ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE

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1 ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE 4. 1 INTRODUÇÃO Serão apresentadas aqui algumas distribuições de probabilidade associadas a v.a. s contínuas. A mais importante delas é a distribuição Normal (ou de Gauss) pois, além de ser aplicada a muitos eperimentos aleatórios, é a base de boa parte da teoria de Inferência Estatística. Outras distribuições como a t de Student, a F e a de Qui-quadrado são fundamentais no desenvolvimento da teoria de distribuições amostrais. Em aplicações da Estatística a diversos problemas de engenharia vistos na Teoria de Filas, em Confiabilidade e em Análise de Sobrevivência, encontramos outras densidades de probabilidade. Entre elas, podemos citar a Log-normal, a Gama, a Beta, a Eponencial, a Weibull, etc DISTRIBUIÇÃO UNIFORME Uma v.a. X contínua tem distribuição uniforme sobre o intervalo [a, b], se sua função densidade de probabilidade for dada por: f() = 1 b a, paraa b 0, para outros valores de Graficamente, f() 1/(b-a) Note que todos os valores de no intervalo de a até b são igualmente prováveis no sentido de que a probabilidade de cair num subintervalo de

2 74 ESTATÍSTICA comprimento é a mesma que para qualquer outro subintervalo de mesmo comprimento dentro do intervalo [a, b]. A MÉDIA E A VARIANCIA SÃO: a µ = + b 2 = ( b a) EXEMPLO: Suponha que a roda de uma locomotiva tenha raio r e que seja um ponto na sua circunferência medido a partir de um ponto 0. Quando os freios são aplicados, em algum ponto há o atrito e um desgaste. Para aplicações repetidas dos freios, é razoável assumir que é uma v.a. que tem distribuição uniforme com a = 0 e b = 2πr. Ou seja, estamos assumindo que a incidência de atrito e desgaste da roda seja uniforme ao longo dela. Se isto estiver incorreto, ou ainda, se algum conjunto de pontos da roda fazem contato mais freqüentemente que outros, a roda eventualmente eibiria marcas de achatamento ou ficaria fora de centro DISTRIBUIÇÃO GAMA A distribuição Gama tem na sua função densidade de probabilidade a Função Gama, estudada em muitas aplicações da Matemática. Esta função é definida por: α 1 Γ( α) = e d, para α> 0 0 Integrando por partes, tem-se que: Γ(α) = (α- 1) Γ(α- 1) Se α = n onde n é um inteiro, Γ(n) = (n - 1)! 1 Em particular, Γ( 2 ) = π

3 ESTATÍSTICA 75 A v.a. X contínua tem distribuição Gama, com parâmetros α e β, se sua função densidade de probabilidade é dada por: 0, 0 f ( ) = 1 α 1 / β, > 0 e α β Γ ( α ) Gráficos de algumas distribuições gama para valores especificados dos parâmetros α e β são apresentados a seguir: f() 1,0 α=1, β=1 0,5 α=2, β=1 α=4, β= DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL Dado um processo de Poisson com parâmetro λ, seja o tempo zero o tempo no qual começamos a observar o processo (ou o tempo em que se observou um sucesso). Seja T o tempo decorrido até que o próimo sucesso ocorra. T tem distribuição eponencial com parâmetro λ > 0 e sua função densidade de probabilidade é dada por: f(t) = λ e -λt, para t > 0 0, para t 0

4 76 ESTATÍSTICA Graficamente, f (t) λ 0 t µ = 1 / λ Note que a distribuição eponencial é um caso particular da distribuição gama quando α = 1. A média e a variancia da distribuição eponencial são iguais a: µ = 1 / λ 2 = 1 / λ2 A função de distribuição acumulada de T é dada por: F(t) = P( T t) = 1 - e -λt, para t > 0 0, para t 0

