1 ou 2 defeituosos ele paga 10,00; 3 ou mais defeituosos ele paga 8,00. É mais vantajoso para o fabricante aceitar a proposta do comprador? 6) Suponha que 300 erros de impressão sejam distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. Encontre a probabilidade de uma dada página conter mais de 2 erros. 7) Uma máquina de apostas tem dois discos que funcionam independentemente um do outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 M, 3 B, 2 P, 1 L. Uma pessoa paga R$ 90,00 e aciona a máquina. Se aparecerem dois M ganha R$ 50,00; se aparecerem dois B ganha R$ 90,00; se aparecerem dois P ganha R$ 150,00; se aparecerem dois L ganha R$ 190,00; se aparecer uma configuração diferente a pessoa perde R$20,00. Seja Y é a variável aleatória lucro: a) Encontre a função de probabilidade de Y; b) Calcule o lucro esperado. Você apostaria neste jogo?

2 8) De um lote que contém 30 peças, das quais 5 são defeituosas, escolhemos 4 ao acaso. Seja Z a variável aleatória que representa o número de defeituosas encontradas. Estabeleça a função de probabilidade de Z quando: a) As peças forem escolhidas com reposição; b) As peças forem escolhidas sem reposição. 9) Remessas de carne são feitas periodicamente por um grande frigorífico industrial. O período de entrega, isto é, o tempo transcorrido entre o recebimento do pedido e a entrega da carne, é uma variável aleatória X (medida em dias), com a seguinte função de probabilidade. P(X = x) = k( 9 x), x = 4,5,6,7 0, para outros valores Determinar: a) O valor da constante k; b) A probabilidade de ocorrer no mínimo 5 dias para o período de entrega. 10) Estatísticas de tráfego revelam que 30% dos veículos interceptados numa auto-estrada não passam no teste de segurança. De 4 veículos interceptados aleatoriamente, calcule a probabilidade de que não passe no teste de segurança: a) Nenhum deles b) Todos eles; c) Exatamente um; d) Pelo menos um; e) Exatamente 50% deles. f) Se forem interceptados aleatoriamente 40 veículos, qual o número esperado de veículos que passem no teste de segurança? 11) A demanda diária de um produto, em centenas de kg, é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade (f.d.p) dada por: 2 x, se 0 < x < 1 3 f ( x) = 1, se1 < x < 3 3 0, demais casos a) Qual a probabilidade que, em dado dia, se venda mais de 2 centenas de quilos? b) Determine a função de distribuição acumulada F e calcule F(1,5). c) Calcule a demanda esperada e sua variância. 12) Uma variável aleatória X assume valores no intervalo de 0 a 10, e seu comportamento, neste intervalo, pode ser descrito pôr uma parábola do tipo f(x)=ax 2 + bx + c onde f(0)=f(10)=0. Determinar os valores de a,b e c com que fazem f(x) ser uma função densidade de probabilidade; 13) Suponha que o vão de uma porta em construção deve ser utilizada pôr pessoas que tem altura normalmente distribuída com média 180 cm e desvio padrão 8 cm. a) Qual é a altura do vão da porta, para que 2% das pessoas que passem pôr ele abaixem-se, evitando assim, bater com a cabeça no mesmo?

