Cálculo das Probabilidades I

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Cálculo das Probabilidades I"

Transcrição

1 Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 1 / 19

2 Calculamos algumas características da variável aleatória X, tais como E(X) e Var(X), através da distribuição de probabilidade de X. Vimos que a variância pode ser expressa como uma função da esperança das duas primeiras potências de X. Outras características da distribuição de probabilidade de X podem ser expressas por meio das esperanças das potências de X como por exemplo coeficientes de assimetria e curtose. É possível introduzir uma outra função que facilita o cálculo de probabilidades e de outras quantidades relacionadas bem como é uma ferramenta muito útil para determinar distribuições de funções de variáveis aleatórias. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 2 / 19

3 Definição 4.1: Seja X uma variável aleatória. Então o momento de ordem k é definido como, µ k = E(X k ), se E( X k ) <. Para o caso discreto, temos que: µ k = E(X k ) = i=1 x k i p(x i ). Para o caso contínuo, temos que: µ k = E(X k ) = x k f(x)dx. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 3 / 19

4 O momento central de ordem k é definido como, µ k = E((X µ) k ). O valor esperado é o momento de ordem 1 e a variância é o momento central de ordem 2, que pode também ser obtida como a diferença entre o momento de ordem 2 e o quadrado do momento de ordem 1. Definição 4.2:(Função Geradora de Momentos) A função geradora de momentos da variável X é definida por M X (t) = E(e tx ), desde que a esperança seja finita para t real em algum intervalo t 0 < t < t 0, com t 0 > 0. Para o caso contínuo, temos que: M X (t) = E(e tx ) = etx f(x)dx. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 4 / 19

5 Segundo a definição de esperança o valor infinito é possível e, portanto, a expressão acima também pode produzir esse valor para algum intervalo de t. Entretanto, a definição de função geradora de momentos requer que a integral seja finita para valores de t em uma vizinhança de zero. Isto garante algumas propriedades importantes dessa função. Assim, diremos que a função geradora de momentos não existe para valores de t, fora de algum intervalo ao redor de zero, em que é infinita. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 5 / 19

6 EXEMPLO 4.1:Seja X uma V.A. com a seguinte função de distribuição. Obtenha a função geradora de momentos de X. 0, se x < 0; F(X) = x 2, se 0 x < 1; 1, se x 1; Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 6 / 19

7 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 7 / 19

8 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 8 / 19

9 PROPRIEDADES: Apresentaremos agora a justificativa de se denominar M X função geradora de momentos. Lembrando que e X pode ser escrita com uma expansão em série de potências. Temos então que e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! x n n! +... e tx = 1 + tx + (tx)2 2! + (tx)3 3! (tx)n n! +... Aplicando esperança em ambos os lados obtemos do lado esquerdo M X (t). Para o lado direito, admitimos ser válido permutar soma infinita e esperança. M X (t) = E(e tx ) = E 1 + tx + (tx)2 + (tx) (tx)n ! 3! n! Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 9 / 19

10 M X (t) = 1 + te(x) + t2 E(X 2 ) 2! + t3 E(X 3 ) 3! tn E(X n ) n! +... Já que M X (t) é uma função da variável t, podemos tomar a derivada de M X (t) em relação a t, supondo que o lado direito possa ser escrito como a soma infinita das respectivas derivadas. M X (t) = t M X(t) = 0 + E(X) + 2tE(X 2 ) 2! M X (t) = E(X) + te(x 2 ) + t2 E(X 3 ) 2! + 3t2 E(X 3 ) 3! ntn 1 E(X n ) n! tn 1 E(X n ) (n 1)! Para t = 0 obtemos M (0) = E(X) X Assim, a primeira derivada da F.G.M. calculada para t = 0, fornece o primeiro momento que é o valor esperado da variável aleatória. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 10 / 19

