4.1. ESPERANÇA x =, x=1

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1 4.1. ESPERANÇA Esperança Certamente um dos conceitos mais conhecidos na teoria das probabilidade é a esperança de uma variável aleatória, mas não com esse nome e sim com os nomes de média ou valor esperado. Durante todo este estudo consideraremos X uma variável aleatória qualquer com função de distribuição F X. Estender o conceito de centro de massa para distribuições mais gerais é possível, embora conte com algumas sutilezas matemáticas: não é claro que o centro de massa existirá se X assumir infinitos valores, sejam estes enumeráveis ou não. Se, por exemplo, P (X = x) = 6 π 2 x 2, para x = 1, 2, temos que µ = 6 π 2 x=1 1 x =, isto seguindo o desenvolvimento no Exemplo 4.1. Definição 4.1. Suponha X uma variável aleatória não negativa com função de distribuição F X. A esperança, média ou valor esperado de X, denotado por E(X), é definido como quando a integral esteja bem definida. [1 F X (x)] dx, (4.1) Observemos que uma variável aleatória X é não negativa se X(w), w Ω. Nesta situação F X (x) =, para todo x <. Ainda observamos que [1 F X (x)] dx = P (X > x) dx (4.2) Na Definição 4.1 com a frase quando a integral esteja bem definida queremos dizer que a integral em (4.1) ou em (4.2) possa ser calculada, sendo o resultado finito ou não.

2 14 CAPÍTULO 4. MOMENTOS E FUNÇÕES GERADORAS Teorema 4.1. Se a variável aleatória X assume somente valores inteiros não negativos, então P (X > n) = n= P (X n) (4.3) n=1 Demonstração. Consideramos valores inteiros não negativos 1, 2, 3,. Então portanto P (X > n) = n= P (X > n) = P (X n + 1), P (X n + 1) = n= P (X n) Sabemos que no caso discreto a função de distribuição pode ser escrita como Logo, Exemplo 4.2. Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição uniforme discreta nos primeiros N números naturais se n=1 P (X = n) = 1, n = 1, 2,, N N Esta é uma situação de variável aleatória discreta positiva, então N P (X n) = 1 + P (X 2) + P (X 3) + + P (X N) n=1 = 1 + N 1 N + N 2 N N = N N + N 1 N + N 2 N N Do qual obtemos que N Vamos agora fornecer uma forma não intuitiva de calcular o valor esperado para o caso de X geral.

3 4.1. ESPERANÇA 141 Teorema 4.2. Seja X uma variável aleatória definida integrável com função de distribuição F X. Então [1 F X (x)] dx F X (x) dx (4.4) Demonstração. Caso a variável aleatória assuma somente valores positivos, a expressão em (4.4) coincide com a expressão em (4.1) da definição de esperança de X. Vejamos como calcular a integral em (4.4). Teorema 4.3 (Cálculo da esperança no caso discreto). Seja X uma variável aleatória discreta assumindo valores x 1, x 2, com probabilidades p 1, p 2,. Então a esperança de X calcula-se como x i P (X = x i ) = i=1 x i p i, (4.5) i=1 quando a série é convergente. Demonstração. Sabemos que no caso discreto a função de distribuição pode ser escrita como F X (x) = p i δ(x x i ) i=1 Este valor está bem definido quando a soma não depende da ordem dos termos, em particular quando a série converge absolutamente, isto é, quando i=1 x i P (X = x i ) <. Exemplo 4.3 (Cálculo da esperança no caso absolutamente contínuo). Seja X uma variável aleatória absolutamente contínua, isto é, X tem função de

4 142 CAPÍTULO 4. MOMENTOS E FUNÇÕES GERADORAS densidade. Então a esperança de X calcula-se como quando a integral é finita. xf X (x) dx, (4.6) Teorema 4.4. Seja X uma variável aleatória definida no espaço de probabilidade (Ω, F, P ). Suponhamos que o momento de X de ordem t exite. Então existem os momentos de X de ordem < s < t. Demonstração. Seja X uma variável contínua com função de densidade f(x). Temos então E( X s ) = x f(x) dx + x f(x) dx {w Ω: x s 1} {w Ω: x s >1} P ( X s 1) + E( X t ) < Demonstração similar pode ser realizada no caso de X discreta Propriedades da esperança Teorema 4.5. Seja X uma variável aleatória integrável que satisfaz P (X ) = 1. Então E(X). Demonstração. Exercício. Teorema 4.6. Seja X uma variável aleatória. Se X = c, ou seja, X(ω) = c, para todo ω Ω. Então c. Demonstração. Exercício.

5 4.1. ESPERANÇA 143 Esta propriedade pode ser traduzida de várias maneiras. Uma é que a esperança de uma constante é ela própria ou que a esperança de uma variável determinística (degenerada) é ela própria. Teorema 4.7. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias. Se X Y então E(X) E(Y ). Demonstração. Para esta propriedade ser válida basta que as esperanças estejam bem definidas e, com isto, queremos dizer que alguma das esperanças seja finita, ou ou E(Y ) = +. Se Y z então X z, logo {ω Ω : Y (ω) z} {ω Ω : X(ω) z} Portanto, F Y (z) F X (z) e 1 F Y (z) 1 F X (z). Pela propriedade em (4.4), E(Y ) = [1 F Y (z)] dz [1 F X (z)] dz F Y (z) dz F X (z) dz = E(X) Exemplo 4.4. Sejam X U(, 1) e Y = min(x, 1/2), logo Y X. Então E(Y ) = y df Y (y) = 1/2 y.1 dy + 1 1/2 1 P {Y = 1/2} dy 2 = P {X 1/2} = = 3 8 < 1 2 = E(X) Teorema 4.8. Se e P (X ) = 1 então P (X = ) = 1. Demonstração. Exercício.

