Distribuições derivadas da distribuição Normal. Distribuição Normal., x real.

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1 Distribuições derivadas da distribuição Normal Distribuição Normal Uma variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ, quando sua densidade de probabilidade é f ( x) π σ e ( x µ ) σ, x real. X ~ N ( µ ; σ ), Teorema: Se X ~ N ( µ ; σ ), então: E(X) Moda (X) Mediana (X) µ e Var (X) σ Distribuição Normal-Padrão Uma normal de média 0 e variância é chamada de normal-padrão ou normal reduzida. Teorema: Se X ~ N ( µ ; σ ), então Z X µ tem distribuição normal-padrão. σ Calcular probabilidades para uma variável normal integrando a densidade não é coisa simples. O que se faz é aplicar o teorema acima, reduzindo o problema ao cálculo de probabilidades para uma normal-padrão. Probabilidades para uma normal-padrão encontram-se tabeladas. Há três tipos de tabelas: para cada z a tabela fornece F(z) P(Z z) para cada z > 0 a tabela fornece A(z) P(0 Z z); (Tabela do livro Estatística Básica) para cada z > 0, a tabela fornece R(z) P(Z > z). Exemplo : Supondo disponível uma tabela do tipo, calcularíamos: a) P(Z < ) 0,5 + A() b) P(Z < ) 0,5 A() c) P(Z > ) 0,5 A() d) P(Z > ) 0,5 + A()

2 e) P( < Z < ) A() A() f) P( < Z < ) A() + A() g) P( < Z < ) A() A(). O Excel calcula probabilidades para a normal-padrão nas opções DIST.NORMP (entrando com z o excel retorna F(z)) e INV.NORMP (entrando com o valor de F(z), o Excel retorna z) de Estatística do Assistente de Funções. Exemplo : Usando o Excel, vamos calcular as probabilidades do exemplo : a) P(Z < ) F() 0,84 b) P(Z < ) F( ) 0,59 c) P(Z > ) F() 0,59 d) P(Z > ) F( ) 0,84 e) P( < Z < ) F() F() 0,36 f) P( < Z < ) F() F( ) 0,89 g) P( < Z < ) F( ) F( ) 0,36. Exemplo 3: Considere a distribuição das alturas de homens adultos normalmente distribuída com média 68cm e desvio-padrão 6cm. Determine a probabilidade de um homem adulto ter altura superior a 80cm. Solução: X ~ N (68; 6 ) X µ X 68 Z ~ N (0; ) σ 6 P(X > 80) P(Z > ) 0,03. Problemas: ) Seja Z ~ N(0;). Determine a > 0 tal que: a) P( a < Z < a) 0,9...Resp:,645 b) P( a < Z < a) 0,95...Resp:,96 c) P( a < Z < a) 0,99...Resp:,576 ) Figos têm massas normalmente distribuídas com média 60g e desvio-padrão 8g e são vendidos por dúzias. Determine a probabilidade de a massa de uma dúzia ser superior a 750g. Resp: 0,4

3 Qui-Quadrado Dizemos que X tem densidade qui-quadrado com n graus de liberdade, sendo n é um número inteiro positivo se sua densidade é: f X ( x) ( n ) x x e n Γ ( n ), para x 0, e f ( x ) 0, para x < 0. X A distribuição de qui-quadrado é apenas um caso particular da distribuição gama com parâmetros r n/ e α / Notação: X ~ χ (n). A seguir, gráficos de densidades de qui-quadrado ( chi-square ) com,, 5 e 0 graus de liberdade ( degrees of freedom ). Teorema : Se X ~ χ (n) e Y ~ χ (m) são independentes, então X+Y ~ χ (m+n).

