Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo:
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- Ruth Bayer Soares
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1 Prof. Lorí Viali, Dr. Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo: f().e π. μ., R com - < μ < e > 0 0, 0,6 N(0; ) N(0; 0,5) N(0; ) N(; ) P(X ).e π. u μ. du? 0,4 0, 0, A normal não é integrável através do TFC, isto é, não eiste F() tal que F () f().
2 Utilizar integração numérica. Como não é possível fazer isto com todas as curvas, escolheu-se uma para ser tabelada (integrada numericamente). A curva escolhida é a N(0, ), isto é, com μ 0 e. Se X é uma N(μ, ), então: Z X μ Será uma N(0; ) A fdp da variável Z é dada por: 0,4 ϕ(z) π.e z., z R 0,3 0, 0, uma vez que μ 0 e. 0,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 O que é tabelado é a FDA da variável Z, isto é: P(Z z - z) π.e z - ϕ(u)du u. du Φ(z),0 0,9 0, 0,7 0,6 0,5 Φ(z) 0,4 0,3 0, z 0, 0,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0
3 Área à esquerda (abaio) de z P(Z z) Φ(z) Leitura direta Área à direita (acima) de z P(Z > z) - P(Z z) -Φ(z) Φ( z) Área entre dois valores de z P( z < Z < z ) Φ (z ) Φ (z) A tabela é construída como uma matriz. As linhas fornecem a unidade ou unidade mais décimo e as colunas fornecem os centésimos. Assim para ler, por eemplo, -0,5 deve-se procurar na linha do 0, + coluna do 5 (seta coluna). A primeira é a do 0 (zero). A aproimação é centesimal ( casas após a vírgula) eceto na linha do 3 e do +3, que estão destacadas, onde a aproimação é, em virtude da pouca área, decimal. Observe que está escrito 3 e não 3,0! Aproimação decimal, isto é, fatias de 0,. Depois do ±3,0 segue ±3, o ±3, até 0,4 Aproimação centesimal, ±3,9. isto é, fatias de 0,0. 0,3 Depois do -3,0 segue,99 o,9 até +,99 e daí 3,0. 0, 0, 0,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 z ,003 0,000 0,0007 0,0005 -,9 0,009 P(Z 0,00 < -3,3) 0,00 0,007 -, 0,006 Φ(-3,3) 0,005 0,004 0,003 -,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,003 -,6 0,0047 P(Z 0,0045 < -,53) 0,0044 0,0043 -,5 0,006 Φ(-,53) 0,0060 0,0059 0,0057 -,4 0,00 0,000 0,007 0,0075 -,3 0,007 0,004 0,00 0,0099 P(Z < -,00) -, 0,039 0,036 0,03 0,09 Φ(-,00) -, 0,079 0,074 0,070 0,066 -,0 0,0 0,0 0,07 0,0 Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão. Determinar: (a) P(X 40) (b) P(X > 65) (c) P(45 < X < 6) 3
4 (a) P(X 40) P(X 40) P(Z X P( μ,5) 0,56% ) (b) P(X > 65) X μ P(X > 65) P( > ) P(Z >,) P(Z <,) Φ(,) Φ(,) 3,0% (c) P(45 < X < 6) P(45 < X < 6) P( < P( 0,6 < Z X μ 6 50 < ) <,50) Φ(,50) Φ( 0,6) 93,3% 7,67% 65,65% Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão. Determinar: (a) P(X ) 5% (b) P(X > ) % Para resolver este tipo de eercício é preciso utilizar a função inversa, isto pode ser feito direto na tabela. Só que agora devemos procurar uma probabilidade (corpo da tabela) e obter um valor de z (lateral da tabela). 4
