PROBLEMA 1 O retorno mensal de certo investimento de risco pode ser modelado pela variável aleatória R com função de probabilidade dada abaixo :

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1 Módulo básico - Tópicos de Estatística e obabilidade ONS 006/007 - ofa. Mônica Barros LISTA DE EXERCÍCIOS # PROBLEMA O retorno mensal de certo investimento de risco pode ser modelado pela variável aleatória R com função de probabilidade dada abaixo : r -5 % 0 % 5 % 0 % 5 % (R r) a) Calcule o retorno esperado (em %) do investimento e sua variância e desvio padrão. b) Considere agora a variável aleatória X, onde X 0 se houve retorno negativo ou zero, e X ("sucesso") se houve retorno positivo. Suponha que você aplica o seu dinheiro por meses consecutivos, e que as aplicações em meses subsequentes são independentes e com a mesma probabilidade de "sucesso". Qual a probabilidade de obter retorno positivo em 7 ou mais meses? a) Média.75% E(R ) variância d.padrão 6.57% b) A variável X é Bernoulli com probabilidade de sucesso p Seja Y X i. Então Y tem distribuição Binomial (n, p 0.45). i Desejamos calcular ( Y > 7) ( Y 8 ) + ( Y ) ( Y ) y prob 8 7.6%.77% % 0.0% 0.0% ( Y > 7).7%

2 PROBLEMA Um engenheiro encarregado da manutenção de uma certa máquina notou que os defeitos têm três possíveis causas (elétrica, mecânica e operacional). Os custos de reparo, por sua vez, estão associados ao tipo de defeito encontrado, e são: R$ 00 C R$ 50 R$ 50 falha elétrica falha mecânica falha operacional A experiência passada mostra que 0% dos defeitos são causados por falhas elétricas, e 50% por falhas mecânicas. a) Qual o custo esperado de reparo da máquina em R$? b) Qual o desvio padrão do custo de reparo da máquina? a) A probabilidade de uma falha operacional é O custo esperado de reparo da máquina é: E(C) 00.(0.) + 50(0.5) + 50(0.) R$ 0 b) A variância dos custos é: VAR(C) E(C ) (E(C)) E(C ) (0) Logo, o desvio padrão dos custos é: σ 700 R$0.77 PROBLEMA A probabilidade de uma pessoa ser fumante na população é 0%. Você é fumante e quer acender seu cigarro mas perdeu seu isqueiro. Suponha que os eventos {ter isqueiro} e {ser fumante} são equivalentes. Você sai perguntando a cada pessoa numa enorme fila se elas têm isqueiro. a) Qual a probabilidade de precisar perguntar a pelo menos cinco pessoas antes de encontrar um fumante? b) Na média, a quantas pessoas você terá que perguntar por um isqueiro até encontrar um fumante? Este é um problema típico da distribuição Geométrica. Cada repetição de Bernoulli pode ser descrita como: X i 0 se a se a i - ésima i - ésima pessoa não tem isqueiro pessoa TEM isqueiro ("sucesso")

3 Seja Y o número de pessoas a quem você tem que perguntar antes de encontrar a primeira com um isqueiro. Então Y é uma variável Geométrica com probabilidade de sucesso p 0% e a sua função de probabilidade é: y ( Y y) ( 0.) ( 0.) y,,,... a) (Y 5) (Y 5) + (Y 6) + (Y 7) +... (Y 4) (Y ) - (Y ) - (Y ) - (Y 4) (0.).( ) b) A média da distribuição Geométrica é: E p 0. ( Y ) 0 pessoas PROBLEMA 4 O consumo mensal em minutos por conta de celular numa certa região é uma v.a. Normal com média 40 minutos e desvio padrão minutos. a) Qual a probabilidade de alguém usar o celular menos de 50 minutos? b) Qual a probabilidade de alguém usar o celular mais de 5 minutos? c) Quantos minutos por mês alguém deve passar no celular para estar entre os 0% que mais usam o aparelho? d) Quantos minutos por mês alguém deve passar no celular para estar entre os 5% que MENOS usam o aparelho? Toma-se uma amostra de 4 usuários de celular. e) Qual a probabilidade do tempo médio de uso na amostra exceder 45 minutos? f) Qual a probabilidade do maior tempo de uso na amostra ser menor que 50 minutos? g) Qual a probabilidade do menor tempo de uso na amostra ser menor que 40 minutos? X consumo em minutos ~ N(40, ) X < Z < 0 / Φ Φ 6 X > ( Z > 5/) Φ b) (X > 5) Φ Φ( ) 0. a) ( X < 50) ( ) ( 0.8) ( ) 665 c) Para ser um dos 0% que mais usam o aparelho, a variável normalizada é z.86