11 Calculando a segunda derivada de M X (t) temos que, Para t = 0 obtemos M (t) = X E(X 2 ) + te(x 3 ) tn 2 E(X n ) +... (n 2)! M X (0) = E(X 2 ) Continuando dessa forma, teremos o seguinte teorema Teorema 4.1: Suponha que a função geradora de momentos de X exista para t < t 0, t 0 > 0. Então E(X n ) existe para n = e temos: E(X n ) = M ( n) X (t) = n t=0 t n M X(t) A demonstração desse teorema já está apresentada acima. t=0. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 11 / 19

12 IMPORTANTE: Se a f.g.m. existe, então para t = 0 tem-se que M X (0) = E(e t 0 ) = E(1) = 1. E(X n ), n = 1,2,..., são denominados momentos de ordem n da variável aleatória X, em relação a zero. Assim, mostramos que a partir do conhecimento da f.g.m. os momentos podem ser gerados. Em particular, Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = M (0) [M (0)] 2. Teorema 4.2: Suponha que a variável aleatória X tenha função geradora de momentos M X. Seja Y = ax + b em que a e b são constantes. Então, a f.g.m. de Y é dada por: M Y (t) = e bt M X (at) Demonstração: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 12 / 19

13 Teorema 4.3: Sejam X 1,X 2,...,X n variáveis aleatórias independentes, com M X1,M X2,...,M Xn sendo suas respectivas funções geradoras de momentos para t em alguma vizinhança de zero. Se Y = X 1 + X X n, então a função geradora de momentos de Y existe e é dada por: Demonstração: M Y (t) = n M Xj (t). j=1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 13 / 19

14 Teorema 4.4: Sejam X e Y variáveis aleatórias com função geradora de momentos M X (t) e M Y (t), respectivamente. Se M X (t) = M Y (t), para todo t em t < t 0, t 0 > 0, então X e Y tem a mesma distribuição de probabilidade. Em outras palavras, se X e Y têm a mesma F.D.A. então elas possuem a mesma f.g.m., do mesmo modo se X e Y tem a mesma f.g.m., então elas possuem a mesma F.D.A.. A demonstração desse teorema não será feita pois precisaríamos de alguns resultados que estão fora do conteúdo desse curso. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 14 / 19

15 EXEMPLO 4.2: A partir da função geradora de momentos do exemplo 4.1 obtenha a E(X) e a Var(X). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 15 / 19

16 EXEMPLO 4.3: Seja X uma V.A. com f.g.m. M X (t) = (0.4e t + 0.6) 8. a) Obtenha a esperança de X. b) Estabeleça a f.g.m. de Y = 3X + 2. c) Obtenha a esperança de Y. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 16 / 19

17 EXEMPLO 4.3: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 17 / 19

18 EXEMPLO 4.4: Seja X uma V.A.C com função densidade de probabilidade f(x) = 1 2 e x, com < x <. a) Obtenha a f.g.m. de X. b) A partir da f.g.m. obtenha a variância de X. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 18 / 19

19 EXEMPLO 4.4: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 19 / 19

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 1 / 26

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 1 / 26 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 1 / 26 Vimos que a função geradora de momentos é uma ferramenta

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31 Um teorema de grande importância e bastante utilidade em probabilidade

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 1 / 1 Esperança Definição 2.1:(Valor Esperado

Leia mais

SUMÁRIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS

SUMÁRIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS 4 SUMÁRIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS Em muitos problemas de probabilidade que requerem o uso de variáveis aleatórias, uma completa especificação da função de densidade de probabilidade ou não está

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 1 / 1 A distribuição t de Student é uma das distribuições

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Qui-quadrado 02/14 1 / 1 Definição 14.1: Uma variável aleatória contínua X tem

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 1 / 19

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 1 / 19 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 1 / 19 Nos modelos matemáticos aleatórios parâmetros podem ser

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 02/14 1 / 1 A distribuição F de Snedecor também conhecida como distribuição de Fisher é frequêntemente

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 1 / 13

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 1 / 13 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 1 / 13 Distribuição Geométrica Considere novamente uma sequência

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 1 / 25 VALE A PENA VER DE NOVO:Variáveis Aleatórias

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Lei dos Grandes Números e Teorema Central do Limite 02/14 1 / 9 Lei dos Grandes Números Lei

