Seja (X,Y) uma v.a. bidimensional contínua ou discreta. Define-se valor esperado condicionado de X para um dado Y igual a y da seguinte forma:

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1 46 VALOR ESPERADO CONDICIONADO Seja (X,Y) uma v.a. bidimensional contínua ou discreta. Define-se valor esperado condicionado de X para um dado Y igual a y da seguinte forma: Variável contínua E + ( X Y = y ) = x f ( x y) dx X Y = y Variável discreta E ( X Y = y ) = x p ( x y ) j i = 1 i X Y = y j i j Notas: O valor esperado de Y para um dado X = x é definido de modo análogo, quer para o caso discreto quer para o caso contínuo. A interpretação do valor esperado condicionado é a seguinte: dado que fx Y = y ( x y) representa a fdp condicionada de X para um dado Y=y, E ( X Y = y) é o valor esperado de X, condicionado ao acontecimento Y = y. { }

2 De um modo geral ( X Y y) assim como ( Y X x) E = é uma função de y E = é uma função de x e daí serem também variáveis aleatórias. Então fará sentido calcular os seus valores esperados: E [ E ( X Y = y) ] e E [ E ( Y X = x) ] É porém importante notar que o valor esperado interno é calculado em relação à distribuição condicionada de X para Y=y ( ou relativamente à distribuição condicionada dey para X=x), enquanto o valor esperado externo é calculado em relação à distribuição de probabilidade de Y ( ou relativamente à distribuição de probabilidade de X ). TEOREMA: E [ E ( X Y y) ] = E ( X) (demonstração...) = e [ E ( Y X = x) ] E ( Y ) E = 47 TEOREMA: Se X e Y forem v.a. independentes então: ( X Y = y) E ( X) e E ( Y X = x ) = E ( Y) E = (demonstração...)

3 48 REGRESSÃO DA MÉDIA Vimos já que E ( X Y = y) é uma função de y, assim como E ( Y X = x) é uma função de x. O gráfico de E ( X Y = y) é designado por curva de regressão (da média) de X em Y. Analogamente, o gráfico da função de x, E ( Y X = x), é denominado como curva de regressão (da média) de Y em X. E ( Y X = x) E ( X Y = y) 0 x 0 y Exemplos:... Notas: Pode acontecer que uma ou as duas curvas de regressão sejam linhas rectas. Isto é, E ( X Y = y) pode ser uma função linear de y ou E ( Y X = x) pode ser uma função linear de x ou as duas funções podem ser lineares. Nesse caso diz-se que a regressão da média é linear. Se a regressão de Y em X for linear E Y X = x = α x + β, é possível exprimir os ( ( ) ) coeficientes α e β a partir da distribuição conjunta de (X,Y):

4 49 TEOREMA: Seja (X,Y) uma v.a. bidimensional e consideremos que: 2 2 ( X) = X, E ( Y) = µ Y, V ( X ) = σ X, V ( Y ) = σ Y E µ Seja ρ XY o coeficiente de correlação entre X e Y. Então: - Se a regressão de Y em X for linear temos que: σ E Y XY µ σ ( Y X = x ) = µ + ρ Y ( x ) X X - Se a regressão de X em Y for linear temos que: σ E X XY µ σ ( X Y = y) = µ + ρ X ( y ) Y Y (demonstração:...) É de notar que se por exemplo a regressão de X em Y for linear e se ρ = 0, então E ( X Y = y) não depende de y. Por outro lado, se as duas funções de regressão forem lineares, a resolução simultânea das expressões anteriores mostra que as rectas de regressão se intersectam no centro da distribuição, isto é, em µ. ( ) X,µ Y

5 50 Se se pretender, eventualmente, aproximar a curva de regressão por uma função linear, recorre-se de um modo geral ao método dos mínimos quadrados. Então escolhem-se as constantes a e b de modo que: [ E ( Y X ) ( a X b ) ] 2 E + seja mínimo Analogamente, podemos escolher as constantes c e d que tornem mínimo: [ E ( X Y ) ( c Y d ) ] 2 E + As rectas y = a x + b e x = a y + b designam-se como aproximações dos mínimos quadrados às curvas de Y X x E X Y = y, respectivamente. regressão E ( = ) e ( ) TEOREMA: Se y = a x + b for a aproximação dos mínimos quadrados a E ( Y X = x) e se E ( Y X = x) for, de facto, uma função linear de x, isto é: então a = a e b = b. ' ' ( Y X = x) = a x b E +