3 b) Se o vão da porta for construído com 1,85cm de altura, dentre 1000 pessoas, quantas passariam pela porta sem se curvar? 14) O número médio de componentes defeituosos por certo tipo de aparelho eletrônico é de 1,8. a) Calcule a média e o desvio padrão dessa distribuição. b) Calcular a probabilidade de um aparelho apresentar no máximo 2 componentes defeituosos. 15) Seja X uma variável aleatória denotando o tempo (em horas) necessário para produzir um determinado artigo, com função densidade de probabilidade dada por: 0, 4( x + 1) se 1 x 2 f ( x) = 0, outros valores a) Calcule o tempo esperado na produção do artigo. b) O lucro (em US$) que o produtor tem sobre um artigo é dado por Y = 3 - X 2. Calcule o lucro esperado por artigo, usando E(Y) = 3 - E(X2). 16) Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus na pista, havia em média um estouro de pneu a cada 5000 km. a) Qual a probabilidade que num teste de 3000 km haja no máximo um pneu estourado? b) Qual a probabilidade de que um carro ande 8000 km sem estourar nenhum pneu? 17) Um avião tem 4 turbinas (2 em cada lado). Sabe-se que a probabilidade de cada turbina falhar numa viagem RIO-PARIS é 8,5%(falhas independentes entre si).calcular numa viagem dessas: a) A probabilidade de que haja êxito no vôo, sabendo-se que o avião pode voar com até 2 turbinas funcionando; b) O número esperado, numa viagem, de turbinas que deixam de funcionar. 18) A média dos diâmetros internos das arruelas produzidas por uma máquina é 0,502 polegadas e o desvio padrão é 0,005 polegadas. A finalidade para a qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o diâmetro, de 0,496 a 0,508 polegadas. Se isso não se verificar, as arruelas serão consideradas defeituosas. Determine a porcentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente. 19) Se a variável aleatória X N(µ,σ2). Calcular: P(X µ+2σ); P(X µ) e P( X-µ σ). Determinar o número k tal que: P(µ-kσ < X < µ+kσ) = 0,99 e P(X > k) = 0,33. 20) O Departamento de Marketing da empresa resolve premiar 5% dos seus vendedores mais eficientes. Um levantamento das vendas individuais por semana mostrou que elas se distribuíam normalmente com média u.m. e desvio padrão u.m. Qual o volume de vendas mínimo que um vendedor deve realizar para ser premiado? 21) Um fabricante de máquinas de lavar sabe, por experiência, que a duração de suas máquinas tem distribuição normal com média 915 dias e desvio padrão de 200 dias. Ele oferece uma garantia de um ano e produz mensalmente 2000 máquinas. Quanta se espera trocar pelo uso da garantia dada, mensalmente? 22) Duas cartas são selecionadas aleatoriamente de uma caixa que contém 5 cartas numeradas 1,1,2,2 e 3. Seja X a soma e Y o máximo dos dois números obtidos. Encontre a distribuição de probabilidade, a função de distribuição acumulada, a média e a variância de i)x, ii)y, iii)x+y.

4 23) Em um teste do tipo certo-errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de um aluno, respondendo as questões ao acaso, acertar 70% das perguntas? 24) Para avaliar um lote de transformadores o departamento de qualidade de uma empresa selecionou aleatoriamente 10 transformadores. O lote é aceito se não existir item defeituoso na amostra. Supondo que o processo produtivo desses transformadores gera um percentual de 3% de defeituosos, responda: a) Qual a probabilidade de que o lote venha a ser aceito? b) Ao analisar 8 lotes de transformadores, com amostras aleatórias de 10 itens em cada lote, qual a probabilidade de que no máximo um lote seja rejeitado? 25) Um tipo de cimento tem resistência à compressão média de 5800 kg/cm2, com desvio padrão igual a 180 kg/cm2. Dada uma amostra desse cimento e supondo distribuição normal calcule as seguintes propriedades. a) Resistência inferior a 5600 kg/cm2 b) Resistência superior a 6000 kg/cm2. c) Para que haja uma garantia de 95% de que o cimento resista a uma determinada carga, qual deve ser o valor dessa carga? ( x+ 1) 2 26) Dada a função P ( X = x) =, x = 0,1, 2, a) Verifique se a função acima é uma função de probabilidade. b) Construa a função de distribuição acumulada e esboce o gráfico. c) Calcule P(X>1). d) Calcule E(X + 2) e V(2X). 27) Um teste para seleção de funcionários de indústria é constituído de cinco questões. Admita que quantidade de questões respondidas corretamente por um candidato seja uma V.A. X que tem a seguinte função de probabilidade: ( 2k + 1) P( X = k ) =, k = 0, 1, 2, 3, 4, a) Qual é a probabilidade, de que o candidato responda corretamente a pelos menos uma questão do teste? 35/36 b) Qual é a probabilidade de que o candidato não erre nenhuma questão do teste? 11/36. c) Espera-se, que o candidato erre quantas questões do teste? aproximadamente 2 d) O candidato só é aprovado, se responder corretamente a mais de duas questões do teste. É verdade o fato de que ele tem mais de 80% de chance para ser aprovado no teste? explique porque. 28) Uma V.A. Contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade K, 0 x < 2 f ( x) = K( x 1), 2 x < 4 0, casocontrário Encontre, a) O valor de K. b) A Função de Distribuição Acumulada F(x). c) P(1<X<3). d) E(X) e Var(X).