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 1 / 19

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 1 / 19 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 1 / 19 Modelo Poisson Na prática muitos experimentos consistem em observar a

Leia mais

3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 011 Variável aleatória é o espaço amostral de um eperimento aleatório. Uma variável aleatória,, é uma função que atribui um número real a cada resultado em. Eemplo. Retira-, ao

Leia mais

4.1. ESPERANÇA x =, x=1

4.1. ESPERANÇA x =, x=1 4.1. ESPERANÇA 139 4.1 Esperança Certamente um dos conceitos mais conhecidos na teoria das probabilidade é a esperança de uma variável aleatória, mas não com esse nome e sim com os nomes de média ou valor

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Condicionais 11/13 1 / 19 Em estudo feito em sala perguntamos aos alunos qual

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Bidimensionais 11/13 1 / 1 Variáveis Bidimensionais Até o momento, consideramos

Leia mais

AULA 17 - Distribuição Uniforme e Normal

AULA 17 - Distribuição Uniforme e Normal AULA 17 - Distribuição Uniforme e Normal Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ Distribuições Contínuas Em muitos problemas se torna matematicamente mais simples considerar um espaço

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Aula Valor esperado como solução do problema do menor erro quadrático médio e Quantis 03/14 1 / 15 Valor esperado como solução

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Variáveis Aleatórias Departamento de Estatística Luiz Medeiros Introdução Como sabemos, características de interesse em diversas áreas estão sujeitas à variação; Essa variabilidade

Leia mais

Tiago Viana Flor de Santana

Tiago Viana Flor de Santana ESTATÍSTICA BÁSICA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME Tiago Viana Flor de Santana www.uel.br/pessoal/tiagodesantana/ tiagodesantana@uel.br sala 07 Curso: MATEMÁTICA Universidade Estadual de Londrina UEL Departamento

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Variáveis Aleatórias Ao descrever um espaço

Leia mais

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades - parte I 2012/02 1 Variáveis Aleatórias Contínuas 2 Distribuições de Probabilidade e Funções Densidades de Probabil 3 4 Objetivos Ao final

Leia mais

Processos Estocásticos. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Luiz Affonso Guedes. Como devemos descrever um experimento aleatório?

Processos Estocásticos. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Luiz Affonso Guedes. Como devemos descrever um experimento aleatório? Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Momentos e Estatística Condicional Teorema do Limite Central Processos Estocásticos

Leia mais

DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros

DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Variáveis Aleatórias Departamento de Estatística Luiz Medeiros Introdução Como sabemos, características de interesse em diversas áreas estão sujeitas à variação Essa variabilidade

Leia mais

Processos Estocásticos. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Luiz Affonso Guedes

Processos Estocásticos. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Luiz Affonso Guedes Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Momentos e Estatística Condicional Teorema do Limite Central Processos Estocásticos

Leia mais

Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes

Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Variáveis Aleatórias Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Variáveis Aleatórias Momentos e Estatística Condicional Teorema

Leia mais

1 Variáveis Aleatórias

1 Variáveis Aleatórias Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 5 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 3 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS (Notas de aula) 1 Variáveis

Leia mais

Momentos: Esperança e Variância. Introdução

Momentos: Esperança e Variância. Introdução Momentos: Esperança e Variância. Introdução Em uma relação determinística pode-se ter a seguinte relação: " + " = 0 Assim, m =, é a declividade e a e b são parâmetros. Sabendo os valores dos parâmetros

Leia mais

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades - parte I 29 de Abril de 2014 Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Determinar probabilidades a partir de funções densidades

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Covariância e Coeficiente de correlação 11/13 1 / 21 Covariância Quando duas variáveis aleatórias

Leia mais

Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 09

Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 09 Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais Aula 09 Universidade Federal do Espírito Santo - Departamento de Informática - DI Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia - LPRM Teoria das Filas

Leia mais

Tiago Viana Flor de Santana

Tiago Viana Flor de Santana ESTATÍSTICA BÁSICA DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE (MODELO NORMAL) Tiago Viana Flor de Santana www.uel.br/pessoal/tiagodesantana/ tiagodesantana@uel.br sala 07 Curso: MATEMÁTICA Universidade Estadual

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de Bernoulli e Binomial 07/14 1 / 32 Distribuições Discretas Apresentaremos agora

Leia mais

2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB.

