Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31

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1 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31

2 Um teorema de grande importância e bastante utilidade em probabilidade e estatística é a desigualdade de Chebyshev. Esta desigualdade é fundamental para o entendimento de como a variância mede a variabilidade em relação ao valor esperado de uma variável aleatória. Dada uma variável aleatória X e conhecida a sua distribuição de probabilidade (fdp no caso contínuo e fp no caso discreto), Podemos determinar E(X) e Var(X), se existirem. Contudo, a recíproca não é válida. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 2 / 31

3 Isto é, do conhecimento de E(X) e Var(X) não podemos reconstruir a distribuição de probabilidade de X e, consequentemente, calcular probabilidades, tais como: P[ X E(X) C] Embora isto não seja possível, podemos, no entanto, estabelecer um limite superior (ou inferior) muito útil para estas probabilidades. Este resultado está contido na desigualdade de Chebyshev. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 3 / 31

4 Desigualdade Básica de Chebyshev Seja X uma variável aleatória não negativa (X 0). Para todo λ 0, DEMONSTRAÇÃO: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 4 / 31

5 DEMONSTRAÇÃO: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 5 / 31

6 Desigualdade Básica de Chebyshev Exemplo 1: Em uma empresa com 100 funcionários, o número médio de usuários simultâneos de internet, em um certo período, é de aproximadamente 30. Atualmente, existem 30 linhas telefônicas disponíveis para conexão. Deseja-se avaliar a necessidade de aumentar esse número. Vamos admitir que 30 é o valor esperado do número de conexões simultâneas, mas nada sabemos da distribuição de probabilidade dessa variável. Uma alternativa é usar a desigualdade de Chebyshev para construir uma tabela com o valor máximo da probabilidade, em função do número mínimo de usuários conectados simultaneamente. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 6 / 31

7 Desigualdade Básica de Chebyshev Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 7 / 31

8 Desigualdade Básica de Chebyshev Apesar de podermos obter estimativas mais precisas por outros métodos, a desigualdade de Chebyshev fornece uma avaliação probabilística que combinada com outros fatores, dá subsídios à tomada de decisões. Por exemplo, é possível verificar que a probabilidade de até 70 usuários simultâneos é superior a Assim, se for aceitável um índice mínimo de 57% para a probabilidade de conexão, a empresa deveria ampliar suas linhas telefônicas para 70. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 8 / 31

9 Desigualdade Clássica de Chebyshev Se X é integrável, então para qualquer λ > 0 As seguintes formas equivalentes são imediatas: i) Generalizando para E(X) = c, ii) Considerando o evento complementar, Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 9 / 31

10 Desigualdade Clássica de Chebyshev iii) Escolhendo λ = kσ, onde µ = E(X) e σ 2 = Var(X) > 0, DEMONSTRAÇÃO: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 10 / 31

11 DEMONSTRAÇÃO: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 11 / 31

12 Desigualdade Clássica de Chebyshev Exemplo 2: Suponha que k = 2 em iii), assim ou P( X µ 2σ) P( X µ < 2σ) Ou seja, a probabilidade de X diferir de sua média em mais de dois desvios padrões é inferior ou, no máximo, igual a Equivalentemente, a probabilidade de X estar compreendido no intervalo de dois desvios padrões de sua média, é superior ou, no mínimo, igual a É importante verificar que não precisamos para isso especificar a distribuição de probabilidade de X. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 12 / 31

13 Desigualdade Clássica de Chebyshev Exemplo 3: Obtenha o limite da desigualdade P( X µ 3 σ) =? 2 Admita que X é uniformemente distribuída sobre (1 1/ 3,1 + 1/ 3) e calcule o limite obtido acima. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 13 / 31

14 Desigualdade Clássica de Chebyshev O resultado obtido da desigualdade de Chebyshev está coerente com esse resultado. Contudo este último é mais preciso. Na prática, a desigualdade de Chebyshev é usada na obtenção de estimativas, quando não é conveniente, ou quando é impossível obter valores exatos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 14 / 31