5 ESTATÍSTICA 77 EXEMPLO Suponha que um sistema contem um certo tipo de componente cujo tempo em anos para falhar (duração de vida) é dado por uma v.a. T, distribuída eponencialmente com média de 5 anos. Se 5 destes componentes são instalados em sistemas diferentes, qual é a probabilidade de que pelo menos dois deles ainda estejam funcionando ao final de 8 anos? A função densidade de probabilidade da v.a. tem parâmetro λ = 1/5 e é dada por: 1/5 e -1/5t, para t 0 f(t) = 0, para t < 0 Para o cálculo da probabilidade podemos usar a função de distribuição acumulada que, neste caso, é dada por: 1 - e -1/5 t, para t 0 F(t) = P( T t) = 0, para t < 0 A probabilidade de que um componente qualquer ainda esteja funcionando após 8 anos é dada por: P ( T > 8) = 1 - P(T 8) = 1 - F(8) = 1 - [1 - e -(1/5)(8) ] = e-8/5 = 0,2 Seja X a v.a. igual ao número de componentes que funcionam após 8 anos. X tem distribuição binomial com parâmetros n = 5 (cinco componentes instalados) e p=0,2 (a probabilidade de um componente estar funcionando após 8 anos) e sua função de probabilidade é dada por: p ( ) = PX ( = ) =,,,,,..., = 01 5 Assim, P(X 2) = p(2) + p(3) + p(4) + p(5) = 0,2627.

6 78 ESTATÍSTICA 4.5 DISTRIBUIÇÃO NORMAL Dizemos que uma v.a. X tem distribuição normal (ou de Gauss) com parâmetros µ e ² se a sua função densidade de probabilidade é dada por: f() = 1 - µ e, - < < 2 π OBSERVAÇÕES : ( a ) µ = E() e ² = V(). ( b ) f() tende a zero quando - ou. ( c ) f() tem dois pontos de infleão : µ - e µ +. ( d ) f() tem um ponto de máimo para = µ e seu valor máimo é: ( e ) f() é simétrica em relação a = µ. ( f ) A área total abaio da curva f() é igual a π Graficamente: f() f() 1 2π µ µ µ µ+ µ f() 1 2π µ µ

7 ESTATÍSTICA 79 Podemos mostrar que se X é uma v.a. com distribuição normal então: * entre µ - e µ + eiste aproimadamente 68% da área total; * entre µ - 2 e µ + 2 eiste aproimadamente 95% da área total; * entre µ - 3 e µ + 3 eiste aproimadamente 99% da área total. µ 3 µ 2 µ µ µ+ µ+2 µ+3 68% 95% 99% NOTAÇÃO: Se X é uma v.a. que tem distribuição normal com parâmetros µ e ² escrevemos : X : N( µ, ² ) onde µ é a média e ² a variancia VARIÁVEL ALEATÓRIA REDUZIDA OU PADRONIZADA Z Se X : N ( µ,² ), então a v.a. Z definida por: Z = X-µ terá uma distribuição normal com média µ µ= 0 e variancia ² = 1. f(z) z

8 80 ESTATÍSTICA Observe que Z calcula, para cada valor de X, a quantos desvios padrões cada ponto está afastado da média µµ. Se Z é negativo então é um ponto à esquerda da média e se é positivo então é um ponto à direita da média CÁLCULO DE PROBABILIDADES (USO DA TABELA) A tabela apresentada na página 91 fornece os valores da função de distribuição acumulada de Z para diversos pontos desde -3,49 até 3,49 com acréscimos de 0,01. Assim: tab (z 0 = F(z 0 = e z 2 z0 ) ). dz - 2π zo 0 z Suponha que X: N( µµ, ² ) e que se queira calcular P(a < X b). Esta a µ b µ probabilidade é igual a P( < X ). Para = a: z = a - µ Para = b: z = b - µ a b µ OBSERVAÇÕES: 0 z 1) Um cuidado especial deve ser tomado ao utilizar outras tabelas (geralmente apresentadas em apêndices dos livros de Estatística), pois eistem formas diferenciadas de apresentar estas probabilidades. 2) Um programa que gere estas probabilidades pode ser elaborado para calculadoras programáveis. Basta tomar o cálculo de áreas abaio da curva da v.a. padronizada z e inserir num programa que resolva integrais. O limite inferior pode ser -4 (4 desvios padrões abaio da média 0) pois sabemos que antes deste valor não eiste praticamente qualquer área significativa z 2 P( Z z0) = F( z0) = e dz 2π z 4

9 ESTATÍSTICA 81 EXEMPLO 1 Seja X : N ( 20,9 ) µµ = 20 ² = 9 ( = 3 ) ( a ) P( X 18 ) = P( Z -0,67 ) = tab (-0,67) = 0, ,67 z Para = 18 : z= - µ = = -0,67 ( b ) P(X >21) = P(Z >0,33) = 1- P(Z 0,33) = 1- tab(0,33) = 1-0,62930 = 0,37070 Para = 21: ,33 z z= - µ = =0,33