2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB. 2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB. 1) Classifique as seguintes variáveis aleatórias como discretas ou contínuas. X : o número de acidentes de automóvel por ano na rodovia BR 116. Y :

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 1 / 25

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 1 / 25 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 1 / 25 Função de Distribuição Definição 8.1:(Função de Distribuição)

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Esperança e Variância. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Esperança e Variância. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Esperança e Variância Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB ESPERANÇA E VARIÂNCIA Nos modelos matemáticos aleatórios parâmetros podem ser empregados para caracterizar

Leia mais

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades - parte II 26 de Novembro de 2013 Distribuição Contínua Uniforme Média e Variância Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz

Leia mais

Seja (X,Y) uma v.a. bidimensional contínua ou discreta. Define-se valor esperado condicionado de X para um dado Y igual a y da seguinte forma:

Seja (X,Y) uma v.a. bidimensional contínua ou discreta. Define-se valor esperado condicionado de X para um dado Y igual a y da seguinte forma: 46 VALOR ESPERADO CONDICIONADO Seja (X,Y) uma v.a. bidimensional contínua ou discreta. Define-se valor esperado condicionado de X para um dado Y igual a y da seguinte forma: Variável contínua E + ( X Y

Leia mais

Cálculo das Probabilidades I

Cálculo das Probabilidades I Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 05/11 1 / 1 Seja Y uma função de uma variável aleatória X. EXEMPLOS: Obter o

Leia mais

Cálculo das Probabilidades I

Cálculo das Probabilidades I Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 10/13 1 / 11 Seja Y uma função de uma variável aleatória X. EXEMPLOS: Obter o

Leia mais

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Algoritmo para simular uma fila Medidas de interesse Média amostral Aula de hoje Teorema do Limite Central Intervalo de Confiança Variância amostral

Leia mais

Estatísticas Inferenciais Distribuições Amostrais. Estatística

Estatísticas Inferenciais Distribuições Amostrais. Estatística Estatística Na descrição dos conjuntos de dados x 1,..., x n, não foi feita menção ao conceito de população. Estatísticas inferenciais: preocupadas com a fonte dos dados e em tentar fazer generalizações

Leia mais

Cálculo das Probabilidades I

Cálculo das Probabilidades I Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 1 / 41 LEMBRANDO: Variável Aleatória Contínua Assume

Leia mais

Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística Aula 7 Distribuição da Média Amostral Leitura obrigatória: Devore: Seções 5.3, 5.4 e 5.5 Chap 8-1 Inferência Estatística Na próxima aula vamos começar a parte de inferência

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Distribuição Normal Motivação: Distribuição

Leia mais

Estatística Aplicada II. } Revisão: Probabilidade } Propriedades da Média Amostral

Estatística Aplicada II. } Revisão: Probabilidade } Propriedades da Média Amostral Estatística Aplicada II } Revisão: Probabilidade } Propriedades da Média Amostral 1 Aula de hoje } Tópicos } Revisão: } Distribuição de probabilidade } Variáveis aleatórias } Distribuição normal } Propriedades

Leia mais

ESTATÍSTICA I Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Discretas. Helena Penalva 2006/2007

ESTATÍSTICA I Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Discretas. Helena Penalva 2006/2007 ESTATÍSTICA I Variáveis Aleatórias 1 Definição: A uma função X de domínio Ω com valores em Ñ X:Ω Ñ, ω X(ω)=x, chamamos variável aleatória (v.a.) em Ω. Ao contradomínio da função X, designaremos por V X

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Joaquim H Vianna Neto Relatório Técnico RTE-03/013 Relatório Técnico Série Ensino Variáveis

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição de funções de vetores aleatórios 02/14 1 / 10 Distribuição de funções de vetores