15 Desigualdade Clássica de Chebyshev A desigualdade de Chebyshev estabelece um limite superior em termos de Var(X) e λ para a probabilidade de que X se desvie de sua média por mais λ unidades. Suas principais vantagens são: Vantagens Sua grande generalidade. O fato de não ser necessário fazer nenhuma restrição sobre a distribuição de X, exceto que ela possui variância finita. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 15 / 31

16 Desigualdade Clássica de Chebyshev Exemplo 4: Em uma certa empresa, constatou-se que o número médio, por semana, de faltas ao serviço é de 52.4 e um desvio padrão de 4.7. Qual a probabilidade de se constatar uma variação de até 12 faltas em torno do valor médio registrado? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 16 / 31

17 Desigualdade Clássica de Chebyshev Exemplo 5: Seja Z N(0,1), obtenha um limite para P( Z 2) através da desigualdade de Chebyshev. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 17 / 31

18 Desigualdade de Markov Um resultado semelhante à desigualdade de Chebyshev, mas que relaciona a probabilidade de um evento com seu momento de orfdem k é a desigualdade de Markov. Seja X uma variável aleatória qualquer. Então, para quaisquer λ e k > 0, temos DEMONSTRAÇÃO: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 18 / 31

19 Desigualdade de Markov DEMONSTRAÇÃO: Se a partir de uma amostra pudermos obter estimativas de momentos da variável, a desigualdade acima pode ajudar a estabelecer limites em probabilidade de interesse. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 19 / 31

20 Desigualdade de Markov Exemplo 1: Seja Y uma V.A. tal que E(Y 4 ) 100. Use esta informação para encontrar um limite superior para P(Y 5) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 20 / 31

21 Desigualdade de Markov Exemplo 2: Seja X uma V.A. exp(1). Use a desigualdade de Markov para provar que P(X > c) 1, em que c é um número positivo qualquer. c Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 21 / 31

22 Desigualdade de Jensen Antes de apresentar a desigualdade vamos introduzir uns conceitos importantes. Funções convexas são funções cujo gráfico está abaixo de (ou coincide com) qualquer corda traçada entre dois de seus pontos na região entre esses pontos. Isso é equivalente a dizer que o gráfico está acima de qualquer tangente a um de seus pontos. Uma função duas vezes diferenciável de uma variável é convexa num intervalo se e somente se, a sua segunda derivada é maior ou igual a zero em todo o intervalo. Se a sua segunda derivada é estritamente positiva então a função é estritamente convexa. Exemplos de funções convexas: f(x) = x 2, f(x) = e x e f(x) = x. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 22 / 31

23 Desigualdade de Jensen Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 23 / 31

24 Desigualdade de Jensen Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 24 / 31

25 Desigualdade de Jensen Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 25 / 31

26 Desigualdade de Jensen Desigualdade de Jensen Seja X uma variável aleatória com esperança finita e seja ϕ uma função convexa. Então DEMONSTRAÇÃO: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 26 / 31

27 Desigualdade de Jensen DEMONSTRAÇÃO: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 27 / 31

28 Desigualdade de Jensen Exemplo 1 Se ϕ(x) = X 2, então, a partir da desigualdade de Jensen, temos que Exemplo 2 Se ϕ(x) = e X, então, a partir da desigualdade de Jensen, temos que Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 28 / 31

29 Desigualdade de Jensen Exemplo 3 Use a desigualdade de Jensen para provar que a variância de uma variável aleatória é sempre não negativa. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 29 / 31

30 Outras Desigualdades Estas desigualdades são casos especiais da desigualdade de Hölder apresentada a seguir. Desigualdade de Hölder Sejam X e Y variáveis aleatórias quaisquer. Então E(XY) E XY {E X r } 1/r {E X s } 1/s, 1 < r <, 1 r + 1 s Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 30 / 31

31 Outras Desigualdades Outras Desigualdades Desigualdade de Liapounov {E X r } 1/r {E X s } 1/s, 1 < r < s <. Desigualdade de Minkowski {E X + Y r } 1/r {E X r } 1/r + {E Y r } 1/r, 1 r <. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 31 / 31

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