5 0,05 0,04 0,03 0,0 5% 0,0 P(X ) 5% 0, Em (a) temos P(X ) 5% P(X onde P (Z ) z X P ( 50 μ 50 ) z) Φ(z) 5% Se Φ ( z ) 5 %, então Φ z [ Φ ( z )] Φ Φ ( 0, 05 ) ( 5 %) Procurando na tabela, o valor (z) mais próimo de 5% 0,05, tem-se: z ,003 0,000 0,0007 0,0005 0,0003 0,000 -,9 0,009 0,00 0,00 0,007 0,006 0,006 -, 0,006 0,005 0,004 0,003 0,003 0,00 -,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,003 0,003 0,0030 -,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,004 0,0040 -,5 0,006 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 -,4 0,00 0,000 0,007 0,0075 0,0073 0,007 z -,64 z -,65 -,3 0,007 0,004 0,00 0,0099 0,0096 0,0094 -, 0,039 0,036 0,03 0,09 0,05 0,0 -, 0,079 0,074 0,070 0,066 0,06 0,05 -,0 0,0 0,0 0,07 0,0 0,007 0,00 -,9 0,07 0,0 0,074 0,06 0,06 0,056 -, 0,0359 0,035 0,0344 0,0336 0,039 0,03 -,7 0,0446 0,0436 0,047 0,04 0,0409 0,040 -,6 0,054 0,0537 0,056 0,056 0,0505 0,0495 -,5 0,066 0,0655 0,0643 0,0630 0,06 0,0606 Assim Como os dois valores estão a mesma distância, isto é, apresentam o mesmo erro (0,0005), pega-se a média entre eles.,64 +,65 z, Como z, tem 50,645 z 50, ,4 se : 5
6 0,05 Em (b) temos P(X > ) % X μ 50 P(X > ) P( > ) P(Z > z) Φ(z) % 0,0 Mas Φ (z) Φ ( z) Logo z Φ (0,0) 0,05 0,04 0,04 0,03 0,03 0,0 0,0 0,0 0,0 % P(X > ) % 0, Procurando na tabela, o valor (z) mais próimo de % 0,0, tem-se: z -,33 Conforme pode ser visto na próima lâmina! z ,003 0,000 0,0007 0,0005 -,9 0,009 0,00 0,00 0,007 -, 0,006 0,005 0,004 0,003 -,7 0,0035 0,0034 z -,33 0,0033 0,003 -,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 -,5 0,006 0,0060 0,0059 0,0057 -,4 0,00 0,000 0,007 0,0075 -,3 0,007 0,004 0,00 0,0099 -, 0,039 0,036 0,03 0,09 -, 0,079 0,074 0,070 0,066 -,0 0,0 0,0 0,07 0,0 Como Suponha que se tenha n variáveis z Φ (0,0), tem 50 (,33 ), ,64 se : normais independentes X, X,..., X n, isto é, X i ~ N(μ i, i ). Se Y X + X X n, então; μ Y μ + μ μ n e Y n 6
7 Uma montagem consiste de três componentes, conforme figura abaio. X X X3 Y As dimensões de cada componente são dadas por: X ~ N(, 0,0 / ) X ~ N(4, 0,03 / ) X 3 ~ N(, 0,04 / ) Os componentes são produzidos por diferentes máquinas e operadores, de modo que se acredita que suas dimensões são independentes. Determinar P(53, Y 54,). A distribuição de Y é dada por: μ E sua variância é: 0,0 + 0,03 + 0,04 0,09. Portanto 0,30. Assim: Y ~ N(54, 0,3) Portanto: P (53, P ( 0,67 Φ (0,67 ) 49,50 % Y 54, ) Z 0,67 ) Φ ( 0,67 ) Se Y a 0 +a X +a X a n X n, e as variáveis X i são independentes, então: μ Y a Y 0 + n ai i n a i i μ i i 7
8 É possível se estabelecer aproimações entre as variáveis discretas: Binomial, Hipergeométrica e Poisson conforme visto. É, também, possível aproimar uma variável discreta (a Binomial) por uma contínua (a Normal). P(X ) P( 0,5 Y + 0,5) P( < X < ) P( + 0,5 Y -0,5) P( X ) P( -0,5 Y + 0,5) 0,5 0, 0,09 Onde Y é uma normal de média μ np e desvio variância npq 0,06 0,03 0, Determinar a probabilidade de que em 0 lançamentos de um dado honesto se obtenha face seis: Tem-se: X número de faces seis em 0 lançamentos. (a) Eatamente 0 vezes. (b) Mais do que 5 vezes. n 0 p /6 X ~ B(0; /6)
