Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

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Bernadete Mendonça Arantes
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1 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 1 / 1

2 Esperança Definição 2.1:(Valor Esperado de uma Variável Contínua) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade f. O valor esperado, esperança matemática ou média de X, denotado por E(X) é definido como E(x)= xf(x)dx, se x f(x)< (a integral estiver bem definida). Se essa condição não vale, diremos que o valor esperado não existe. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 2 / 1

3 Esperança Exercício 2.1: Considere a função densidade de probabilidade, f(x), da V.A. X. Obtenha o valor médio de X. f(x)= 2x, 0 x 0.5; 2 x+ 4, 0 x 0.5; 3 3 0, c.c. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 3 / 1

4 Esperança Uma maneira de unificar as definições de esperança para V.A.D. e V.A.C. é utilizando o conceito da integral de Riemann-Stieltjes. Definição 2.2:(Valor Esperado - Integral de Riemann-Stieljes) Seja X uma variável aleatória com função de distribuição F. O valor esperado de X é definido por E(x)= desde que a integral esteja bem definida. xdf(x), Se F é uma função degrau contínua à direita: b a df(x)= a<x b [F(x) F(x )] Se F é uma função contínua: b a df(x)= b a f(x)dx Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 4 / 1

5 Esperança Exercício 2.2: O tempo (em milissegundos) até que uma reação química esteja completa é aproximado pela função de distribuição acumulada. Calcule o tempo esperado para completar a reação química. Que proporção de reações é completada dentro de 200 milissegundos? Considere que o tempoy para completar todo o experimento seja uma função de X dada por Y = 4X X Obtenha o tempo médio para completar o experimento. F(x)= 0, se x< 0 1 e 0.01x, se x 0 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 5 / 1

6 Esperança Exercício 2.2: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 6 / 1

7 Esperança PROPRIEDADES DA ESPERANÇA: P1 Se X = c, em que c é uma constante, então E(c)=c. P2 Multiplicando-se uma variável aleatória por uma constante, sua média fica multiplicada por essa constante: E(cX)=cE(X). P3 A esperança da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é, respectivamente, a soma ou a diferença das esperanças. E(X+ Y)=E(X)+E(Y) E(X Y)=E(X) E(Y). Consequentemente, para X 1,X 2,...,X n variáveis aleatórias. Então n n E X i = E(X i ) i=1. Observação 2.1: Note que toda função de uma variável aleatória X é também uma variável aleatória. Podemos, portanto, falar na esperança de Xr, 2X+ 1, dentre outras. Por exemplo: E(X 2 )= i=1 x 2 i p(x i ) i=1 E(X 2 )= i=1 x 2 f(x)dx Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 7 / 1

8 Esperança DEMONSTRAÇÃO DAS PROPRIEDADES: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 8 / 1

9 Esperança DEMONSTRAÇÃO DAS PROPRIEDADES: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 9 / 1

10 Esperança Exercício 2.3: Considere uma V.A. X tal que E(X 2 )<. Seja f(a)=e[(x a) 2 ] uma função de R em R. a) Determine o valor a que minimiza f(a). b) Calcule f(a ), onde a é o valor de a obtido no item anterior. Interprete esses resultados. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 10 / 1

11 Esperança Exercício 2.3: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 11 / 1

12 Variância Definição 2.3: Seja X uma variável aleatória definida no espaço de probabilidade (Ω,,P). Então a variância da variável aleatória X, denotada por Var(X) ouσ 2, Var(X)=E[X E(X)] 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2 A variância é sem dúvida a medida de variabilidade mais importante. Ela é o parâmetro de algumas distribuições. A raiz quadrada positiva de Var(X) é denominada de desvio-padrão e denotada por σ. O desvio padrão tem a mesma unidade de medida da variável. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 12 / 1

13 Variância Exercício 2.4: Suponha que uma função densidade de probabilidade do comprimento de cabos de computadores seja f(x)=0.1, para 1200 x 1210 milímetros. Determine o desvio padrão do comprimento do cabo. Você pode concluir que a variabilidade do comprimento de cabos é alta? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 13 / 1

14 Variância Exercício 2.4: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 14 / 1

15 Variância PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA: P1 Se X = c, em que c é uma constante, então Var(c)=0. P2 Multiplicando-se uma variável aleatória por uma constante, sua variância fica multiplicada pelo quadrado dessa constante: Var(cX)=c 2 Var(X). P3 Se somarmos ou subtraírmos uma constante a variável aleatória, sua variância não se altera: Var(X+ c)=var(x c)=var(x). P4 Sejam X 1 e X 2 variáveis aleatórias, assim Var(X 1 + X 2 )=Var(X 1 )+Var(X 2 )+2Cov(X 1,X 2 ) Var(X 1 X 2 )=Var(X 1 )+Var(X 2 ) 2Cov(X 1,X 2 ), em que Cov(X 1,X 2 )=E[(X 1 E(X 1 ))(X 2 E(X 2 ))]=E(X 1 X 2 ) E(X 1 )E(X 2 ) é a covariância entre as variáveis X 1 e X 2. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 15 / 1

16 Variância PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA: P5 Sejam X 1,...,X n variáveis aleatórias, assim Var( n i=1 X i)= n i=1 Var(X i)+2 n 1 n j=1 i=j+1 Cov(X i,x j ) em que Cov(X i,x j )=E[(X i E(X i ))(X j E(X j ))]=E(X i X j ) E(X i )E(X j ). Observação 2.2: A covariância é uma medida de dependência linear entre as variáveis e pode assumir valores de qualquer sinal. Observação 2.3: Se X 1,...,X n forem independentes temos que E(X i X j )=E(X i )E(X j ) e assim, Cov(X i,x j )=0. Consequentemente, temos que Var( n i=1 X i)= n i=1 Var(X i). Observação 2.4: Se a covariância for zero não há dependência linear entre as variáveis, mas pode haver outro tipo de relação entre elas e, portanto, não podemos dizer que são independentes. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 16 / 1

17 Variância Exercício 2.5: Calcule uma medida de dispersão para as seguintes variáveis aleatórias: a) f(x)=ax a 1, 0<x< 1 e a>0. b) f(x)= 3 2 (x 1)2, 0<x< 2. c) Seja Y = 2X 3. Obtenha a variância de Y nos dois casos acima. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 17 / 1

18 Variância Exercício 2.5: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 18 / 1

19 Variância Exercício 2.6: Seja X uma V.A. cuja função densidade é dada por f(x)= 2 para x 3 1 x e zero no complementar. Verifique que E(X)=2, mas não existe Var(X) (isto é Var(X)= ). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 19 / 1

20 Variância Exercício 2.6: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 20 / 1

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