Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 1 / 26

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1 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 1 / 26

2 Vimos que a função geradora de momentos é uma ferramenta muito útil DESVANTAGEM: A integral que define a função geradora de momentos pode, nem sempre ser finita. Definiremos uma nova transformada que tem a vantagem de sempre existir. As funções características são um pouco mais complicadas, dado que envolvem números complexos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 2 / 26

3 VANTAGENS da Função Característica Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 3 / 26

4 A função característica é finita para todas as variáveis aleatórias X e todos os números reais t. A função de distribuição de X e em geral a função de densidade, quando existe, podem ser obtidas da função característica. Usando as propriedades das funções características é possível demonstrar teoremas e resultados importantes da estatística. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 4 / 26

5 LEMBRANDO: Números Complexos Variáveis Complexas: Se X e Y são variáveis aleatórias em (Ω,,P), então Z = X + iy é chamada uma variável aleatória complexa Z é uma função definida em Ω e que assume valores complexos com Z(ω) = X(ω) + iy(ω) para ω Ω. i = 1 Seja z = x + iy um número complexo, com x e y números reais. O valor absoluto de um número complexo é dado por z = (x 2 + y 2 ). A distância entre dois números complexos z 1 e z 2 é dada por z 1 z 2. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 5 / 26

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7 Definição 9.1: Seja X uma variável aleatória. A função característica de X é a função ϕ : definido por, para t real ( < t < ) e i = 1. ϕ X (t) = ϕ(t) = E(e itx ), Lembrando que e X pode ser escrita com uma expansão em série de potências. Temos então que e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! x n e itx = 1 + itx + (itx)2 2! e itx = 1 + itx (tx)2 2! + (itx)3 3! i(tx)3 3! n! (itx)n n! + (tx)4 4! + i(tx)5 5! Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 7 / 26

8 e itx = 1 (tx)2 + (tx) i tx (tx)3 + (tx)5... 2! 4! 3! 5! Como as duas séries nesta última expressão correspondem a cos(tx) e sen(tx), segue que Assim, temos que e itx = cos(tx) + isen(tx) ϕ X (t) = E(e itx ) = E[cos(tX)] + ie[sen(tx)] Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 8 / 26

9 Usando o fato de que cos( t) = cos(t) e sen( t) = sen(t), temos que e itx = cos(tx) isen(tx) Assim, podemos obter cos(tx) = eitx + e itx 2 sen(tx) = eitx e itx 2i Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 9 / 26

10 EXEMPLO 9.1: A V.A. X assume os valores 1 e 1 com a mesma probabilidade. Determine a função característica de X. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 10 / 26

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12 EXEMPLO 9.2: Determine a função característica da variável aleatória X cuja função de densidade é f(x) = ce a x, < x <, com a > 0 e c uma constante conveniente. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 12 / 26

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14 EXEMPLO 9.3: Determine a função característica de uma variável aleatória X com distribuição uniforme contínua no intervalo [a, b]. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 14 / 26

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16 PROPRIEDADES: i) A função característica assume 1 no ponto 0: ϕ X (0) = 1; ii) A função característica é limitada por 1: ϕ X (t) 1, t ; iii) Para a e b constantes, ϕ ax+b (t) = e itb ϕ X (at); iv) Se as variáveis aleatorias X e Y são independentes então, ϕ X+Y (t) = ϕ X (t)ϕ Y (t) (vale para n variáveis); Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 16 / 26

17 PROPRIEDADES: v) ϕ X também gera momentos: n t ϕ X(t) n t=0 = i n E(X n ), n = 1,2,..., se E( X n ) < vi) ϕ X (t) = ϕ X ( t), onde c é o compexo conjugado de c. (Se c = x + iy o seu complexo conjugado é c = x iy). vii) A variável aleatória X tem distribuição simétrica em torno de zero se, e somente se, ϕ X (t) é real para todo t. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 17 / 26

18 Demonstração Propriedades Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 18 / 26

19 Demonstração Propriedades Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 19 / 26

20 EXEMPLO 9.4: Sendo X N(µ,σ 2 ), use o resultado obtido para a função geradora de momentos para determinar sua função característica. Determine a média e a variância a partir do resultado. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 20 / 26

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22 Resultados Importantes: A função característica de uma variável aleatória X determina a função de distribuição de X. Já vimos a recíproca: a função característica é determinada pela função de distribuição, pois ϕ X (t) = e itx df X (x). Como consequencia, temos F X = F Y ϕ x = ϕ Y. Teorema 9.1: (Unicidade) Se as variáveis aleatórias X e Y têm a mesma funão característica, então elas têm a mesma função de distribuição. Esses resultados decorrem da fórmula da inversão: f(x) = 1 e ixt ϕ X (t)dt 2π Essa fórmula é também conhecida como transformada inversa de Fourier, dado que ϕ X (t) = e itx f(x)dx representa a transformada de Fourier da função de densidade f(x). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 22 / 26

23 EXEMPLO 9.5: Sejam X 1,X 2,...,X n variáveis aleatórias independentes e indenticamente distribuídas, seguindo o modelo Poisson de parâmetro λ. Qual a distribuição de X 1 + X X n. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 23 / 26

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25 EXEMPLO 9.6: Obtenha a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória cuja função característica é ϕ(t) = cos(at), com a > 0. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 25 / 26

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