3 3. Variáveis Aleatórias

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1 ÍNDICE 3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS VARIÁVEIS DISCRETAS FUNÇÃO DE PROBABILIDADE E FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Função de probabilidade Função distribuição de probabilidade VARIÁVEIS CONTÍNUAS FUNÇÃO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE E FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Função densidade de probabilidade Função de distribuição de probabilidade PARÂMETROS DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Valor médio ou valor esperado Variância e desvio padrão Mediana Relação entre a média e a mediana VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS Variáveis aleatórias bidimensionais discretas Função de probabilidade conjunta Função de distribuição conjunta Funções de probabilidade marginal Variáveis aleatórias bidimensionais contínuas Função de densidade de probabilidade conjunta Função de distribuição conjunta Funções de densidade de probabilidade marginal RELAÇÕES ENTRE AS VARIÁVEIS X E Y Funções de (densidade de) probabilidade condicionais Covariância Coeficiente de correlação linear Independência das variáveis aleatórias X e Y...2 i

2 Capítulo 3 3. Variáveis Aleatórias 3.. Variáveis Aleatórias Unidimensionais As variáveis aleatórias (v.a.) aparecem com a necessidade de representar os resultados de uma experiência aleatória através de números reais. Em muitas situações o conjunto de valores que uma variável toma confunde-se com o próprio espaço de resultados. Uma variável aleatória pode definir-se como uma função definida num espaço de resultados S e que tem como contradomínio números reais. As variáveis aleatórias classificam-se em discretas ou contínuas consoante o tipo de conjunto de valores que elas podem tomar. Variável discreta: quando a variável assume valores num conjunto finito ou infinito numerável. Variável contínua: quando a variável assume valores de um conjunto infinito não numerável. As variáveis representam-se por letras maiúsculas (tipicamente, X, Y, Z, W,...) e os valores que estas podem tomar pelas correspondentes minúsculas correspondentes (x, y, z, w,...). Exemplo 3.: Experiência aleatória: Medição do peso de uma pessoa escolhida ao acaso. Espaço de resultados: Conjunto de todos os pesos atribuíveis a uma pessoa. Variável aleatória: O peso da pessoa, que pode tomar qualquer valor do espaço de resultados. Existem no entanto outras situações em que os valores da variável aleatória não são os resultados do espaço de resultados mas sim uma transformação destes. 49

3 Exemplos 3.2: Experiência aleatória: Lançamento de dois dados. Espaço de resultados: Conjunto dos valores obtidos pelos dois dados, num total de trinta e seis resultados possíveis (#S3) {( : x, y, 2, 3, 4, 5, } S Variável aleatória: Seja X a variável aleatória que representa a soma dos números dos pontos dos dois dados. Esta v.a. pode tomar qualquer valor inteiro do número 2 ao número 2: ( S) { 2, 3, 4,..., 2} X. Mas no mesmo espaço de resultados poder-se-ia definir outra variável aleatória Variável aleatória: Seja Y a variável aleatória que representa a diferença, em valor absoluto, dos números dos pontos dos dois dados. Esta v.a. pode tomar qualquer valor inteiro do número 0 ao número 5: ( S) { 0,, 2, 3, 4, 5} Y. Exemplos 3.3: A variável resultado do lançamento de um dado é discreta (assume os valores, 2, 3, 4, 5 ou ). A variável que representa o tempo que um atleta leva a completar a prova dos 00 m é contínua se admitirmos que é medida com precisão absoluta Variáveis discretas Função de probabilidade e função distribuição de probabilidade Função de probabilidade Seja X uma variável aleatória discreta. Define-se como função de probabilidade (f.p.) a função que associa a cada valor que a variável pode tomar, a probabilidade dessa v.a. tomar esse valor. f ( x) P( X x) () 50

4 . f( x) 0, x 2. f ( x) Exemplo 3.4: Seja X a variável aleatória que representa o resultado do lançamento de um dado equilibrado. A função de probabilidade é definida por: f ( ), f( 2), f( 3), f( 4), f( 5), f( ) e f ( x) 0 para outros valores de x. Em termos de notação e de modo a simplificar, podemos representar a função de probabilidade por meio de uma tabela assumindo que os valores que não aparecem na tabela, têm probabilidade zero de ocorrer. No nosso exemplo teremos então: x f (x) Quando uma v.a. para todos os valores de x onde for ( x) 0 for constante, diz-se que a v.a X tem uma distribuição uniforme (discreta) Função distribuição de probabilidade f o valor de f ( x) Define-se como função de distribuição de probabilidade de uma certa variável aleatória X, a função que associa a cada valor a probabilidade da variável aleatória tomar valor menores ou iguais a esse valor. F( x) P( X x) (2) Da definição resulta que a função de distribuição pode ser calculada em qualquer ponto x através da função de probabilidade: F ( x) P( X x) f( t) (3) t x 5

