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1 Prof. Lorí Viali, Dr. Seja X uma variável aleatória com conjunto de valores X(S). Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua. É a função que associa a cada X(S) um número f() que deve satisfazer as seguintes propriedades: f() 0 f ().d A coleção dos pares (, f()) é denominada de distribuição de probabilidade da VAC X. Seja X uma VAC. Determine o valor de c para que f() seja uma função densidade de probabilidade (fdp). c. f () 0 se c.c.

2 Tem-se: Para determinar o valor de c, devemos igualar a área total a um, isto é, devemos fazer: - f()d - c. d - c. d c - c - c c c d - -,5 P(a < X < b) b a f ()d,0 y f () 0,5 0,0 -,5 -, -,0-0, -0,5-0, 0,0 0, 0,5 0,,0,,5 - X a b a < X < b P(a < X < b) b a f()d Se X é uma VAC, então: Isto é, a probabilidade de que X assuma valores entre os números a e b é a área sob o gráfico de f() entre os pontos a e b. a a P(X a) f ()d 0 P(a < X < b) P(a X < b) P(a < X b) P(a X b)

3 Seja X uma VAC. Determine a probabilidade de X assumir valores no intervalo [-0,5; 0,5]. f () 0 se c.c. A probabilidade solicitada é dada por: P( 0, 5 < X < 0, 5) 0,5 d -0,5 [(0,5) d (-0,5) ], 50% 0,5-0,5 0,5-05 (a) Epectância, valor esperado µ E(X) f () d (b) Variância σ V(X) ( µ) f ()d f ()d f ()d µ ( f ()d) E(X ) E(X) (iii) Desvio Padrão σ ( µ) f ()d f ()d µ E(X ) E(X) (iv) O Coeficiente de Variação γ σ/µ É a função F() definida por: F() P(X ) f (u)du A F() é a integral da f() até um ponto genérico. Considerando a função abaio como a fdp de uma VAC X, determinar F(). f () 0 se c. c.

4 A F() é uma função definida em todo o intervalo real da seguinte forma: F() 0 u du se < - se se > Vamos determinar o valor da integral em u : F() u u du [u ] u du + Assim a Função de Distribuição Acumulada (FDA) é: 0 se < - F() + se se > F +,0 () 0,9 0, 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, 0,0 -,5 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5 O uso da FDA é bastante prático no cálculo das probabilidades, pois não é necessário integrar, já que ela é um função que fornece a Integral. Usando a FDA, teremos sempre três casos possíveis: P(X ) F() P(X > ) F() P( < X < ) F( ) F( ) 4

5 Normal t (Student) χ (Qui-Quadrado) F (Fisher/Snedecor) Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo: f().e π. σ µ. σ, R com - < µ < e σ > 0 0, 0,6 0,4 0, 0,0 N(0; ) N(0; 0,5) N(0; ) N(; ) P(X ).e π. σ u µ. σ du? A normal não é integrável através do TFC, isto é, não eiste F() tal que F () f(). 5

6 Utilizar integração numérica. Como não é possível fazer isto com todas as curvas, escolheu-se uma para ser tabelada (integrada numericamente). A curva escolhida é a N(0, ), isto é, com µ 0 e σ. Se X é uma N(µ, σ), então: Z X µ σ Será uma N(0; ) A fdp da variável Z é dada por: 0,4 ϕ(z) π.e z., z R 0, 0, 0, uma vez que µ 0 e σ. 0,0-4,0 -,0 -,0 -,0 0,0,0,0,0 4,0 O que é tabelado é a FDA da variável Z, isto é: P(Z z) z -.e π z - ϕ(u)du u. du Φ(z),0 0,9 0, 0,7 0,6 0,5 Φ(z) 0,4 0, 0, z 0, 0,0-4,0 -,0 -,0 -,0 0,0,0,0,0 4,0 6