Leia mais

Estatística Aplicada

Estatística Aplicada Estatística Aplicada Variável Aleatória Contínua e Distribuição Contínua da Probabilidade Professor Lucas Schmidt www.acasadoconcurseiro.com.br Estatística Aplicada DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE

Leia mais

ALGUNS MODELOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS. Prof.: Idemauro Antonio Rodrigues de Lara

ALGUNS MODELOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS. Prof.: Idemauro Antonio Rodrigues de Lara 1 ALGUNS MODELOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS Prof.: Idemauro Antonio Rodrigues de Lara 2 Modelos de variáveis aleatórias discretas 1. Distribuição Uniforme Discreta 2. Distribuição Binomial

Leia mais

Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 08

Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 08 Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais Aula 08 Universidade Federal do Espírito Santo - Departamento de Informática - DI Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia - LPRM Teoria das Filas

Leia mais

Universidade Federal de Lavras

Universidade Federal de Lavras Universidade Federal de Lavras Departamento de Estatística Prof. Daniel Furtado Ferreira 6 a Lista de Exercícios Teoria da Estimação pontual e intervalar 1) Marcar como verdadeira ou falsa as seguintes

Leia mais

Bioestatística. AULA 6 - Variáveis aleatórias. Isolde Previdelli

Bioestatística. AULA 6 - Variáveis aleatórias. Isolde Previdelli Universidade Estadual de Maringá Mestrado Acadêmico em Bioestatística Bioestatística Isolde Previdelli itsprevidelli@uem.br isoldeprevidelli@gmail.com AULA 6 - Variáveis aleatórias 30 de Março de 2017

Leia mais

Estatística Matemática I

Estatística Matemática I Estatística Matemática I Roseli Aparecida Leandro e Clarice G.B. Demétrio Março de 2011 Depto. de Ciências Exatas, ESALQ/USP e-mail: raleandr@esalq.usp.br 1 Variáveis aleatórias Sejam E um experimento

Leia mais

MAE 116 Distribuição Normal FEA - 2º Semestre de 2018

MAE 116 Distribuição Normal FEA - 2º Semestre de 2018 MAE 116 Distribuição Normal FEA - 2º Semestre de 2018 1 Introdução Até aqui estudamos variáveis aleatórias discretas que são caracterizadas por ter uma distribuição de probabilidade dada por uma tabela

Leia mais

Processos Estocásticos

Processos Estocásticos Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Modelos Probabilísticos Discretos Uniforme Bernoulli Binomial Hipergeométrico Geométrico Poisson Contínuos Uniforme Normal Tempo de Vida Exponencial Gama

Leia mais

Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes

Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Modelos Probabilísticos Discretos Uniforme Bernoulli Binomial Hipergeométrico Geométrico Poisson Contínuos Uniforme Normal Tempo de Vida Exponencial Gama

Leia mais

PARTE 3. Profª. Drª. Alessandra de Ávila Montini

PARTE 3. Profª. Drª. Alessandra de Ávila Montini PARTE 3 Profª. Drª. Alessandra de Ávila Montini Distribuições Contínuas 2 Conteúdo Principais Distribuições de Probabilidade para Variáveis Quantitativas Contínuas: Exponencial Normal T de Student Qui-quadrado

Leia mais

Estatística Básica. Variáveis Aleatórias Contínuas. Renato Dourado Maia. Instituto de Ciências Agrárias. Universidade Federal de Minas Gerais

Estatística Básica. Variáveis Aleatórias Contínuas. Renato Dourado Maia. Instituto de Ciências Agrárias. Universidade Federal de Minas Gerais Estatística Básica Variáveis Aleatórias Contínuas Renato Dourado Maia Instituto de Ciências Agrárias Universidade Federal de Minas Gerais Lembrando... Uma quantidade X, associada a cada possível resultado

Leia mais

Análise de Dados e Simulação

Análise de Dados e Simulação Universidade de São Paulo Instituto de Matemática e Estatística http:www.ime.usp.br/ mbranco Simulação de Variáveis Aleatórias Contínuas. O método da Transformada Inversa Teorema Seja U U (0,1). Para qualquer