4 4 Logo: X X 40 + (.86) 55.8 minutos d) Para estar entre os 5% que menos usam o celular, a variável normalizada é z e então: X X 40 + (.645) 0.6 minutos Agora considere uma amostra de 4 usuários de celular. O tempo médio é uma variável Normal com média 40 minutos e variância () /4 6. e) X ( X > 45) > ( 6 6 Z > Z 6 - Φ(.04) >.04) f) Seja V Max(X, X,..., X 4 ). Então (V < 50) ( X < 50, X < 50,..., X 4 < 50) e como os X i s são iid, esta probabilidade é igual a {(X < 50)} 4. Mas: X ( X < 50) < Z < Φ( 0.8) (vide item a)) E então: (V < 50) (0.777) g) Seja U Min(X, X,..., X 4 ). Então: (U < 40) - (U 40) - ( X 40, X 40,..., X 4 40) {(X 40)} 4 {0.50} 4 00% oblema 5 Num bar existem 60 pessoas, de dois grupos: bebedores de chopp (5 pessoas) e bebedores de tequila. Toma-se uma amostra sem reposição de 8 pessoas. Qual a probabilidade de encontrar pelo menos 5 bebedores de chopp na amostra? Seja X a variável que mede o número de bebedores de chopp na amostra. Então a função de probabilidade de X é: x x 60 8 ( X x) onde x 0,,,... 8

5 5 (X 5) 0.8 (X 6) 0.0 (X 7) (X 8) 0.00 A soma destas probabilidades nos dá: (X 5) PROBLEMA 6 O salário dos funcionários numa empresa pode ser modelado por uma variável contínua X com a seguinte densidade: f ( x) c. x se 000 X 8000 a) Ache a constante c que faz de f(x) uma densidade. b) Qual o salário médio? c) Ache o ponto m entre 000 e 8000 tal que (X m) Este ponto é a mediana de X, ou seja, o salário mediano dos funcionários desta empresa? a) Para achar c precisamos satisfazer a condição: 8000 x 8000 c 50 ( ) { } ( ) c cx dx c. 0 5 c b) O salário médio é dado por: ( ) ( 405) ( 5) x 8000 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 405)( 0) x dx ( 4) 50 ( ) E( X ) x. f ( x) dx x c) O salário mediano é obtido resolvendo-se: m f ( x) dx m 0 m ( ) 50 c cx dx 0.5 m ( m 0 ) m ( ) ( m 0 ) 0.5 { 56.5} m 0 ( 56.6) / PROBLEMA 7 Você trabalha numa empresa que vende produtos pelo telefone. Apenas 0% das chamadas resultam numa venda. Calcule as seguintes probabilidades: a) De que a primeira venda ocorra na 8a. ligação telefônica. b) De que sejam necessárias ligações para que você consiga fazer a quarta venda? c) Se você faz exatamente chamadas telefônicas, qual a probabilidade de completar exatamente vendas?

6 6 d) Se você faz exatamente 0 chamadas telefônicas, qual a probabilidade de completar entre e 4 vendas (inclusive e 4)? a) Neste caso X representa a ligação em que ocorre a a. venda, e X é uma variável Geométrica com probabilidade p 0.. Logo: 7 ( X 8) ( 0.8) ( 0.) b) Aqui a variável de interesse é o número de ligações até que a 4 a. venda seja efetuada, ou seja, trata-se de uma variável Binomial Negativa com parâmetros r 4 e p ( X ) ( 0.8) ( 0.) c) Neste caso o número de chamadas é fixo a priori e portanto temos uma variável Binomial. X aqui representa o número de chamadas que resultaram em vendas dentre as chamadas realizadas. Então X é Bin(n, p 0.). 0 ( X ) ( 0.) ( 0.8) d) Neste caso você faz exatamente 0 ligações e quer saber a probabilidade de completar, ou 4 vendas. X é o número de chamadas que resultam em vendas dentre as 0 realizadas, e assim X é Bin(n 0, p 0.). 0 x Avalie esta última expressão para x,, 4 x 0 x ( X x) ( 0.) ( 0.8) para x 0,,,... 0 x ob Soma Então ( X 4) oblema 8 Um estudante universitário gasta em média R$ 600,00 em livros por ano. A dispersão entre os valores gastos, medida pelo desvio padrão, é R$ 40,00. Além disso, pode-se encarar os valores gastos pelos universitários como independentes entre si e Normalmente distribuídos. Além disso, a maioria dos estudantes adquire livros pela Internet.