7 Área à esquerda (abaio) de z P(Z z) Φ(z) Leitura direta Área à direita (acima) de z P(Z > z) - P(Z z) - Φ(z) Φ( z) Área entre dois valores de z P( z < Z < z) Φ(z) Φ(z) A tabela é construída como uma matriz. As linhas fornecem a unidade ou unidade mais décimo e as colunas fornecem os centésimos. Assim para ler, por eemplo, -0,5 deve-se procurar na linha do 0, + coluna do 5 (seta coluna). A primeira é a do 0 (zero). A aproimação é centesimal ( casas após a vírgula) eceto na linha do e do +, que estão destacadas, onde a aproimação é, em virtude da pouca área, decimal. Observe que está escrito e não,0! Aproimação decimal, isto é, fatias de 0,. Depois do ±,0 0,4 segue ±, o ±, até ±,9. Aproimação centesimal, isto é, fatias de 0,0. Depois do - 0,,0 segue,99 o,9 até +,99 e daí,0. 0, 0, 0,0-4,0 -,0 -,0 -,0 0,0,0,0,0 4,0 z 0-0,00 0,000 0,0007 0,0005 -,9 0,009 P(Z 0,00 < -,) 0,00 0,007 -, 0,006 Φ(-,) 0,005 0,004 0,00 -,7 0,005 0,004 0,00 0,00 -,6 0,0047 P(Z 0,0045 < -,5) 0,0044 0,004 -,5 0,006 Φ(-,5) 0,0060 0,0059 0,0057 -,4 0,00 0,000 0,007 0,0075 -, 0,007 0,004 0,00 0,0099 P(Z < -,00) -, 0,09 0,06 0,0 0,09 Φ(-,00) -, 0,079 0,074 0,070 0,066 -,0 Prof. Lorí Viali, 0,0 Dr. UFRGS Instituto 0,0 de Matemática - Departamento 0,07 de Estatística 0,0 Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão. Determinar: (a) P(X 40) (b) P(X > 65) (c) P(45 < X < 6) 7

8 (a) P(X 40) P(X 40) X P( µ σ P(Z,5) 0,56% ) (b) P(X > 65) P(X > 65) X P( µ σ > ) P(Z >,) P(Z <,) Φ(,) Φ(,),0% (c) P(45 < X < 6) P(45 < X < 6) X µ 6 50 P( < < ) σ P( 0,6 < Z <,50) Φ(,50) Φ( 0,6) 9,% 7,67% 65,65% Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão. Determinar: (a) P(X ) 5% (b) P(X > ) % Para resolver este tipo de eercício é preciso utilizar a função inversa, isto pode ser feito direto na tabela. Só que agora devemos procurar uma probabilidade (corpo da tabela) e obter um valor de z (lateral da tabela).

9 0,05 0,04 0,0 0,0 5% 0,0 P(X ) 5% 0, Em (a) temos P(X ) 5% P(X ) P(Z z) Φ(z) 5% onde X P( 50 z µ 50 ) σ Se Φ(z) 5%,então Φ z [ Φ(z)] Φ Φ ( 0, 05) ( 5%) Procurando na tabela, o valor (z) mais próimo de 5% 0,05, tem-se: z ,00 0,000 0,0007 0,0005 0,000 0,000 -,9 0,009 0,00 0,00 0,007 0,006 0,006 -, 0,006 0,005 0,004 0,00 0,00 0,00 -,7 0,005 0,004 0,00 0,00 0,00 0,000 -,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,004 0,004 0,0040 -,5 0,006 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 -,4 0,00 0,000 0,007 z - 0,0075 0,007 z -,65 0,007 -, 0,007 0,004 0,00,64 0,0099 0,0096 0,0094 -, 0,09 0,06 0,0 0,09 0,05 0,0 -, 0,079 0,074 0,070 0,066 0,06 0,05 -,0 0,0 0,0 0,07 0,0 0,007 0,00 -,9 0,07 0,0 0,074 0,06 0,06 0,056 -, 0,059 0,05 0,044 0,06 0,09 0,0 -,7 0,0446 0,046 0,047 0,04 0,0409 0,040 -,6 0,054 0,057 0,056 0,056 0,0505 0,0495 -,5 Prof. 0,066 Lorí Viali, Dr. 0,0655 UFRGS Instituto 0,064 de Matemática 0,060 - Departamento de 0,06 Estatística 0,0606 Como os dois valores estão a mesma distância, isto é, apresentam o mesmo erro (0,0005), pega-se a média entre eles. Assim,64 +,65 z, Como z, tem se : 50,645 z 50,645. 6,4 9