6 51 Funções de variáveis aleatórias Seja ε uma experiência aleatória e S um espaço amostral associado a essa experiência. Seja X uma variável aleatória definida em S. Admita que y = H (x) é uma função real de x. Então, Y = H (X) é uma variável aleatória porque para todo o s S fica determinado um valor de Y tal que y = H (X(s)). S R X R Y s X X(s) = x H H(x) = y R X : valores possíveis da função X (contradomínio de X) R Y : valores possíveis de Y (contradomínio da v.a. Y) Acontecimentos equivalentes Seja C um acontecimento associado ao contradomínio R Y de Y. Seja B R X definido como : B = { x R X : H (x) C } Então B e C são acontecimentos equivalentes e define-se: P ( C ) = P [ { x R X : H (x) C }] = P [ { s S : H [ X(s) ] C }]

7 52 Variáveis aleatórias discretas Seja X uma v.a. discreta. Então Y = H(X) é também uma v.a. discreta e dada p X (x i ), podemos obter: p Y ( y j ) = P ( Y = y j ) = ( = ) em que x i : H (x i ) = y j i P X x i Seja X uma v.a. contínua e Y= H(X) uma v.a. discreta. Então se { Y = y j } for equivalente a um dado acontecimento A, no contradomínio R X de X vem que: p Y ( y j ) = P ( Y = y j ) = ( ) Variáveis aleatórias contínuas A f x dx Seja X uma v.a. contínua e Y = H(X) também uma v.a. contínua. Dada f X (x) podemos obter f Y (y) por dois métodos: Método 1 i) Obter F Y (y), a função de distribuição da v.a. Y, determinando-se o acontecimento A (em R X ) que é equivalente ao acontecimento {Y y }. ii) Derivar F Y (y) em ordem a y para obter f Y (y). iii) Determinar os valores de y (em R Y ) para os quais f Y (y) 0. F Y (y) = P ( Y y ) = P ( H(X) y ) = P (? X? )

8 53 e finalmente: f Y (y) = d F Y d y ( y ) Método 2 (apenas quando H(X) é estritamente monótona) fy ( y ) ( x ) = fx d y = d x fx ( x ) d x d y x = H -1 (y) Nota: A aplicação do método pode ser generalizada desde que se decomponha H(X) em intervalos em que seja estritamente monótona (crescente ou decrescente).

9 54 VALOR ESPERADO DE UMA FUNÇÃO DE UMA V. A. Seja X uma variável aleatória e g (X) uma função real de X, então temos que: a) Se X for uma v.a. discreta com função de probabilidade p X ( x) : E[ g ( x) ] = g ( xi ) px ( xi ) i b) Se X for uma v.a. contínua com função densidade de f X x : probabilidade ( ) E + [ g ( x) ] = g ( x) f ( x)dx X Nota: Se X é uma variável aleatória, então Y = g (X) é também uma variável aleatória com uma determinada distribuição de probabilidade. Assim fará sentido calcular E(Y) de modo análogo ao utilizado para calcular E(X), isto é: Se Y for uma variável aleatória discreta, com valores possíveis y 1, y 2,..., y n,... e se p Y ( yi ) = P ( Y = yi ) i=1,2,..., n,..., então: E ( Y) y p ( y ) = i=1 Se Y for uma variável aleatória contínua com função y, então: densidade de probabilidade ( ) i Y f Y i

10 55 E + ( Y) = y f ( y) dy Contudo, este processo de cálculo do valor esperado de Y apresenta a desvantagem de exigir a determinação prévia da distribuição de probabilidade da variável aleatória Y. Um caso particular especialmente importante surge quando : ( X) = [ X E( X) ] 2 = [ X ] 2 g µ uma vez que a variância de uma variável aleatória X é definida como: Var ( X) = V ( X) = σ 2 [ ( )] X = E X E X 2 Y O desvio padrão de X é definido como σ Var X X = ( ) r Se g ( X) = X ou g ( X) [ X E( X) ] r = obtemos respectivamente o momento e o momento central de ordem r de X, ou da distribuição de X, com r=0,1,2,.... ( ) ' r X r µ = E momento de ordem r r [ X E( X) ] r µ = E momento central de ordem r ' Em particular temos que: 1 = µ = E( X) µ = V ( X) = ( X). 2 σx µ, µ 0 e 1 =