7 7 a) Uma grande livraria na Internet pretende oferecer um cartão VIP aos clientes que mais compram livros. Apenas os % que mais consomem livros num período de um ano receberão o cartão. Acima de qual volume anual de compras um consumidor se candidata ao cartão VIP? b) Considere 6 estudantes universitários. Qual a probabilidade do gasto médio anual em livros destas 6 pessoas ultrapassar R$ 660,00? c) Dentre as 6 pessoas nesta mesma amostra, qual a probabilidade do estudante que menos consumiu livros ter gasto mais de R$ 650 no ano? a) O ponto da distribuição N(0,) tal que a probabilidade de estar abaixo dele é 0. é, pela tabela, z.6. Seja X o gasto médio anual em livros de um estudante universitário. Então X é Normal com média 600 e desvio padrão 40. Logo: Z X ~ N(0,) (Z <.6) 0. e você será cliente VIP na livraria se: X 600 Z.6 X 58., ou seja, se gastar mais que este valor. 40 b) Seja X o gasto médio anual em livros de uma amostra de n estudantes universitários. Neste caso, n 6 estudantes. Sabemos que X é Normal com média R$ 600 e variância (40) /6, isto é, desvio padrão (40)/4 R$ X ( X > 660) > Z > Φ() c) Seja U o estudante que menos gastou em livros na amostra. Se ele gastou mais de R$ 650, então TODOS NA AMOSTRA gastaram mais que R$ 650 em livros. Ou seja, (U > 650) (X > 650, X > 650,..., X 6 > 650). Como os X i s são independentes, esta probabilidade conjunta é o produto das probabilidade dos X i s individuais. Além disso, os X i s formam uma amostra, e portanto são identicamente distribuídos, o que torna (X > 650) (X > 650) (X 6 > 650). Então: (U > 650) {(X > 650)} 6 Mas:

8 8 X ( X > 650) > Z > Φ( 0.08) (U > 650) {(X > 650)} 6 (0.475) (0-7 ) oblema Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta: xy f ( x, y) kx + onde 0 < x < e 0 < y < a) Encontre a constante k que faz de f(x,y) uma densidade. b) Ache a densidade marginal de X. c) Ache a densidade marginal de Y. d) Ache a densidade condicional de Y dado X x. e) Ache a média condicional de Y dado X x. f) X e Y são independentes? Por que? a) 0 0 xy k f ( x, y) dxdy kx + dxdy y k dy k 7 8 k 8 b) A densidade marginal de X é: f x xy x x x ( x) x + dy + se 0 < x < 0 x c) A densidade marginal de Y é: f y xy y y 8 ( y) x + dx + + se 0 < y < 0 y 4 d) A densidade condicional de Y dado X x é: f ( y x) xy x + f ( x, y) 8 x + 4xy onde 0 < y < e 0 < x < f x ( x) x + x x + x 8 Note que, nesta densidade, x deve ser encarado como um parâmetro fixo, enquanto y é a variável aleatória.

9 Abaixo exibimos o gráfico das densidades condicionais para alguns valores de x. Densidades Condicionais de Y dado X x para alguns valores de x f(y 0.) f(y 0.5) f(y 0.5) f(y 0.75) e) A média condicional de Y dado X x é: x + 4xy ( ) ( x ) + 8x y x y 4 + dy x x x + x x + x 6( x + x) E 0 6x + 8 6x + 8 6x + ( 6x + 6) 6x 6x + 8x + x f) X e Y não são independentes pois a densidade conjunta NÃO É o produto das marginais de X e Y. oblema 0 O preço de um certo carro usado é uma variável Normal com média R$ 0 mil e desvio padrão R$ 400,00. a) Você está interessado em comprar este carro e pesquisa muitos anúncios no jornal e na internet. Como você não entende nada de mecânica, prefere comprar um carro mais caro e (supostamente) em melhores condições, pois não quer ter aborrecimentos futuros. A partir de quanto você deve pagar para comprar um carro dentre os 0% mais caros?