9 Então: (a) P(X 0) 9,73% (b) P(X > 30) P(X 30) ,7% Aproimado pela normal, tem-se: Y número de faces seis em 0 lançamentos, será aproimadamente uma normal: μ Y 0.(/6) 0 e Y 0.(/ 6).(5 / 6) 4,05 (a) P(X 0) P(9,5 < Y < 0,5) P(-0, < Z < 0,) Φ(0,) Φ(-0,) 9,75% (b) P(X > 30) - P(X 30) - P(Y 30,5) P(Z,57) Φ(-,57) 0,5% Uma variável aleatória X tem uma distribuição t ou de Student se sua fdp for do tipo: f ( ) υ + Γ + υ υ πυ. Γ para υ + R 9
10 fdp de 0,40 t() 0,30 t(5) 0,0 t(5) 0,0 0, Epectância ou Valor esperado μ E (X) Variância Var(X) 0 υ υ- O valor υ é denominado de Grau de liberdade O que é tabelado é a função inversa (percentis), em relação a área à direita (unilateral) de cada curva (uma para cada linha), ou a soma das caudas (bilateral), isto é, a tabela retorna um valor t tal que P(Τ t) α (unilateral) ou P( T t) α. As duas opções podem ser colocadas em uma mesma tabela. Pode-se ler uma área (α) de cima para baio e se ter um valor unilateral (P(T t) α) ou ler a área (α) de baio para cima e se ter um valor t tal que P(T t) α/. 0,00 0,00 0,050 0,040 0,030 0,00 3,07 6,34,706 5,94,05 3,,6,90 4,303 4,49 5,643 6,965 3,63,353 3, 3,4 3,96 4,54 4,533 P( Τ,3 9,6),776,999 5% 3,9 3,747 5,476,05,57,757 3,003 3,365 6,440,943,447,6,9 3,43 7,45,95,365,57,75,99,397,60,306,449,634,96 9,33,33,6,39,574, 0,37,,,359,57,764 0,00 0,00 0,050 0,040 0,030 0,00 3,07 6,34,706 5,94,05 3,,6,90 4,303 4,49 5,643 6,965 3,63 P(Τ 9,353 < -,6) 3,,5% 3,4ou 3,96 4,54 4,533 P(Τ,3 9 >,6),776,5%,999 3,9 3,747 5,476,05,57,757 3,003 3,365 6,440,943,447,6,9 3,43 7,45,95,365,57,75,99,397,60,306,449,634,96 9,33,33,6,39,574, 0,37,,,359,57,764 0
11 Uma variável aleatória X tem uma distribuição Qui-Quadrado se sua fdp for do tipo: υ υ f ( ) 0 e υ Γ se se > 0 0 Epectância ou Valor esperado E(X) υ Variância Var(X) υ,00 0,0 0,60 0,40 0,0 Q() Q() Q(3) O valor υ é denominado de Grau de liberdade 0,00 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0,0 O que é tabelado é a função inversa, em relação a área à direita de cada curva (uma para cada linha), isto é, dado um valor de área na cauda direita (α), a tabela retorna um valor tal que P(χ ) α. 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,000 0,000 0,00 0,004 0,06 0,00 0,00 0,05 0,03 0, 3 0,07 0,5 0,6 0,35 0,54 4 0,07 0,97 0,44 0,7, ,4 0,554 0,3,45,60 6 0,676 0,7,37,635,04 7 0,99 P[χ,39 () 0,] 90%,690,67,33,344,647,0,733 3,490 9,735,0,700 3,35 4,6 0,56,55 3,47 3,940 4,65
12 ,00 0,050 0,05 0,00 0,005 5,949 56,94 60,56 64,950 6,053 54,090 5,4 6,777 66,06 69,336 55,30 59,304 P[χ (49) 6,990 74,99] 67,459 % 70,66 56,369 60,4 64,0 6,70 7,9 57,505 6,656 65,40 69,957 73,66 5,64 6,30 66,66 7,0 74,437 59,774 64,00 67, 7,443 75,704 60,907 65,7 69,03 73,63 76,969 6,03 66,339 70, 74,99 7,3 63,67 67,505 7,40 76,54 79,490 Uma variável aleatória X tem uma distribuição F ou de Snedecor se sua fdp for do tipo: m n m m n m n + + m n Γ ( n+ m ) f() se > 0 m n Γ Γ 0 se 0 Epectância ou Valor esperado m E(X) m Variância Var(X) (m + n - ) m m(n - )(n - 4) m é o grau de liberdade do numerador e n do denominador,0 0, 0,6 0,4 0, 0,0 fdp de F(, 3) F(, 5) F(5, 0) F(0, 0) O que é tabelado é a percentil 95% ou 99% - área à direita de cada curva (uma para cada par de valores numerador, denominador) igual a 5% e %, isto é, tal que P[F(m, n) ] 5% ou P[F(m, n) ] %.