5 . 0 F( x), x 2. lim F( x) e lim F( x) 0 x + x x 2 > x F( x ) F( x ), x, x ( x < X x ) F( x ) F( x ) P 2 2 Exemplo 3.5: Para o Exemplo 3.4 a função de distribuição de probabilidade é definida por: F( x) 4 5 sex < se x < 2 se 2 x < 3 se 3 x < 4 se 4 x < 5 se 5 x < sex Exemplo 3.: No caso da variável aleatória que definimos no Exemplo 3.4 a função de distribuição de probabilidade toma os seguintes valores para os seguintes exemplos: F ( F ( F ( F ( F ( ) P( X ) f( ) 4 ) P( X 4) f( ) 2) 3) 4) 4. 3) P( X 4. 3) f( ) 2) 3) 4) 0. 8) P( X 0. 8) ) P( X 7. 4) f( ) 2) 3) 4) 5) )

6 3.3. Variáveis contínuas Função de densidade de probabilidade e função de distribuição de probabilidade Sendo X uma variável aleatória contínua, toma valores num conjunto infinito não numerável. A aplicação do conceito de função de probabilidade neste tipo de conjuntos leva a que P( X a) 0, a, ou seja, a probabilidade pontual é sempre nula, o que não implica que o acontecimento seja impossível, quer apenas dizer que à partida é nula a probabilidade de acontecer a saída exacta de a (os valores que X pode tomar são tantos que estamos na presença de um acontecimento raro). Note-se no entanto, que não são nulas as probabilidades definidas sobre intervalos. Nesta situação, deixa de fazer sentido a função de probabilidade. No seu lugar aparece a função de densidade de probabilidade Função densidade de probabilidade A função de densidade de probabilidade (f.d.p.) é uma função que nos indica como a probabilidade de uma variável aleatória continua se distribuí ao longo do intervalo de valores que essa variável pode tomar. Valores de X para os quais a função de densidade toma valores mais elevados representam zonas que têm maior probabilidade de ocorrer quando observamos valores dessa variável Diz-se que f ( x) é a função de densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X se a área limitada por f (x), o eixo dos xx e as rectas x for igual à P( a x b) x a e b b P ( a X b) f( x)dx (4) a. f( x) 0, x + 2. f ( x ) dx Função de distribuição de probabilidade No caso das variáveis aleatórias contínuas continua a fazer sentido a função de distribuição de probabilidade tal como foi definida para o caso discreto. F( x) P( X x) (5) 53

7 Da definição resulta que a função de distribuição pode ser calculada em qualquer ponto x através da função de densidade de probabilidade: x F ( x) P( X x) f( t)dt (). 0 F( x), x 2. lim F( x) e lim F( x) 0 x + x x 2 > x F( x ) F( x ), x, x P < ( x X x ) F( x ) F( x ) 5. F ( x) é uma função continua em R. 54

8 3.4. Parâmetros das variáveis aleatórias Nesta secção vamos estudar os parâmetros que caracterizam uma variável aleatória em termos médios (medidas de localização ou tendência central) média e mediana, e em termos de dispersão variância e desvio padrão Valor médio ou valor esperado Chama-se valor médio ou valor esperado ao valor que se obtém somando (ou integrando) todos os valores que uma variável aleatória pode tomar, ponderados pela respectiva probabilidade pontual (ou densidade de probabilidade no ponto) e representa-se por µ E( X) : µ ( X) x f( x) E (caso discreto) (7) + E ( X) x f( x) (caso contínuo) (8) µ dx Sejam X e Y duas variáveis aleatórias e k,a e b constantes.. E ( k) k 2. E ( kx) ke( X) 3. E ( ax ± by) ae( X) ± be( Y) Variância e desvio padrão A variância de uma variável aleatóriax, representa-se por define-se por: Var( [( X E( X) ) 2 ] Var( X) σ e X) E (9) 2 x ( x E( X) ) Var( X) f( x) 2 (caso discreto) (0) + Var( X) f( x) dx ( x E( X) ) 2 (caso contínuo) () 55

