Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE

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1 Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias 1

2 Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias Nos programas de simulação existe um GNA e inúmeras outras funções matemáticas descritas como Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias ou FGVA s. Para cada tipo de distribuição teórica de probabilidades existe um FGVA apropriada. Para usá-las num programa de simulação basta invocar o nome da função desejada e fornecer os parâmetros necessários. 2

3 Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias Modelo Computacional TEC= EXPO (10) TEC = 7,45823 Invoca a FGVA Fornece o parâmetro (10) para a FGVA EXPO Argumentos: NA[0;1] + Média (10) GNA fornece NA Retorna o valor de TEC Figura 2.5: Troca de dados e informações entre o modelo computacional e as FGVA s 3

4 Algoritmos para Geração de Variáveis Aleatórias Distribuições Teóricas de Probabilidade 4

5 Geração de Variáveis Aleatórias Métodos e procedimentos computacionais para a geração de variáveis aleatórias com características específicas de alguma das diversas distribuições teóricas de probabilidades. A necessidade de tais variáveis: tempos entre chegadas; tempos de serviço; demandas por produtos, etc. 5

6 Métodos de Geração Os métodos baseiam-se na prévia geração de um número aleatório R, uniformemente distribuído sobre o intervalo (0, 1). x é expresso como uma função explícita de R.. Métodos básicos: Transformação Inversa; Transformação Direta; Convolução; Aceitação/Rejeição; Propriedades Especiais 6

7 Distribuições Discretas: Geométrica Uma variável com distribuição geométrica representa o número de falhas observadas em uma seqüência de provas do tipo Bernoulli, sua função densidade é: p(x) = p(1 - p)x, x = 1, 2,... Pelo método da transformação inversa, obtém-se a seguinte relação: ln( 1 R) ln( 1 p) x < ln( 1 R) ln( 1 p) 7

8 Distribuições Discretas: Geométrica Para a obtenção de uma variável com distribuição geométrica, necessita-se do parâmetro (probabilidade de um sucesso) p. Obtido tal elemento, os seguintes passos devem ser considerados: Gerar R; Calcular x = ln( 1 R) ln( 1 p) A função. (arredondamento para o maior inteiro) atribui a x o maior inteiro que satisfaz a relação anterior. 8

9 Exemplo Gerar três valores de uma distribuição geométrica com p = 1/2. Usando uma tabela de valores aleatórios, obtemos R 1 = 0,932; R 2 = 0,105 e R 3 = 0,687. Primeiramente calcula-se o valor da constante 1/ln (1-p) = 1/ln (1-0,5) = -1,443. Na seqüência, obtemos os valores dos x i s a partir dos R i s. 9

10 Exemplo Passo Valor de R i e de x i 1 R 1 = 0,932 2 x 1 = -1,443 ln(1-0,932) = 3, 878 = 4 1 R 2 = 0,105 2 x 2 = -1,443 ln(1-0,105) = 1 1 R 3 = 0,687 2 x 3 = -1,443 ln(1-0,687) = 2 10

11 Distribuições Discretas: Poisson A distribuição de Poisson se caracteriza pela seguinte função densidade de probabilidade: x p( x) = P( X = x) = e λ λ x = 0,1,2,..., λ > 0 x! a qual representa a probabilidade de ocorrência de x sucessos, num dado intervalo de tempo. Onde, λ é o valor esperado do número de ocorrências por unidade de tempo. 11

12 Distribuições Discretas: Poisson Geração de uma variável aleatória Poisson, considerando o método da Aceitação/Rejeição: 1. Fazer n = 0, e P =1; 2. Gerar um número aleatório R n+1 e substituir P por P.R n+1 ; 3. Se, P < e, aceitar X = n, caso contrário, rejeitar n atual, fazer n = n +1, e retornar aos procedimentos no passo 2. A idéia básica por traz do método da Aceitação/Rejeição, é gerar um número aleatório e testar uma determinada condição de aceitação. Caso esta condição seja satisfeita, o valor gerado é aceito, caso contrário os passos são repetidos. 12

13 Exemplo geração distribuição Poisson Gerar três números, segundo uma distribuição de Poisson, com = 0,2. λ λ 0, 2 Primeiramente, computa-se o valor de e = e = 0, Na seqüência, obtém-se um conjunto de números aleatórios e iniciam-se os procedimentos estabelecidos nos passos de 1 a 3 anteriormente firmados 13

14 Exemplo geração distribuição Poisson Passo Geração de P, n e X 1 n = 0, P = 1 2 R 1 = 0,4357; P = 1.R 1 = 0, como P = 0,4357 < e -0,2 < 0,8187; aceitamos X = R 1 = 0,4146 nos leva a X = 0 1 n = 0, P = 1 2 R 1 = 0,8353; P = 1.R 1 = 0, como P e λ ; rejeitamos n = 0 e retornamos ao passo 2 com n = 1 2 R 2 = 0,9952; P = P.R 2 = 0,8353.0,9952 = 0, como P e λ ; rejeitamos n = 1 e retornamos ao passo 2 com n = 2 2 R 3 = 0,8004; P = P.R 3 = 0, ,8004 = 0, como P = 0,6654< e -0,2 < 0,8187; aceitamos X = 2 14

15 Distribuição Empírica Discreta (MC) Inicialmente, determinam-se as freqüências relativas acumuladas da distribuição. Por exemplo: x p(x) F(x) 0 0,50 0,50 1 0,30 0,80 2 0,20 1,00 Aplica-se o método da transformação inversa pesquisando em uma tabela de valores. Procedimento semelhante ao realizado no capítulo 1, quando se tratou do método de Monte Carlo. 15