4 Teorema : Se X ~ N(0;), então YX ~ χ (). Corolário: Se X, K, Xn são independentes com distribuição N(0; ), então X + + X n K tem distribuição de qui-quadrado com n graus de liberdade. A partir das expressões para a média e variância de uma densidade Gama podemos obter facilmente a média e a variância de uma qui-quadrado. E(X) n ; Var (X) n O Assistente de Função do Excel, na opção DIST.QUI em Estatística, fornece, para cada x 0, o valor da função de sobrevivência R ( x) χ. Na opção INV.QUI, dado o valor da função de sobrevivência, o Excel retorna o valor de x. Exercícios ) Se X ~ χ (6), determine P( X > 0,874). Resp: 0,99 ) Se X ~ χ (6), determine P( X >,59). Resp: 0,05 3) Se X ~ χ (6), determine P( X > 6,8). Resp: 0,0 Esta distribuição está relacionada com a distribuição da variância amostral obtida a partir de uma amostra aleatória Normal. Se desejarmos construir um intervalo de confiança baseado na variância amostral que contenha com alta probabilidade a variância(desconhecida) da distribuição Normal, este intervalo deverá ser baseado na distribuição qui-quadrado! O mesmo acontece com teste de hipótese sobre a variância populacional.

5 t de Student A medida que gl cresce a variância Teorema: Seja Z uma variável aleatória N (0,) e Y uma variável aleatória Z ey independentes. Então a variável aleatória: t Z Y Surge a partir da normal e da qui-quadrado χ ( ), com Tem densidade dada por: Γ (( + ) / ) ( ) f ( t; ) ( t ) + +, < t < Γ ( / ) π Diremos que esta variável tem distribuição t de Student com graus de libertada, t( ). A média e a variância de uma distribuição t de Student é dada por: E( t ) 0 Var( t) O gráfico da densidade de t aproxima-se de uma N (0,) quando é grande. A densidade t é simétrica em relação a média 0. Ela é completamente determinada pelo parâmetro, o número de graus de liberdade (que é o mesmo grau de liberdade que aparece na distribuição qui-quadrado utilizada para gerar a densidade t). Como nos casos anteriores existem tabelas fornecendo as probabilidades referentes a esta distribuição. Exemplo : Se 6, então, determine: P(,9643 < t(6) <,9343) 0,90 P( t (6) >,447) 0,05 Caso particular: A densidade Cauchy é a densidade t com grau de liberdade! Esta distribuição é bastante utilizada em contexto de estimação, intervalos de confiança e testes de hipóteses sobre média para amostras normais.

6 F de Snedecor Esta variável aleatória é definida como o coeficiente de duas variáveis aleatórias com distribuição qui-quadrado. Teorema: Sejam U e V duas variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuição qui-quadrado, com e graus de liberdade, respectivamente. Então, a variável aleatória: U W V Tem densidade dada por: ( ( ) Γ (( + ) ) w g w;, ) ( ) / ( ) ( ) + Γ ( ) Γ + w, w > 0 Diremos que W tem distribuição F de Snedecor, com e graus de liberdade, e usaremos a notação W ~ F(, ). Pode-se mostrar que: E( W ) Var( W ) ( + ) ( ( ) ( 4) Note que o primeiro parâmetro indica o número de graus de liberdade do numerador, enquanto o segundo parâmetro indica o número de graus de liberdade do denominador. A densidade F não é simétrica. Em geral as tabelas disponíveis com os valores da distribuição F só dispõe de valores de "um dos lados". A identidade a seguir é utilizada para se encontrar os valores inferiores. F(, ) F(, ) Exemplo : Seja W ~ F(5,7) P ( F > 3,97) 0,05, logo: P( F 3,97) 0, 95 Exemplo : Seja W ~ F (4,0). Encontre os pontos a e b tais que Pr( a < X < b) 0, 95 Sol: A probabilidade de X estar fora do intervalo é 5%, e escolhemos a e b tais que, a probabilidade de X estar abaixo de a é,5%, e a probabilidade de X estar acima de b é também,5%. Assim, b é encontrado fazendo-se: Pr( X > b) 0, 05 Pr( X < b) 0, 975. Como X ~ F (4,0). Logo, b 4,47.

7 De maneira semelhante, a é tal que: Pr( X < a) 0, 05 Pr( > ) 0, 05 Pr( Y > ) 0, 05 X a a Pr( Y < ) 0,975 a sendo Y ~ F(0, 4) Logo, 8,84 a 0,3 a 8,84 Deste modo: Pr(0,3 < X < 4, 47) 0, 95 sendo X ~ F(4,0) Esta distribuição é bastante utilizada em contexto de estimação, intervalos de confiança e testes de hipóteses sobre a igualdade de variâncias para amostras normais.

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