Simulação a Eventos Discretos. Fernando Nogueira Simulação 1

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1 Simulação a s Discretos Fernando Nogueira Simulação

2 Introdução Simulação não é uma técnica de otimização: estima-se medidas de performance de um sistema modelado. Modelos Contínuos X Modelos Discretos Modelos Contínuos: estado do sistema muda continuamente em função do tempo. Utiliza-se geralmente equações diferenciais para descrever iterações entre diferentes elementos do sistema. Exemplo: crescimento de populações, circuitos eletrônicos, reações químicas, modelos econométricos,... Modelos Discretos: estado do sistema muda somente no instante que ocorre um evento, para todos os demais instantes de tempo, nada muda no sistema. Para isto, utiliza-se os conceitos de Filas. Exemplo: sistemas que podem ser modelados como filas de espera. Obs: este tipo de simulação é conhecido como Simulação a s Discretos. Definição Genérica de s oda Simulação a s Discretos descreve, diretamente ou indiretamente, situações de fila, em que clientes chegam, aguardam em fila se necessário e então recebem atendimento antes de deixar o sistema. Com isso, existem apenas dois eventos que controlam a simulação: chegadas e atendimentos. Fernando Nogueira Simulação 2

3 Exemplo: dois produtos são processados em duas máquinas em série, as quais possuem ampla área de buffer. Os eventos são: A: o produto chega na máquina. D: o produto deixa a máquina. A2: o produto 2 chega na máquina. D2: o produto 2 deixa a máquina. A2: o produto chega na máquina 2. D2: o produto deixa a máquina 2. A22: o produto 2 chega na máquina 2. D22: o produto 2 deixa a máquina 2. Nota-se que só existe 2 eventos: chegada (A) de um produto em uma máquina e saída (D) de um produto de uma máquina. Os números e 2 são atributos que caracterizam os eventos. obs: admitindo que um produto ao ser processado na máquina vai direto para a máquina 2, os eventos D e A2 são idênticos, assim como D2 e A22. Amostragem a partir de Distribuições de Probabilidade Quando o intervalo t entre sucessivos eventos é probabilístico, faz-se necessário gerar amostra aleatórias a partir de uma distribuição de probabilidade f(t). Método Inverso seja F(x) P{y x} a Função de Distribuição de Probabilidade da variável aleatória x com Função Densidade de Probabilidade f(x) (contínua ou discreta), e R uma amostra aleatória a partir da Distribuição Uniforme (0,), x F - (R). Fernando Nogueira Simulação 3

4 t F(x) contínua F(x) discreta R R 0 x x 0 x x Exemplo: Distribuição Exponencial λt t λe R F f () ( t) F t () t 0 λe λx dx e λt t ln λ λ ( R) ou t ln( R) Amostras de t a partir de Exponencial (lambda.5) Histograma Frequencia Amostra t Fernando Nogueira Simulação 4

5 Geração de Números Aleatórios com Distribuição Uniforme Como utilizar o computador digital, a mais precisa e determinística máquina concebida pelo homem, para produzir números aleatórios? Uma vez que qualquer programa vai produzir uma saída inteiramente previsível, a geração de números aleatórios em um computador representa uma impossibilidade conceitual. A única maneira prática consiste em utilizar operações aritméticas. ais números não são verdadeiramente aleatórios e por isso são denominados Números Pseudo- Aleatórios. O método mais comum para gerar Números Pseudo-Aleatórios é: Método Congruente Multiplicativo Dado os parâmetros u 0 (semente), b, c e m, um número pseudo-aleatório R n pode ser gerado por: Exemplo: mod mod ((bu + ) u n mod n c),m, n,2,... u n R n, n,2,... m onde : ( x, y) x y*floor(x / ( x, y) x, para y 0 y), para y 0 b 9,c 5,u ((9 + 5),2) (( ),2) Fernando Nogueira Simulação 5 u R u R 2 2 mod 8 2 mod , m 2 8 5