6 144 CAPÍTULO 4. MOMENTOS E FUNÇÕES GERADORAS Moda A moda é outra característica numérica das variáveis aleatórias e definese unicamente para distribuições discretas ou absolutamente contínuas da seguinte forma. Definição 4.2 (Moda). A moda de una variável aleatória ou de sua distribuição, discreta o absolutamente contínua, é aquele ponto onde a função de densidade tem um máximo local. Por exemplo, se X é una variável aleatória discreta com valores x 1 < x 2 <... com probabilidades respectivas p 1, p 2,... então X tem uma moda no ponto x k se p k 1 p k p k+1. É evidente que podem existir várias modas para uma mesma variável aleatória. Quando a moda é única se dize que a distribução é unimodal, e quando há várias modas se dize que é multimodal.

7 4.2. VARIÂNCIA Variância Um valor central é importante porém, pouco informa se não consideramos alguma medida de quão dispersos estiverem os valores da variável ao redor dele. A utilidade do valor esperado, como uma previsão para o resultado de um experimento, é maior quando o resultado não é provável que se afaste demasiado do valor esperado. Nesta seção, vamos introduzir uma medida deste desvio, chamado variância. Então, a variância de uma variável aleatória é uma medida do grau de dispersão dos diferentes valores assumidos pela variável. Sua definição é a seguinte. Se E(X n ) existe para algum inteiro positivo n, chamaremos E(X n ) o n-ésimo momento de X na origem. Se E X α < para algum número real positivo α, o α-ésimo momento absoluto de X será calculado como E X α. Utilizaremos a seguinte notação m n = E(X n ) e β α = E( X α ) Definição 4.3. Sejam k um número inteiro positivo e c uma constante. Se a esperança E(X c) k existe o chamaremos de momento de ordem k no ponto c. Escolhendo c = µ, o qual existe dado que E X k <, chamaremos E(X µ) k o momento central do ordem k ou momento de ordem k na média. Escrevemos µ k = E(X µ) k (4.7) Se conhecermos os coeficientes m 1,, m k podemos calcular µ 1,, µ k e reciprocamente. Temos que ( ) ( ) k k µ k = E(X µ) k = m k µm k 1 + µ 2 m k 2 + ( 1) k µ k 1 2 e m k = E(X µ + µ) k = µ k + O caso k = 2 é de especial importância. ( ) k µµ k ( ) k µ 2 µ k 2 + µ k 2

8 146 CAPÍTULO 4. MOMENTOS E FUNÇÕES GERADORAS Definição 4.4 (Variância). A variância de uma variável aleatória X, denotada por Var(X), define-se como a esperança a seguir, caso exista, Var(X) = E{[X E(X) 2 ]} (4.8) Observemos que se E(X 2 ) existe, a variância é momento de ordem 2 na média. Quando X é discreta com função de probabilidade P (X) e esperança finita µ a variância de X, quando existe, se calcula como Var(X) = x (x µ) 2 P (X = x) Se X é absolutamente contínua com função de densidade f(x) e esperança finita µ, então a variância de X, quando existe, é calculada como Var(X) = (x µ) 2 f(x) dx Observemos que, para qualquer variável aleatória X, temos que Var{X}. A variância denota-se regularmente pelo símbolo σ 2. À raiz quadrada positiva de Var(X) se le conhece como desvio padrão e se denota por σ. Novamente há situações nas quais a variância não é finita, e nestas situações se disse que a variável aleatória não tem variância. Observe que para calcular a variância é necessário conhecer primeiro a esperança. Uma observação também é que, em geral, Var(X + Y ) Var(X) + Var(Y ). Para ver isto, podemos escolher Y = X, com Var(X) e verificamos a não igualdade. Teorema 4.9. Seja X uma variável aleatória tal que E(X 2 ) seja finita. Então Var(X) = E(X 2 ) E 2 (X) Demonstração. Observemos que Var(X) = E{[X E(X)] 2 } = E[X 2 2X E(X)+ E 2 (X)] = E(X 2 ) E 2 (X)

9 4.2. VARIÂNCIA 147 Exemplo 4.5. Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade Bernoulli(θ). Encontremos Var(X). Sabemos que θ, então devemos calcular E(X 2 ). E(X 2 ) = 2 P (X = ) P (X = 1) = θ, logo E(X 2 ) = θ e, portanto, Var(X) = θ θ 2 = θ(1 θ) Propriedades da variância Teorema 4.1. Seja X uma variável aleatória constante, isto é, X = c sendo c uma constante real qualquer. Então Var(X) =. Demonstração. Sabemos que c, então Var(X) = E[(X c) 2 ] = E() = Teorema Seja X uma variável aleatória qualquer. Então, para todo a, b R, temos que Var(X + b) = Var(X) e Var(aX + b) = a 2 Var(X). Demonstração. Sabemos que E(aX + b) = a E(X) + b, então Var(aX + b) = E[aX + b a E(X) b] 2 = E{a 2 [X E(X)] 2 } = a 2 Var(X) Exemplo 4.6. Assumiremos que E X 2 < e definamos Z = X X µ Var(X) σ Percebemos então que E(Z) = e Var(Z) = 1. Chamaremos Z de variável aleatória padronizada.

10 148 CAPÍTULO 4. MOMENTOS E FUNÇÕES GERADORAS Teorema Seja X uma variável aleatória qualquer. Então Var(X) E(X c) 2, para qualquer c E(X). Demonstração. Temos que Var(X) = E(X µ) 2 = E(X c) 2 + (c µ) 2