Leia mais

Variáveis aleatórias. Universidade Estadual de Santa Cruz. Ivan Bezerra Allaman

Variáveis aleatórias. Universidade Estadual de Santa Cruz. Ivan Bezerra Allaman Variáveis aleatórias Universidade Estadual de Santa Cruz Ivan Bezerra Allaman DEFINIÇÃO É uma função que associa cada evento do espaço amostral a um número real. 3/37 Aplicação 1. Seja E um experimento

Leia mais

Avaliação e Desempenho Aula 5

Avaliação e Desempenho Aula 5 Avaliação e Desempenho Aula 5 Aula passada Revisão de probabilidade Eventos e probabilidade Independência Prob. condicional Aula de hoje Variáveis aleatórias discretas e contínuas PMF, CDF e função densidade

Leia mais

TESTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV. Professor Ewaldo Santana Universidade Estadual do Maranhão - UEMA

TESTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV. Professor Ewaldo Santana Universidade Estadual do Maranhão - UEMA TESTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV Professor Ewaldo Santana Universidade Estadual do Maranhão - UEMA Conteúdo 2 Ewaldo Santana Introdução 3 Ewaldo Santana Introdução Testes estatísticos paramétricos, tais como

Leia mais

Introdução à Probabilidade e à Estatística (BCN ) Prova 2 (A) 16/08/2018 Correção

Introdução à Probabilidade e à Estatística (BCN ) Prova 2 (A) 16/08/2018 Correção Introdução à Probabilidade e à Estatística (BCN0406-1) Prova 2 (A) 16/08/2018 Correção (1.pt) 1. Dadas as seguintes probabilidades associadas à variável aleatória X: -1 1 2 p() 1/2 1/3 1/6 a) Calcule a

Leia mais

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades - parte III 23 de Abril de 2012 Introdução Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Calcular probabilidades aproximadas

Leia mais

Probabilidade Aula 08

Probabilidade Aula 08 332 Probabilidade Aula 8 Magno T. M. Silva Escola Politécnica da USP Maio de 217 A maior parte dos exemplos dessa aula foram extraídos de Jay L. Devore, Probabilidade e Estatística para engenharia e ciências,

Leia mais

Universidade Federal da Paraíba Departamento de Estatística Lista 1 - Outubro de 2013

Universidade Federal da Paraíba Departamento de Estatística Lista 1 - Outubro de 2013 1. Seja X a duração de vida de uma válvula eletrônica e admita que X possa ser representada por uma variável aleatória contínua, com f.d.p. be bx, x 0. Seja p j = P (j X < j + 1). Verifique que p j é da

Leia mais

Distribuições de Probabilidade. Variáveis aleatórias contínuas

Distribuições de Probabilidade. Variáveis aleatórias contínuas Distribuições de Probabilidade Variáveis aleatórias contínuas 1 Variáveis contínuas Uma variável aleatória contínua toma um nº infinito não numerável de valores (intervalos de números reais), os quais

Leia mais

Processos estocásticos

Processos estocásticos 36341 - Introdução aos Processos Estocásticos Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Departamento de Engenharia Elétrica Universidade de Brasília Processos estocásticos Geovany A. Borges gaborges@ene.unb.br

Leia mais

Teorema do Limite Central

Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Bacharelado em Economia - FEA - Noturno 1 o Semestre 2014 MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 1 / 47 Objetivos da Aula Sumário 1 Objetivos da Aula 2

Leia mais

AULA 8 - Funções de variáveis aleatórias

AULA 8 - Funções de variáveis aleatórias AULA 8 - Funções de variáveis aleatórias Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ Funções de variáveis aleatórias Dada uma variável aleatória X, nós podemos gerar outras variáveis aleatórias

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ Seja X uma variável aleatória com conjunto de valores X(S). Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variância 07/14 1 / 14

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variância 07/14 1 / 14 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 07/14 1 / 14 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 07/14 2 / 14 Prof. Tarciana Liberal (UFPB)

Leia mais

AULAS 6 e 7. ESPERANÇA, MOMENTOS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de VARIÁVEIS DISCRETAS 05/05/2017