11 56 Se os momentos de ordem r existem, então existem todos os momentos de ordem r ' < r. r Demonstra-se que o conhecimento de ( X ) E para r=1,2,... (desde que estes valores médios existam) é suficiente para especificar a distribuição de probabilidade de X e daí a sua importância.

12 57 Funções de variáveis aleatórias bidimensionais Considere-se uma variável aleatória bidimensional (X,Y) onde X = X(s), Y = Y(s) e s S. Sejam Z = H 1 (X,Y) e W = H 2 (X,Y) funções das duas variáveis aleatórias X e Y. É evidente que Z = Z(s) e W = W(s) são também variáveis aleatórias. Y Z z = H 1 (x, y) ; w = H 2 (x, y) (z, w) (x, y) X W S A s

13 58 Variáveis aleatórias discretas Seja (X,Y) uma v.a. discreta bidimensional. Então dado Z = H 1 (X,Y) e conhecendo p XY (x,y) p ( z ) = P ( Z = z ) = P ( X = x, Y = y ) Z k k i i j em que ( x i, y j ) : H 1 ( x i, y j ) = z k Seja (X,Y) uma v.a. discreta bidimensional. Sejam Z = H 1 (X,Y) e W = H 2 (X,Y) e admitamos conhecida p XY (x,y). Então se a transformação: j z w = H1 ( x, y) H2 ( x, y) tiver inversa, x y = G1 ( z, w) G2 ( z, w) a função de probabilidade conjunta de Z e W é dada por: p ZW (z,w) = P (Z=z,W=w) = P ( Z=H 1 (x,y),w=h 2 (x,y) ) = P (A) ( ver figura da página anterior) = P ( X = G 1 (z,w), Y = G 2 (z,w) ) = p XY ( G 1 (z,w), G 2 (z,w) ) Variáveis aleatórias contínuas Seja (X,Y) uma v.a. contínua bidimensional. Seja Z=H 1 (x,y) uma função contínua de (X,Y) e admita-se

14 59 conhecida a fdp conjunta de X e Y, f XY (x,y). Pretende-se obter a fdp de Z=H 1 (X,Y), f Z (z). Método 1 i) Obter F Z (z), a função de distribuição da v.a. Z, determinando-se o acontecimento A (em R X Y ) que é equivalente ao acontecimento { Z z }. F Z (z) = P (Z z) = P (H 1 (x,y) z) = f ( x, y) dy dx D XY ii) Derivar F Z (z) em ordem a z para obter f Z (z). Método 2 i) Escolher uma v.a. auxiliar W= H 2 (X,Y). ii) Obter a fdp conjunta de Z e W, f ZW (z,w). iii) Determinar f Z (z) = + fzw ( z, w ) dw Teorema: Seja (X,Y) uma v.a. contínua bidimensional com fdp conjunta f XY (x,y). Sejam Z=H 1 (X,Y) e W=H 2 (x,y) e admitamos que : a) H 1 e H 2 são tais que as equações z=h 1 (x,y) e w=h 2 (x,y) podem ser resolvidas univocamente para x e y em função de z e w, isto é, existe a transformação inversa: x = G 1 (z,w) e y = G 2 (z,w)

15 60 b) A transformação e respectiva inversa são contínuas c) As derivadas parciais x são contínuas z, x w, y z, y w existem e d) O Jacobiano, J (z,w), da transformação inversa é diferente de zero x y J ( z, w ) = (, ) ( z, w ) = x y z z x y w w Nestas condições a função densidade de probabilidade conjunta de Z e W é dada por: f ZW ( z, w) = x y f XY ( G1 ( z, w), G2 ( z, w) ) J ( z, w) ( z, w) R Z W 0 outros valores