5 29) Seja X uma variável aleatória contínua representando a demanda mensal (em toneladas) para um produto químico, com a seguinte função densidade de probabilidade: 0, 02x, para 0 x 10 f( x) = 0, para outros valores Determinar: a) P(1 X 9). b) E(X) e Var(X). c) Determine a função de distribuição acumulada. d) Admita que o lucro mensal, L (em centenas de R$), como uma função da demanda, é: L = X 2 + X Determine o lucro mensal esperado. 30) Num determinado cruzamento de João Pessoa, o semáforo luminoso apresenta em média 1 defeito a cada semana. a) Qual a probabilidade de numa semana qualquer haver no máximo 2 defeitos no semáforo? b) Em um período de 2 meses (isto é, 8 semanas), qual a probabilidade de exatamente 2 semanas apresentarem no máximo 1 defeito no semáforo por semana? 31) Foguetes são lançados até que o primeiro lançamento bem sucedido tenha ocorrido Se isso não ocorrer até 5 tentativas, o experimento é suspenso e o equipamento inspecionado. Admita que exista uma probabilidade constante de 0.8 de haver um lançamento bem sucedido e que os sucessivos lançamentos sejam independentes. Suponha que o custo do primeiro lançamento seja R$ K, enquanto que os lançamentos subseqüentes custam R$ K/3. Sempre que ocorre um lançamento bem sucedido há um ganho financeiro de R$ 1000,00. Se K=300, obtenha a distribuição de probabilidade do lucro. Qual o lucro esperado? 32) A porcentagem de álcool em certo composto pode ser considerado como uma variável aleatória com a seguinte f.d.p.: f(x)=20x 3 (1-x), 0 < x < 1 a) Obtenha a função de distribuição e esboce seu gráfico b) Qual a probabilidade da porcentagem de álcool ser no máximo 2/3? c) O preço de venda desse composto depende do conteúdo de álcool. Se 1/3<x<2/3 o galão do composto é vendido por R$ C1, caso contrário ele é vendido por R$ C2. Se o custo for R$ C3, obtenha a distribuição de probabilidade do lucro líquido por galão. Qual o lucro esperado? 33) Um lote de 10 motores elétricos deve ser ou totalmente rejeitado ou vendido, dependendo do resultado do seguinte procedimento: dois motores são escolhidos ao acaso e inspecionados. Se um ou mais forem defeituosos, o lote será rejeitado; caso contrário, será aceito. Suponha que cada motor custe R$ 75,00 e seja vendido por R$ 100,00. Se o lote contiver 1 motor defeituoso, qual será o lucro esperado do fabricante? E o desvio padrão do lucro? 34) Suponha que um livro de 585 páginas contenha 43 erros tipográficos. Se esses erros estiverem aleatoriamente distribuídos pelo livro, qual a probabilidade de que 10 páginas, escolhidas ao acaso, estejam livres de erros?

6 35) Suponha que a duração de vida de dois dispositivos eletrônicos, D1 e D2, tenham distribuições N(40, 36) e N(45, 9), respectivamente. Se o dispositivo eletrônico tiver que ser usado por um período de 45 horas, qual dos dispositivos deve ser preferido? E se tiver de ser usado por um período de 48 horas? 36) Renata e Matheus vão para uma festa. O caminho para chegar a festa pode ser dividido em três etapas. Sem enganos o trajeto é feito em 1 hora. Se enganos acontecem na primeira etapa, acrescente 10 minutos ao tempo do trajeto. Para enganos na segunda etapa, o acréscimo é 20 e, para a terceira, 30 minutos. Admita que a probabilidade de engano é 0.1; 0.2 e 0.3 para a primeira, segunda e terceira etapas, respectivamente. a) É provável haver atraso na chegada à festa? b) Determine a probabilidade de haver atraso, e o atraso não passar de 40 minutos. c) Determine o tempo médio gasto no trajeto.