10 0 b) Considere uma amostra de carros escolhidos aleatoriamente. Qual a probabilidade do preço médio na amostra exceder R$ mil? c) Considere uma amostra de carros (como no item anterior). Qual a probabilidade do carro mais barato custar menos de R$ 8800? Seja X o preço do carro usado. Então: X 0000 Z ~ N(0,) 400 a) O percentil 80% da distribuição N(0,) é, pela tabela, z Logo, para estar entre os 0% mais caros, o preço do carro deve ser IGUAL OU SUPERIOR A: X X R$0.84 b) Numa amostra de carros, o preço médio terá distribuição Normal com média R$ 0 mil e variância (400) /, ou seja, desvio padrão 400/ X ( X > 000) > ( Z >.5) Φ(.5) c) Se o carro mais barato custa MENOS que R$ 8800, nada podemos afirmar sobre os preços dos outros carros na amostra. Mas, se o carro mais barato custa MAIS que R$ 8800, então TODOS os carros na amostra custarão mais que R$ Seja U mín(x, X,..., X ) o preço do carro mais barato na amostra. Então: U < 8800 ( ) ( U 8800) ( X 8800, X 8800,..., X 8800) { ( X 8800) } pois os X i s são independentes e identicamente distribuídos. Mas: ( X 8800) > ( Z > 0.5) Φ( 0.5) [ Φ ( + 0.5) ] Φ + ( 0.5) X ( U < 8800) { ( X 8800) } ( 0.65) 0. 68

11 oblema A loteria de um certo estado promete que um a cada 60 raspadinhas é premiada. Você decide comprar raspadinhas até encontrar uma premiada. Cada raspadinha custa R$.50. a) Qual o custo esperado do seu procedimento? b) E se agora você compra raspadinhas até encontrar a a. premiada, quando você espera gastar? c) Qual a probabilidade de, na situação do item b), você ter que comprar mais de 6 raspadinhas? a) Seja X o número de raspadinhas que você precisa comprar até encontrar a a. premiada. Então X é uma variável Geométrica com probabilidade p /60. A média de X é E(X) /p 60, na média você precisa comprar 60 raspadinhas para encontrar a a. premiada. O custo deste procedimento é: C.5X e então E(C).5E(C).5(60) R$ 0. b) Agora X é uma Binomial Negativa com r e p /60. A média de X passa a ser E(X) /p (60) R$0 e o custo esperado passa a ser E(C).5E(C).5(0) R$ 80. c) A probabilidade de ter que comprar mais de 6 raspadinhas é: ( ) ( X > 6) ( X 7) X 6 ( X ) ( X ) ( X 4) ( X 5) ( X 6) Onde: x r x r ( X x) p q x r, r+, r+,... r E neste caso, como r, temos: x ( X x) ( x ) p q x,, 4,... x (Xx) 0,0% 0,05% 4 0,08% 5 0,% 6 0,% soma 0,40% (X>6),60%

12 oblema O preço por litro da gasolina comum no Rio de Janeiro é uma variável aleatória Normal com média R$.60 e desvio padrão R$ 0.5. a) Qual a probabilidade do litro da gasolina comum custar menos de R$.50? b) Qual a probabilidade do litro da gasolina comum custar mais de R$.75? c) Quanto um posto deve cobrar pela gasolina para estar entre os 0% mais caros? d) Quanto um posto deve cobrar pelo litro da gasolina para estar entre os 0% mais baratos? Toma-se uma amostra de postos de gasolina. e) Qual a probabilidade do preço médio da gasolina na amostra ser menor que R$.65? f) Qual a probabilidade do maior preço na amostra exceder R$.65? g) Qual a probabilidade do menor preço na amostra ser inferior a R$.55? Seja X o preço do litro da gasolina comum, Então X é N(.60, (0.5) ). Logo: X.60 Z é N(0,). 0.5 a) X ( X <.50) < Φ( ) Φ ( ) X ( >.75) > Φ b) X () c) Na escala da N(0,), o ponto que tem 0% de probabilidade abaixo dele (isto é, 0% de probabilidade acima dele) é:.86. ecisamos transformar este ponto no seu equivalente na escala dos preços da gasolina. X Z X (.86 ).7. Logo, um posto estará entre 0.5 os 0% mais caros se cobrar acima de R$.7 por litro. d) Na escala da N(0,), o ponto tem probabilidade 80% de estar abaixo dele (e 0% de estar acima). Logo, por simetria, a probabilidade de estar abaixo do ponto é 0%. Transformando para a escala dos preços da gasolina: X.60 Z X ( 0.846)

13 e) Toma-se uma amostra de postos. A média amostral é uma variável Normal com média.60 e variância (0.5) /, ou seja, desvio padrão 0.5/ X ( X <.65) < Φ () f) Seja V Max(X, X,..., X ). Então (V >.65) - (V.65) - ( X <.65, X <.65,..., X <.65) e como os X i s são iid, esta probabilidade é igual a: - {(X <.65)}. Mas: X ( X < ) < Z < Φ( ) E então: (V >.65) - (0.606) 0.84 g) Seja U Min(X, X,..., X ). Então: (U <.55) - (U.55) - ( X.55, X.55,..., X.55) {(X.55)} Mas: X ( X.55) Z Φ 0. Φ ( ) ( ) E então: (U <.55) {0.60} 0.84