9 Pela definição podemos observar que a variância é o valor médio dos desvios quadráticos da variável relativamente ao seu valor médio. Quanto mais frequentes forem os valores afastados do valor médio maior a variância. Designa-se por desvio padrão e representa-se por σ a raiz quadrada positiva da variância: σ x σ Var( X) (2) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias e k,a e b constantes.. Var ( k) 0 2. Var( kx) k2var( X) 3. Var( ax ± by) a 2 Var( X) + b 2Var( Y) ± 2abCov( X,Y ) Caso as variáveis sejam independentes, como Cov( X,Y ) 0 que: Var( ax ± by) a 2 Var( X) + b 2Var( Y), temos Existe uma fórmula prática para o cálculo da variância: onde, Var ( X ) E( X 2 ) [ E( X )] 2 (3) ( X ) x E 2 2 f( x) (caso discreto) (4) + E( X 2 ) x 2 f( x) dx (caso contínuo) (5) Mediana Define-se mediana como o valor da v.a. que divide a distribuição em duas partes. Iremos definir variáveis independentes e covariância mais adiante. 5

10 Caso discreto No caso de uma v.a. discreta podemos distinguir duas situações:. Se não existir nenhum valor i será o menor valor 2. Se existir um valor i xi + xi + M e Caso contínuo 2 x para o qual a ( x ) 0, 5 x para o qual F( x i ) > 0, 5. i x para o qual a ( x ) 0, 5 F i a mediana F i a mediana será No caso de uma v.a contínua a mediana é univocamente determinada, porque existe um só valor para o qual P( X M ( X)) 0. 5 F( M ( X)) 0. 5 e e Relação entre a média e a mediana Quando média e a mediana são iguais a distribuição diz-se simétrica: µ M e Quando a distribuição é não simétrica temos uma de duas situações:. µ < Me e a distribuição diz-se assimétrica negativa. 2. M e < µ e a distribuição diz-se assimétrica positiva. 57

11 3.5. Variáveis Aleatórias Bidimensionais Uma variável aleatória bidimensional não é mais do que uma par de variáveis aleatórias ( X,Y ). No caso de X e Y serem duas variáveis aleatórias discretas o par diz-se uma variável aleatória bidimensional discreta. Na situação em que ambas são contínuas temos uma variável aleatória bidimensional contínua Variáveis aleatórias bidimensionais discretas Função de probabilidade conjunta X à x a probabilidade da variável aleatória X tomar o valor x ao mesmo tempo da variável Y tomar o valor y. Chama-se função de probabilidade conjunta da variável aleatória (,Y ) função f ( que associa a cada elemento (, y) f ( P( X x,y y) f () x, y 0, x, y R. ( ) ( ) 2 2. f ( x y Função de distribuição conjunta Chama-se função de distribuição de probabilidade conjunta da variável aleatória ( X,Y ) à função F ( que associa a cada elemento ( x, y) a probabilidade da variável aleatória X tomar valores menores ou iguais a x ao mesmo tempo da variável Y tomar valores menores ou iguais a y. F ( P( X x,y y) (7) F ( f( s,t) (8) s x t y. 0 F(, ( R 2. lim F( x + y + 3. lim F( 0, y x 58

12 4. lim F( 0, x y 5. x < x 2 y < y2 F( x, y) F( x 2, y2) Funções de probabilidade marginal A função de probabilidade marginal de uma variável é a função de probabilidade individual dessa variável e obtém-se da função de probabilidade conjunta, não impondo nenhuma restrição ao valor da outra variável. Função de probabilidade marginal de X : P( X x,y y) f X ( x) P( X x, < Y < + ) f( (9) Função de probabilidade marginal de Y : y P( X x,y y) f Y ( y) P( < X < +,Y y) f( (20) x y x Variáveis aleatórias bidimensionais contínuas Função de densidade de probabilidade conjunta Tal como acontece nas variáveis unidimensionais contínuas, nas variáveis bidimensionais contínuas não faz sentido falar em função de probabilidade visto que P( X x,y y) 0 (, aparecendo no seu lugar a função de densidade de probabilidade conjunta. Esta função indica-nos como a probabilidade se distribui pelos valores que o par aleatório ( X,Y) pode tomar. f x, y 0, x, y R. ( ) ( ) f ( x, y)dxdy Função de distribuição conjunta Chama-se função de distribuição de probabilidade conjunta da variável aleatória ( X,Y) à função F ( que associa a cada elemento ( a probabilidade 59