AULAS 6 e 7. ESPERANÇA, MOMENTOS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de VARIÁVEIS DISCRETAS 05/05/2017 AULAS 6 e 7 ESPERANÇA, MOMENTOS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de VARIÁVEIS DISCRETAS 05/05/2017 Em aulas passadas vimos as funções de probabilidade de variáveis discretas e contínuas agora vamos ver

Leia mais

Sumário. 2 Índice Remissivo 11

Sumário. 2 Índice Remissivo 11 i Sumário 1 Principais Distribuições Contínuas 1 1.1 Distribuição Uniforme................................. 1 1.2 A Distribuição Normal................................. 2 1.2.1 Padronização e Tabulação

Leia mais

A Inferência Estatística é um conjunto de técnicas que objetiva estudar a população através de evidências fornecidas por uma amostra.

A Inferência Estatística é um conjunto de técnicas que objetiva estudar a população através de evidências fornecidas por uma amostra. UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Distribuição Amostral Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística INTRODUÇÃO A Inferência Estatística é um conjunto de técnicas que objetiva estudar a população através

Leia mais

Distribuição Normal. Estatística Aplicada I DISTRIBUIÇÃO NORMAL. Algumas característica importantes. 2πσ

Distribuição Normal. Estatística Aplicada I DISTRIBUIÇÃO NORMAL. Algumas característica importantes. 2πσ Estatística Aplicada I DISTRIBUIÇÃO NORMAL Prof a Lilian M. Lima Cunha AULA 5 09/05/017 Maio de 017 Distribuição Normal Algumas característica importantes Definida pela média e desvio padrão Media=mediana=moda

Leia mais

Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística Aula 6 - Distribuições Contínuas (Parte 01) Leitura obrigatória: Devore, Capítulo 4 Cap 6-1 Objetivos Nesta aula, vamos aprender: Representações de uma v. a. contínua: função

Leia mais

Cálculo II (Primitivas e Integral)

Cálculo II (Primitivas e Integral) Cálculo II (Primitivas e Integral) Antônio Calixto de Souza Filho Escola de Artes, Ciências e Humanidades Universidade de São Paulo 5 de março de 2013 1 Aplicações de Integrais subject Aplicações de Integrais

Leia mais

b) Variáveis Aleatórias Contínuas

b) Variáveis Aleatórias Contínuas Disciplina: 221171 b) Variáveis Aleatórias Contínuas Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros DTAiSeR-Ar 1 Uma variável aleatória é contínua (v.a.c.) se seu conjunto de valores é qualquer intervalo

Leia mais

3. Estimação pontual USP-ICMC-SME. USP-ICMC-SME () 3. Estimação pontual / 25

3. Estimação pontual USP-ICMC-SME. USP-ICMC-SME () 3. Estimação pontual / 25 3. Estimação pontual USP-ICMC-SME 2013 USP-ICMC-SME () 3. Estimação pontual 2013 1 / 25 Roteiro Formulação do problema. O problema envolve um fenômeno aleatório. Interesse em alguma característica da população.

Leia mais

Nome: N o : Espaço reservado a classificações

Nome: N o : Espaço reservado a classificações ESTATÍSTICA I 2 o Ano/Gestão 1 o Semestre Época Normal Duração: 2 horas 1 a Parte Teórica N o de Exame: abcde 03.Jan.11 Este exame é composto por duas partes. Esta é a 1 a Parte Teórica (Cotação: 8 valores).

Leia mais

1 Noções de Probabilidade

1 Noções de Probabilidade Noções de Probabilidade Já vimos que para se obter informações sobre alguma característica da população, podemos utilizar uma amostra. Estudaremos agora a probabilidade, que é uma ferramenta usada e necessária

Leia mais

Variável Aleatória Contínua. Tiago Viana Flor de Santana

Variável Aleatória Contínua. Tiago Viana Flor de Santana ESTATÍSTICA BÁSICA Variável Aleatória Contínua Tiago Viana Flor de Santana www.uel.br/pessoal/tiagodesantana/ tiagodesantana@uel.br sala 07 Curso: MATEMÁTICA Universidade Estadual de Londrina UEL Departamento