10 0,05 Em (b) temos P(X > ) % P(X > ) P(Z > z) Φ(z) % 0,0 Mas X P( µ σ Φ(z) Φ( z) Logo z Φ (0,0) 50 > ) 0,05 0,04 0,04 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 % P(X > ) % 0, Procurando na tabela, o valor (z) mais próimo de % 0,0, tem-se: z -, Conforme pode ser visto na próima lâmina! z 0-0,00 0,000 0,0007 0,0005 -,9 0,009 0,00 0,00 0,007 -, 0,006 0,005 0,004 0,00 -,7 0,005 0,004 z 0,00-0,00 -,6 0,0047 0,0045,0,0044 0,004 -,5 0,006 0,0060 0,0059 0,0057 -,4 0,00 0,000 0,007 0,0075 -, 0,007 0,004 0,00 0,0099 -, 0,09 0,06 0,0 0,09 -, 0,079 0,074 0,070 0,066 -,0 Prof. Lorí Viali, 0,0 Dr. UFRGS Instituto 0,0 de Matemática - Departamento 0,07 de Estatística 0,0 Como z Φ (0,0), tem se: 50 (,), ,64 Para se definir as Distribuições t, χ e F é necessário definir inicialmente a Função Gama. 0 Γ( k) k e d, para k > 0 0

11 A função Gama é recursiva, isto é: Γ(k+) k.γ(k) É a equação funcional da função Gama. Se n é um inteiro positivo, então: Γ(n) (n )! E uma vez que : Γ( ) 0 e d A função gama pode ser considerada uma generalização do Fatorial. Verificar, ainda, que: Γ π Uma variável aleatória X tem uma distribuição t ou de Student se sua fdp for do tipo: f () υ+ υ + Γ + υ υ πυ. Γ para R 0,40 0,0 0,0 0,0 0,00 fdp de t() t(5) t(5)

12 Epectância ou Valor esperado µ E (X) Variância Var(X) 0 υ υ - O valor υ é denominado de Grau de liberdade O que é tabelado é a função inversa (percentis), em relação a área à direita (unilateral) de cada curva (uma para cada linha), ou a soma das caudas (bilateral), isto é, a tabela retorna um valor t tal que P(Τ t) α (unilateral) ou P( T t) α. As duas opções podem ser colocadas em uma mesma tabela. Pode-se ler uma área (α) de cima para baio e se ter um valor unilateral (P(T t) α) ou ler a área (α) de baio para cima e se ter um valor t tal que P(T t) α/. 0,00 0,00 0,050 0,040 0,00 0,00,07 6,4,706 5,94,05,,6,90 4,0 4,49 5,64 6,965,6,5,,4,96 4,54 P( Τ 4,5, 9,6) 5%,776,999,9,747 5,476,05,57,757,00,65 6,440,94,447,6,9,4 7,45,95,65,57,75,99,97,60,06,449,64,96 9,,,6,9,574, 0,7,,,59,57,764 0,00 0,00 0,050 0,040 0,00 0,00,07 6,4,706 5,94,05,,6,90 4,0 4,49 5,64 6,965 P(Τ,6,5 9 < -,6),5%,,4,96 4,54 ou 4,5 P(Τ,,776,999,9,747 9 >,6),5% 5,476,05,57,757,00,65 6,440,94,447,6,9,4 7,45,95,65,57,75,99,97,60,06,449,64,96 9,,,6,9,574, 0 Prof. Lorí,7 Viali, Dr. UFRGS, Instituto, de Matemática,59 - Departamento,57 de Estatística,764