13 da variável aleatória X tomar valores menores ou iguais a x ao mesmo tempo da variável Y tomar valores menores ou iguais ay. F( x, y) P( X x,y y) (2) F ( f( s,t)dtds (22) x y. 0 F (, ( R2 lim F( 2. x + y + 3. lim F( 0, y x 4. lim F( 0, x y 5. x < x 2 y < y2 F( x, y) < F( x 2, y 2) Funções de densidade de probabilidade marginal A função de densidade de probabilidade marginal de uma variável é a função de densidade de probabilidade individual dessa variável e obtém-se da função de densidade de probabilidade conjunta, não impondo nenhuma restrição ao valor da outra variável. Função de densidade de probabilidade marginal de X : + f X ( x) f( dy (23) Função de densidade de probabilidade marginal de Y : + f Y ( y) f( dx (24) 0

14 3.. Relações entre as variáveis X e Y 3... Funções de (densidade de) probabilidade condicionais Sabendo o valor que uma das variáveis vai tomar (ou tomou) podemos calcular a função de probabilidade (no caso discreto) ou a função de densidade de probabilidade (no caso contínuo) da outra variável, tendo em conta a informação conhecida relativamente ao valor da primeira variável. Caso discreto e caso contínuo: fx Y y( x) f( f ( y) (25) Y fy X x( y) Covariância f( f ( x) (2) X No estudo das relações existentes entre duas variáveis aleatórias X e Y podemos analisar a covariância das duas variáveis. Define-se então covariância, como: entre X e Y, Cov ( X,Y) [( X E( X) ) ( Y E( Y) )] Cov( X,Y) σxy E donde, no caso discreto: (27) ( X,Y) ( x E( X))( y E( Y)) f( x, Cov y) (28) x y e, no caso contínuo: + + Cov ( X,Y) ( x E( X))( y E( Y)) f( dydx (29) Verifica-se que < ( X,Y) < + Cov. Fórmula prática para o cálculo da covariância: Cov( X,Y) E( X Y) E( X) E( Y) (30) A covariância de duas variáveis fornece-nos uma medida da relação linear existente entre as duas variáveis. Quando a covariância assume um valor muito alto positivo temos a indicação de que existe uma relação linear positiva forte entre as duas variáveis. Quando a covariância toma um valor muito baixo negativo temos a indicação de que existe uma relação linear negativa forte. Na

15 situação em que a covariância toma valores perto de zero a relação linear é muito fraca e inexistente no caso em que a covariância é zero Coeficiente de correlação linear A covariância está expressa nas unidades das variáveis X e Y simultaneamente o que introduz dificuldades quando se pretende fazer comparações. Para ultrapassar esta situação podemos calcular o coeficiente de correlação linear ( ρ ) que tem sempre o seu valor entre e. Dado um par de variáveis aleatórias ( X,Y), define-se coeficiente de correlação linear como: Quando: Cov( X,Y) σ XY ρ XY (3) Var( X) Var( Y) σx σy ρ XY, existe correlação linear negativa perfeita entre X e Y. ρ XY 0, não há correlação linear entrex e Y. ρ XY, existe correlação linear positiva perfeita entre X e Y Independência das variáveis aleatórias X e Y Dada uma variável aleatória bidimensional ( X,Y), diz-se que as variáveis unidimensionais que a integram, X e Y, são independentes, se a sua função (densidade) de probabilidade conjunta f (, for igual ao produto das funções (densidade) de probabilidade marginais, isto é: X e Y são independentes se f( f ( x) f ( y), ( Como consequência da definição temos que X e Y são independentes se e só se: f ( x) f ( x) f ( y) f ( y Teorema X Y y X ou Y X x Y ) Se duas variáveis aleatórias X e Y são independentes então a Cov ( X,Y) 0 Nota: a recíproca não é verdadeira. Duas variáveis podem ter 0 não serem independentes. Apenas podemos garantir que não existe relação linear entre as duas variáveis. No entanto, pode existir outro tipo de relação, que não a linear, e não serem independentes. X Y Cov ( X,Y) e 2