16 Procedimentos Geração da Empírica Discreta Os procedimentos de busca são facilitados pela construção de uma tabela para a geração dos valores de x: i Entrada r i Saída x i 1 0, , ,00 2 Esquematizando os procedimentos: 1. Gerar R; 2. Descobrir i, tal que r i-1 < R r i ; 3 Fazer X = x i. 16

17 Exemplo Empírica Discreta Suponha uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidades: x p(x) F(x) 2 0,45 0,45 3 0,35 0,80 5 0,20 1,00 Dados R 1 = 0,43; R 2 =0,61 e R 3 =0,83; gerar três valores para a variável X, que pertençam a esta distribuição. R 1 = 0,43 < F(x=2) = 0,45; logo X=2; F(x=2) = 0,45 < R 2 = 0,61 F(x=3) = 0,80 ; logo X=3; F(x=3) = 0,80 < R 3 = 0,83 F(x=5) = 1,00 ; logo X=5; 17

18 Distribuições Contínuas: Uniforme Uma variável aleatória x tem distribuição uniforme sobre um intervalo [a, b], se sua função densidade de probabilidade (fdp) é dada por: A técnica mais utilizada para a obtenção de uma variável aleatória uniformemente distribuída é a da transformação inversa. A fórmula é a seguinte: Os parâmetros necessários para a obtenção de uma variável com distribuição uniforme são apenas os valores extremos do intervalo [a, b]. Uma vez definidos, os seguintes passos devem ser considerados: 1. Gerar R; 2. Calcular 1 f ( x) = a x b b a x = a + ( b a) R x = a + ( b a) R 18

19 Exemplo Distribuição Uniforme Gerar três valores de uma distribuição uniforme no intervalo [10, 50]. Usando os seguintes valores aleatórios R 1 = 0,932; R 2 = 0,105 e R 3 = 0,687. Aplicando o método proposto teremos: Passo Valor de R i e de x i 1 R 1 = 0,932 2 x 1 = 10 + (40)0,932 = 47,28 1 R 2 = 0,105 2 x 2 =10 + (40)0,105= 14,2 1 R 3 = 0,687 2 x 3 = 10 + (40)0,687= 37,48 19

20 Distribuição Triangular Uma variável aleatória x tem uma distribuição triangular se sua fdp é dada por: f ( x) = 2( x a) ( b a)( c a), 2( c x) ( c b)( c a), a x b b < x c onde a b c. A moda b = 3 E (x) - (a + c). Aplica-se o método da transformação inversa. A variável x com esta distribuição é obtida por: x = a R b a c a R b a + ( )( ), se 0 c a b a c ( 1 R)( c b)( c a), se < R 1 c a 20

21 Exemplo Triangular Gerar três valores de uma distribuição triangular com parâmetros (0, 1, 2). Obtidos R 1 = 0,544; R 2 = 0,747 e R 3 = 0,449. x = 1 2R 0 R ( 1 R) < R 1 2 Passo Valor de R i e de x i 1 R 1 = 0,544 2 x 1 = 2-2( 1 0, 544) = 1,045 1 R 2 = 0,747 2 x 2 =2-2( 1 0, 747) = 1,288 1 R 3 = 0,449 2 x 3 = 2( 0, 449) = 0,947 21

22 Distribuição Exponencial Uma variável aleatória x tem uma distribuição exponencial se sua fdp é dada por: x f ( x) = λe λ, x 0 O parâmetro é interpretado como sendo o número médio de ocorrências por unidade de tempo, enquanto a razão representa o tempo médio entre as ocorrências. Aplicando-se o método da transformação inversa para a obtenção de uma variável aleatória x com distribuição exponencial resulta na seguinte relação: x i = λ ln( 1 R i ) Uma vez que (1-R i ), da mesma forma que R i, possui distribuição uniforme no intervalo [0, 1], podemos substituir (1-R i ) por R i na expressão acima. 22

23 Exemplo Gerar valores de uma distribuição exponencial com parâmetro =1. λ x i = λ ln( 1 R i ) i Ri 0,1306 0,0422 0,6597 0,7965 0,7696 xi 0, , , , ,

24 Distribuição Normal Uma variável aleatória x tem uma distribuição normal se sua fdp é dada por: ( x µ ) 1 2 2σ f ( x) = e, < x < σ 2π 2 Método de Box-Muller Z 1 =B cos θ Z 2 =B sen θ Z = 2ln R cos( 2πR ) Z = 2 ln R sen( 2πR )

25 Exemplo Considerando as equações anteriores, gerar dois valores com distribuição normal padronizada a partir de R 1 = 0,1758 e R 2 = 0,1489. Z 1 = [-2 ln (0,1758)]½ cos ( 0,1489) = 1,11 Z 2 = [-2 ln (0,1758)]½ sen ( 0,1489) = 1,50 Para a obtenção de uma variável aleatória normal com média µ e desvio padrão σ, deve-se aplicar a transformação x i = µ + σ.z i aos valores da normal padronizada. Por exemplo, para transformar os valores obtidos de Z 1 e Z 2 em uma Normal (10; 2), calcula-se: x 1 = (1,11) = 12,22 x 2 = (1,50) = 13,00 25

26 Exercício Use o MCL x para ( ax gerar + 1 b) mod uma m seqüência de números = n n aleatórios entre zero e 1, com os seguintes parâmetros: x 0 = 23, a = 17, b = 43 e m = 100. Considere os necessários valores gerados e determine um valor para cada uma das seguintes variáveis: Uniforme (15, 35); Exponencial (10); Triangular (5, 8, 13); Normal (12, 2). 26