Outras distribuições contínuas. Gama Qui-quadrado t-student F-Snedecor Pareto Weibull Beta Log-Normal Meia-normal Cauchy etc...

Transcrição

1 Outras distribuições contínuas Gama Qui-quadrado t-student F-Snedecor Pareto Weibull Beta Log-Normal Meia-normal Cauchy etc... 1

2 c) Algumas distribuições de probabilidade contínuas importantes d) Distribuição Gama; e) Distribuição Qui-Quadrado; f) Distribuição t-student; g) Distribuição F de Snedecor; 2

3 d) Distribuição Gama 3

4 a) Distribuição Gama O modelo gama é uma extensão do modelo exponencial. Definição: Uma v.a.c. X, que assume valores positivos, tem distribuição gama com parâmetros > 0 e > 0, se a f.d.p. for dada por: f 1 x ( x) x e I(0, ) ( ) ( x) Notação: X ~ Gama(, ) Em que ( ) é a função matemática gama, importante em muitas áreas da matemática, dada por: Temos também que: ( +1) = ( ), > 0 sendo n um inteiro positivo. = E(X) = 2 = Var(X) = 2 4

5 f(x) f(y) Função de densidade Gama = 2 e = 3 E(X) = 6 Var(X) = 18 = 1 e = 3 E(Y) = 3 Var(Y) = Parâmetros Nome especial Notação = 1, > 0 Exponencial Exp( ) = k, k > 0 inteiro, > 0 Erlang de ordem k Erl k ( ) = n/2, n > 0 inteiro, = 1/2 x Dependendo dos valores dos parâmetros, o modelo Gama recebe outros nomes e a tabela abaixo resumo os casos principais. Qui-quadrado com n graus de liberdade y 2 (n) 5

6 e) Distribuição Qui-quadrado 6

7 Grau de liberdade é, em estatística, o número de determinações independentes (dimensão da amostra) menos o número de parâmetros estatísticos a serem avaliados na população. Os graus de liberdade,, podem ser qualquer número real maior que zero. Geralmente considera-se = n 1 Sem escolha! 7

8 b) Distribuição Qui-quadrado Podemos obter a f.d.p. da qui-quadrado pela seguinte relação: Sejam {Z 1, Z 2,..., Z v } uma amostra aleatória de v elementos retirados de uma distribuição normal padronizada, isto é, N(0, 1). Então, a v.a. X Z v Z2... Z v Z i ~ ( v) i 1 Notação: X ~ 2 ( ) = E(X) = 2 = Var(X) = 2 8

9 f(x) Função densidade Qui-quadrado x=0.9 x=3 x=5 x=10 x=20 x=30 x=50 X

10 Definição: Seja a v.a. X tal que, fazendo-se no modelo gama = /2 e = 2, com > 0 inteiro, tem-se a distribuição qui-quadrado, com graus de liberdade e densidade dada por: A distribuição Qui-quadrado tem muitas aplicações em Estatística, e como no caso da distribuição normal, existem tabelas para obter probabilidades, pois: 10

11 Exemplo: Seja uma v.a.c. X ~ 2 ( ) e considere = 10 graus de liberdade. Calcule: P(X > 2,56) = 0,99 e P(X > 18,31) = 0,05 11

12 f) Distribuição t-student 12

13 c) Distribuição t-student A distribuição t-student é importante no que se refere a inferências sobre médias populacionais, que veremos adiante. É uma distribuição de probabilidade para dados contínuos, sua curva é simétrica, semelhante à curva normal padrão (N(0,1)), porém com caudas mais largas, ou seja, uma simulação da t de Student pode gerar valores mais extremos que uma simulação da normal. Difere da curva normal padrão pois tem apenas um parâmetro chamado de grau de liberdade que alteram a forma da curva. 13

14 História Notável aplicação em estatística. Esta distribuição recebeu este nome em homenagem ao pesquisador que realizou uma importante publicação a seu respeito em 1908, usando o pseudônimo de Student, pois não podia usar seu nome verdadeiro para publicar trabalhos enquanto trabalhasse para a cervejaria Guiness. William Sealy Gosset Químico e matemático inglês (13/06/ /10/1937) 14