Leia mais

Capítulo 2. Variáveis Aleatórias e Distribuições

Capítulo 2. Variáveis Aleatórias e Distribuições Capítulo 2 Variáveis Aleatórias e Distribuições Experimento Aleatório Não existe uma definição satisfatória de Experimento Aleatório. Os exemplos dados são de fenômenos para os quais modelos probabilísticos

Leia mais

a) o time ganhe 25 jogos ou mais; b) o time ganhe mais jogos contra times da classe A do que da classe B.

a) o time ganhe 25 jogos ou mais; b) o time ganhe mais jogos contra times da classe A do que da classe B. Universidade de Brasília Departamento de Estatística 5 a Lista de PE. Um time de basquete irá jogar uma temporada de 44 jogos. desses jogos serão disputados contra times da classe A e os 8 restantes contra

Leia mais

canal para sinais contínuos

canal para sinais contínuos Processos estocásticos, Entropia e capacidade de canal para sinais contínuos 24 de setembro de 2013 Processos estocásticos, Entropia e capacidade de canal para1 sin Conteúdo 1 Probabilidade de sinais contínuos

Leia mais

Variáveis Aleatórias - VA

Variáveis Aleatórias - VA Variáveis Aleatórias - VA cc ck kc kk 0 1 2 1/4 1/2 Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM - Introdução Se entende por VA ou V. indicadoras uma lista de valores

Leia mais

Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística Aula 6 Distribuições Contínuas (Parte 02) Leitura obrigatória: Devore, Capítulo 4 Chap 6-1 Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade

Leia mais

Disciplina: Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio. DTAiSeR-Ar

Disciplina: Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio. DTAiSeR-Ar Disciplina: 1171 b) Variáveis Aleatórias Contínuas Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio DTAiSeR-Ar 1 Uma variável aleatória é contínua (v.a.c.) se seu conjunto de valores é qualquer intervalo dos números

Leia mais

b) Variáveis Aleatórias Contínuas

b) Variáveis Aleatórias Contínuas Disciplina: 1171 b) Variáveis Aleatórias Contínuas Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros DTAiSeR-Ar 1 Uma variável aleatória é contínua (v.a.c.) se seu conjunto de valores é qualquer intervalo

Leia mais

Distribuições de Probabilidade

Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade 7 6 5 4 3 2 1 0 Normal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Exemplos: Temperatura do ar 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Assimetrica Positiva 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Exemplos: Precipitação

Leia mais

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 8: Resumo de Probabilidade

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 8: Resumo de Probabilidade MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 8: Resumo de Probabilidade Edson de Faria Departamento de Matemática IME-USP 28 de Agosto, 2013 Probabilidade: uma Introdução / Aula 8 1 Desigualdades de Markov e

Leia mais

ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS

ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS AULA 2: :. Sinais de Tempo Contínuo e Sinais de Tempo Discreto; 2. Sinais Analógicos e Digitais; 3. Sinais Determinísticos e Sinais Aleatórios; 4. Sinais Pares e Sinais Ímpares;

Leia mais

Estatística Aplicada I

Estatística Aplicada I Estatística Aplicada I ESPERANCA MATEMATICA AULA 1 25/04/17 Prof a Lilian M. Lima Cunha Abril de 2017 EXPERIMENTO RESULTADOS EXPERIMENTAIS VARIÁVEL ALEATÓRIA X = variável aleatória = descrição numérica

Leia mais

Inferência para CS Modelos univariados contínuos

Inferência para CS Modelos univariados contínuos Inferência para CS Modelos univariados contínuos Renato Martins Assunção DCC - UFMG 2014 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Inferência para CS Modelos univariados contínuos 2014 1 / 42 V.A. Contínua

Leia mais

Testes de Hipóteses. Ricardo Ehlers Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo

Testes de Hipóteses. Ricardo Ehlers Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo Testes de Hipóteses Ricardo Ehlers ehlers@icmc.usp.br Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo Introdução e notação Em geral, intervalos de confiança são a forma mais

Leia mais