6 Mecanismo da Simulação a s Discretos Chegada. Gerar e armazenar cronologicamente o tempo de chegada do próximo cliente (tempo corrente + tempo entre chegadas). 2. Se a instalação de atendimento está ociosa a) Começar o atendimento e declarar a instalação de atendimento ocupada. Atualizar as estatísticas de utilização da instalação de atendimento. b) Gerar e armazenar cronologicamente o tempo de saída (término do atendimento) do cliente (tempo corrente + tempo de atendimento). 3. Se a instalação de atendimento está ocupada, colocar o cliente na fila e atualizar as estatísticas da fila. Saída (Atendimento). Se a fila está vazia, declarar a instalação de atendimento ociosa. Atualize as estatísticas da instalação de atendimento. 2. Se a fila não está vazia a) Selecionar um cliente a partir da fila e coloca-lo na instalação de atendimento. Atualizar a fila e as estatísticas da instalação de atendimento. b) Gerar e armazenar cronologicamente o tempo de saída dos cliente. (tempo corrente + tempo de atendimento). Fernando Nogueira Simulação 6

7 Exemplo: O intervalo de tempo entre chegadas em uma barbearia é exponencial com média de 5 minutos e existe um único barbeiro que gasta entre 0 e 5 minutos uniformemente distribuídos para fazer uma barba. A disciplina da fila é FIFO e deseja-se )estimar a utilização média da barbearia, 2) o número médio de clientes no sistema e 3) o tempo médio que um cliente aguarda na fila. Seja p e q amostras aleatórias dos tempos entre chegadas e de atendimento, respectivamente, então: p 5ln( R) em min. 0 R q 0 + 5R em min. 0 R Chegada do Cliente em 0 Gerar chegada do cliente 2 em 0 + p 0 + [-5ln(.0589)] min. Instalação de atendimento está ociosa em 0, cliente começa a ser atendido. O tempo de saída é 0 + q 0 + (0 + 5 x.6733) 3.37 min. A lista cronológica é: saída do cliente chegada do cliente 2 Fernando Nogueira Simulação 7

8 Saída do Cliente em 3.37 Porque fila está vazia, instalação é declarada ociosa. Declarar que a instalação de atendimento esteve ocupada entre 0 e 3.37 min. Atualizar a lista cronológica: chegada do cliente 2 Chegada do Cliente 2 em Gerar chegada do cliente 3 em p [-5ln(.4799)] min. Instalação de atendimento está ociosa em 42.48, cliente 2 começa a ser atendido e instalação é declara ocupada. O tempo de saída é q (0 + 5 x.9486) min. Atualizar a lista cronológica: chegada do cliente 3 saída do cliente 2 Chegada do Cliente 3 em Gerar chegada do cliente 4 em p [-5ln(.639)] 60.8 min. Instalação de atendimento está ocupada (até 57.22), cliente 3 é colocado na fila em Atualizar a lista cronológica: saída do cliente 2 chegada do cliente 4 Fernando Nogueira Simulação 8

9 Saída do Cliente 2 em Cliente 3 é retirado da fila para começar atendimento. O tempo aguardado é W min. O tempo de saída é (0 + 5 x.5933) 70.9 min. Atualizar a lista cronológica: chegada do cliente 4 saída do cliente 3 Chegada do Cliente 4 em 60.8 Gerar chegada do cliente 5 em p [-5ln(. 934)] 6.83 min. Instalação de atendimento está ocupada (até 70.9), cliente 4 é colocado na fila. Atualizar a lista cronológica: Chegada do Cliente 5 em 6.83 chegada do cliente 5 saída do cliente 3 Simulação é limitada para 5 chegadas, chegada do cliente 6 não é gerada. A instalação de atendimento está ocupada e então cliente é colocado na fila em Atualizar a lista cronológica: 70.9 saída do cliente 3 Fernando Nogueira Simulação 9

10 Saída do Cliente 3 em 70.9 Cliente 4 é retirado da fila para começar atendimento. O tempo aguardado é W min. O tempo de saída é (0 + 5 x.782) 8.08 min. Atualizar a lista cronológica: 8.08 saída do cliente 4 Saída do Cliente 4 em 8.08 Cliente 5 é retirado da fila para começar atendimento. O tempo aguardado é W min. O tempo de saída é (0 + 5 x.3473) min. Atualizar a lista cronológica: Saída do Cliente 5 em saída do cliente 5 Não há mais clientes no sistema (fila e instalação de atendimento) e a simulação termina. Fernando Nogueira Simulação 0

11 L q W 4 W 5 2 A 3.73 W 3 A A + A q clientes L Utilização instalação q q 2 q 3 q 4 q 5 A A Utilização A 3 + A 4 instalação barbeiros W + W + W 5 + W + W Wq Fernando Nogueira Simulação 6.47 min