13 Uma variável aleatória X tem uma distribuição Qui-Quadrado se sua fdp for do tipo: υ e υ f () υ Γ 0 se > 0 se 0 Epectância ou Valor esperado E(X) υ Variância Var(X) υ O valor υ é denominado de Grau de liberdade,00 Q() Q() Q() 0,0 0,60 0,40 0,0 0,00 0,0,0,0,0 4,0 5,0 6,0 7,0,0 O que é tabelado é a função inversa, em relação a área à direita de cada curva (uma para cada linha), isto é, dado um valor de área na cauda direita (α), a tabela retorna um valor tal que P(χ ) α. 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,000 0,000 0,00 0,004 0,06 0,00 0,00 0,05 0,0 0, 0,07 0,5 0,6 0,5 0,54 4 0,07 0,97 0,44 0,7, ,4 0,554 0,,45,60 6 0,676 0,7,7,65,04 7 0,99 P[χ,9 () 0,] 90%,690,67,,44,647,0,7,490 9,75,0,700,5 4,6 0,56,55,47,940 4, ,00 0,050 0,05 0,00 0,005 5,949 56,94 60,56 64,950 6,05 54,090 5,4 6,777 66,06 69,6 55,0 59,04 P[χ (49) 6,990 74,99] 67,459 % 70,66 56,69 60,4 64,0 6,70 7,9 57,505 6,656 65,40 69,957 7,66 5,64 6,0 66,66 7,0 74,47 59,774 64,00 67, 7,44 75,704 60,907 65,7 69,0 7,6 76,969 6,0 66,9 70, 74,99 7, 6,67 67,505 7,40 76,54 79,490

14 Uma variável aleatória X tem uma distribuição F ou de Snedecor se sua fdp for do tipo: m n m m+ n m + n m n Γ ( n + m ) f () se > 0 m n Γ Γ 0 se 0 Epectância ou Valor esperado m E(X) m Variância m é o grau de liberdade do numerador e n do denominador,0 0, 0,6 0,4 fdp de F(, ) F(, 5) F(5, 0) F(0, 0) Var(X) (m + n - ) m m(n - )(n - 4) 0, 0, O que é tabelado é a percentil 95% ou 99% - área à direita de cada curva (uma para cada par de valores numerador, denominador) igual a 5% e %, isto é, tal que P[F(m, n) ] 5% ou P[F(m, n) ] % ,45 99,50 5,7 4,5 0,6,99 6,77,5 9,00 9,6 9,5 9,0 9, 9,5 0, 9,55 P[F(5,7) 9, 9,,97] 9,0 5%,94,9 4 7,7 6,94 6,59 6,9 6,6 6,6 6,09 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4, 6 5,99 5,4 4,76 4,5 4,9 4, 4, 7 5,59 4,74 4,5 4,,97,7,79 5, 4,46 4,07,4,69,5,50 9 5, 4,6,6,6,4,7,9 0 4,96 4,0,7,4,,,4 4,4,9,59,6,0,09,0 Prof. Lorí 4,75 Viali, Dr. UFRGS,9 Instituto,49 de Matemática,6- Departamento,de Estatística,00,9 4

15 , 4999,4 540,5 564,6 576,96 55,95 59, 9,50 99,00 99,6 99,5 99,0 99, 99,6 P[F(5, 7) 7,46] % 4, 0, 9,46,7,4 7,9 7,67 4,0,00 6,69 5,9 5,5 5, 4,9 5 6,6,7,06,9 0,97 0,67 0,46 6,75 0,9 9,7 9,5,75,47,6 7,5 9,55,45 7,5 7,46 7,9 6,99,6,65 7,59 7,0 6,6 6,7 6, 9 0,56,0 6,99 6,4 6,06 5,0 5,6 0 0,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,9 5,0 9,65 7, 6, 5,67 5, 5,07 4,9 Prof. Lorí 9, Viali, Dr. 6,9 UFRGS Instituto 5,95de Matemática 5,4- Departamento 5,06 de Estatística 4, 4,64 5

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