15 Podemos obter a distribuição t-student pela seguinte relação: Sejam Z ~ N(0, 1) e Q ~ 2 ( ) v.a. s independentes. Então, a variável: X Z Q ~ t( ) Notação: X ~ t ( ) = E(X) = 0 para > 1 2 Var ( X ), para > 2 2 Essa distribuição é utilizada para dados contínuos, simétricos, que a amostra é pequena, ou seja, n <

16 Quanto menor o grau de liberdade, maior é a área nas caudas da f(x) distribuição (probabilidade). Função de densidade t-student x=0.05 x=0.25 x=0.50 x=1 x=10 x=infinito Normal padrão Quanto maior os graus de liberdade, mas a distribuição t-student se aproxima da normal padrão. X

17 Definição: Uma v.a. X tem distribuição t-student se a função densidade de probabilidade é dada por: Sendo < x < + são os graus de liberdade da distribuição e = n 1 (.) represente a função gama Para calcular as probabilidades, também utiliza-se tabelas que fornecem a probabilidade. 17

18 P( t < T < t) = 1 p P(T > t) = p 18

19 Exemplo: Se = 6 e P( x c < X < x c ) = 0,90, quem é x c? P( 1,943 < X < 1,943) = 0,90 19

20 g) Distribuição F-Snedecor 20

21 d) Distribuição F A distribuição F de Fisher-Snedecor, mais conhecida como distribuição F de Fisher (em honra a Ronald Fisher) ou distribuição F de Snedecor (em honra a Georde W. Snedecor) mede a razão entre duas qui-quadrados independentes É uma das distribuições de probabilidade mais importantes na estatística, tendo, ainda, um maior destaque na estatística experimental. O investigador científico tem por objetivo comparar os efeitos de dois ou mais tratamentos sob determinadas condições. A hipótese de igualdade de efeitos de tratamentos é testada usando a distribuição de probabilidade F. Georde W. Snedecor Ronald Fisher 21

22 Sejam U e V duas v. a. independentes, cada uma com distribuição qui-quadrado, com 1 e 2 graus de liberdade, respectivamente. Então, a v.a. W U V / / 1 2 ~ F (, 1 2 ) Notação: W ~ F ( 1, 2) = 2 = 22

23 f(w) Função densidade F x=0.05 x=0.25 x=0.50 x=1 x=10 x=infinito W ~ F(8, x) W

24 f(w) Função densidade F W ~ F(x, 8) x=0.8 x=2 x=3 x=10 x=20 x=infinito W

25 Ou então, pela definição teórica: Definição: Uma v.a. W tem distribuição F de Snedecor, com 1 e 2 graus de liberdade, se possui a densidade dada por: CALMA!!! Para obter as probabilidades também utiliza-se uma Tabela. 25

26 P(F > f ) = p = 0,05 26

27 P(F > f ) = p 27

28 Exemplo: Considere 1 = 5 e 2 = 7. Consultando a tabela da distribuição F tem-se: W ~ F(5,7) P(W > w c ) = 0,05 P(W > 3,97) = 0,05 P(W > w c )=0,95 P(W > 0,205)=0,95 28

29 Aproximações 29

30 Relações entre as Variáveis Aleatórias Contínuas e Discretas a) Aproximação da distrib. Poisson pela distrib. Normal b) Aproximação da distrib. Binomial pela distrib. Normal c) Aproximação da distrib. Poisson pela distrib. Exponencial 30

31 Distribuição qui-quadrado aproximada pela distribuição Normal Se > 30 utilizar a distribuição Normal. Ou seja, se X tiver distribuição Qui-quadrado com > 30 graus de liberdade, então a v.a. Z 2X 2 1 ~ N(0,1) Exemplo: Consultando a tabela Qui-quadrado, com = 30 graus e liberdade tem-se: P(X > 40,26) = 0,10 31

32 Usando a aproximação da normal tem-se: P(X > 40,26) = 0,10 Z 2X 2 1 ~ N(0,1) Z 2 40, ,29 P(Z > 1,29) = 0,5 0,4015 = 0,099 0,10 32