10 82 ESTATÍSTICA ( c ) P( 16 < X 24 ) = P( -1,33 < Z < 1,33 ) = tab(1,33) - tab(-1,33) = 0, ,09175 = 0, z Para = 16 : z= - µ = Para = 24 : z= - µ = =-1,33 =1,33 EXEMPLO 2 O diâmetro de certo tipo de anel industrial é uma v.a. com distribuição normal de média 0,10 cm e desvio padrão 0,02 cm. Se o diâmetro de um anel diferir da média por mais de 0,03 cm, ele é vendido por 5 u.m.; caso contrário é vendido por 10 u.m.. Qual o preço médio de venda de cada anel? Seja a v.a. X = diâmetro do anel X : N( 0,10 ; 0,02²) µ = 0,10 e = 0,02 0,04 0,06 0, ,12 0,14 0,16 P(X 0,07) = P(Z -1,50) = tab(-1,50) = 0,06680 Para = 0,07 : z= - µ = 0,07-0,10 0,02 =-1,50 P(X > 0,13) = 1- P(X 0,13) = 1- P(Z<1,5) = 1- tab(1,5) = 0,06680 Para = 0,13 : z= - µ = 0,13-0,10 0,02 =1,50

11 ESTATÍSTICA 83 P(diâmetro diferir da média por mais de 0,03) = P(X 0,07 ou X >0,13) = = 0, ,06680 = 0, P(não diferir da média por mais de 0,03) = 1-0,13360 = 0, : Seja a v.a V = preço de venda. V tem a seguinte distribuição de probabilidade v 5 10 p(v) 0, ,86640 Preço médio de venda : E(V) = v v.p(v) = 5.0, = 9,332 u.m. EXEMPLO 3 Uma máquina de empacotar determinado produto apresenta variações de peso com desvio padrão de 20g. Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas 10% tenham menos de 400g? Supor distribuição normal dos pesos dos pacotes. 0,10 = µ 0,10 2,33 0 z na tabela X: peso dos pacotes X : N (µ,20²) P(X 400) = 0,10 P (Z < -2,33) = 0,10 z= - µ -2,33= µ 20 µ = 446,6 g.

12 84 ESTATÍSTICA APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PELA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Se uma v.a. X tem distribuição binomial com parâmetros n e p, a sua média é µ = n.p e sua variancia é ² = n.p(1-p). Quando n, a distribuição da v.a definida por : Z= X-np np(1- p) tem como distribuição limite a N ( 0,1 ). Note que isto é o mesmo que dizer que, para n grande a v.a. X tem distribuição N(µ,²) onde µ = np e ² = np(1-p). A aproimação melhora à medida que n cresce e é muito boa para valores de p não muito próimos de 0 ou 1. EXEMPLO 1 Seja X uma v.a binomial com n = 16 e p = 0,5 p() = ,5 0,5, = 0,1,...,16 µ = np = 8, 2 = np(1- p) = 4 0;16 1;15 2;14 3;13 4;12 5;11 6;10 7;9 8 p() 0, , , , , , , , ,19638 p() 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0, ,5 10,5 µ

13 ESTATÍSTICA 85

14 86 ESTATÍSTICA ( a ) P(6 X 10) = 0, 5. 0, 5 = 0, =6 Usando a aproimação normal, temos: P B = (6 X 10) P (5,5 X < 10,5) = P (-1,25 Z < 1,25) = 0, ,10565 = 0,78870 N N ( b ) P(X = 8) P (7,5 X 8,5) = P (-0,25 Z 0,25) = 0,5987-0,4013 = 0,1974 N N ( c ) P(X < 6) P ( X 5) = P (Z < -1,25) = 0,10565 N N EXEMPLO 2 Uma máquina produz itens num certo processo de fabricação tal que 5% dos itens são defeituosos. Se uma amostra de 1000 itens é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de que não mais do que 40 defeituosos ocorram na amostra? X = n de itens defeituosos na amostra n = 1000 p = 0,05 µ = np = ,05 = 50 ² = np(1-p) = ,05.0,95 = 47,5 P B(X 40) P N(X 40,5) = P N(Z -1,38) = 0,084.