13 ,45 99,50 5,7 4,5 30,6 33,99 36,77,5 9,00 9,6 9,5 9,30 9,33 9,35 3 0,3 9,55P[F(5,7) 9, 3,97] 9, 9,0 5%,94,9 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4, 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4, 4, 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,7 3,79 5,3 4,46 4,07 3,4 3,69 3,5 3,50 9 5, 4,6 3,6 3,63 3,4 3,37 3,9 0 4,96 4,0 3,7 3,4 3,33 3, 3,4 4,4 3,9 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0 4,75 3,9 3,49 3,6 3, 3,00, , 4999, ,53 564,6 5763,96 55,95 59,33 9,50 99,00 99,6 99,5 99,30 99,33 99,36 P[F(5, 7) 7,46] % 3 34, 30, 9,46,7,4 7,9 7,67 4,0,00 6,69 5,9 5,5 5, 4,9 5 6,6 3,7,06,39 0,97 0,67 0,46 6 3,75 0,9 9,7 9,5,75,47,6 7,5 9,55,45 7,5 7,46 7,9 6,99,6,65 7,59 7,0 6,63 6,37 6, 9 0,56,0 6,99 6,4 6,06 5,0 5,6 0 0,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,0 9,65 7, 6, 5,67 5,3 5,07 4,9 9,33 6,93 5,95 5,4 5,06 4, 4,64 A desiguldade de Tchebycheff, Tchebichev ou Chebyshev ( 94), é dada por: P( X - μ k) < /k P( X - μ < k) - /k Se a distribuição for unimodal e simétrica, então: P( X - μ k) < 4/9k Estas desigualdades fornecem as probabilidades de que os valores de uma VAD/VAC estejam em um intervalo simétrico em torno da média de amplitude igual a k desvios padrões. 3
14 Assim se k, por eemplo, a desigualdade de Tchebycheff estabelece que o percentual de valores da variável aleatória, que está compreendida no intervalo μ ±, é de pelo menos - /4 75%. X - μ < - /4 75%. Na normal este percentual vale eatamente 95,44%. Mas como a normal é simétrica e unimodal, neste caso, um resultado mais próimo é dado pela desigualdade de Camp-Meidell, isto é: 4/(9k ) (/9),9%. O número de aviões que chegam a um aeroporto durante um determinado de tempo tem o seguinte comportamento: f () 00 e! 00 0,,, 3... Utilize a desigualdade de Tchebichev para determinar uma cota inferior da probabilidade P(5 X 5) Como k,5, então a probabilidade solicitada deve ser maior ou igual a: - k -,5 0, ,56% 4
Prof. Lorí Viali, Dr.
Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo: f(x) 1.e 1 2. x µ σ 2, x R 2π. σ com - < µ < e σ >
c.c. É a função que associa a cada x X(S) um número f(x) que deve satisfazer as seguintes propriedades:
Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ Seja X uma variável aleatória com conjunto de valores X(S). Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável
Solução: A distribuição normal. Representação gráfica. Cálculo de probabilidades. A normal padrão. σ Será uma N(0; 1).
A distribuição normal Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo: f (x) =.e π. σ x µ. σ, x R Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ com
Experiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. Efeito. Causas. E 1 : Joga-se um dado e observase o número da face superior.
Determinístico Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www. ufrgs.br/~viali/ Sistema Real Probabilístico Causas Efeito X Causas Efeito Eperiência para o qual o modelo probabilístico é adequado.
Exemplos. Experimento Aleatório. E 1 : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras;
Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.ufrgs.br/~viali/ Eperimento Aleatório Eperiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. Eemplos E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se
É o conjunto de resultados de uma experiência aleatória. E 1 : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras e coroas;
Prof. Lorí Viali, Dr. viali@pucrs.br http://www.pucrs.br/famat/viali Eperiência na qual o resultado é incerto. E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras e coroas; E : Joga-se uma
Efeito. Causas. Determinístico. Sistema Real. Probabilístico. Experiência para o qual o. modelo probabilístico é adequado.
Sistema Real Determinístico Probabilístico Causas Efeito X Causas Efeito Eperiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. ❶ Não é possível prever um resultado particular, mas pode-se enumerar
Experiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. Efeito. Causas. Prof. Lorí Viali, Dr.
Prof. Lorí Viali, Dr. viali@pucrs.br http://www.pucrs.br/~viali Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.ufrgs.br/~viali/ Determinístico Sistema Real Causas Efeito Probabilístico X Causas Efeito
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