Objetivos. fim de servir de entrada na simulação de um modelo.

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1 Geração de variáveis aleatórias

2 Objetivos Geração de amostras para uma distribuição em específico a fim de servir de entrada na simulação de um modelo. Ilustrar algumas técnicas usadas para geração de variáveis aleatórias. Técnica da transformação inversa Técnica da convolução Técnica para aceitação / rejeição Técnica especial para a distribuição normal 2

3 Técnica da transformação inversa O conceito: Para a função cdf : r = F(x) Gerar R amostras de uma distribuição uniforme [0,1]; Encontre a amostra X: r = F(x) r 1 X = F -1 (R) 1 Pr( X x) = Pr( F ( R) x) = Pr( R F( x)) = F( x) x 1 3

4 Distribuição Exponencial [transformação inversa] Distribuição Exponencial: Cdf Exponencial: r = F(x) = 1 e -λx para x 0 Para gerar X 1, X 2, X 3, gere R 1, R 2, R 3, X i = F -1 (R i ) = -(1/λ) ln(1-r i ) Figura: técnica da transformação inversa para exp(λ = 1) 4

5 Distribuição Exponencial [transformação inversa] Exemplo: Gerar 200 amostras X i com distribuição exp(λ= 1) Código Matlab for i=1:200, expnum(i)=-log(rand(1)); end R e (1 R) tem distribuição U(0,1) 5

6 Distribuição Uniforme [Transformação Inversa] Distribuição Uniforme: Cdf Uniforme: 0 x a x a r = F ( x ) = a< x b b a 1 b< x Para gerar X 1, X 2, X 3,, gere R 1, R 2, R 3, X = a+ ( b a) R i i 6

7 Uniform Distribution [Transformação Inversa] Exemplo: Gerar 500 amostras X i com distribuição Uniforme (3,8) Código Matlab for i=1:500, uninum(i)=3+5*rand(1); end 7

8 Distribuição Empírica Continua [transformação inversa] Quando uma distribuição teórica não é aplicável Para adquirir dados empíricos: Re-amostre dados observados Interpole entre os dados observados para preencher espaços vazios Para uma amostra pequena (tamanho n): Od Ordene os dd dados do menor para o maior x (1) x (2) x (n) Atribua a probabilidade 1/n para cada intervalo x (i-1) x x (i) onde X = Fˆ 1 ( R) = x ( i a i i 1) x i) x( i 1) = = 1/ n ( i 1) / n + a x i R x ( ( i) ( i 1) 1/ n ( i 1) n 8

9 Dist. Contínua Empírica [transformação Inversa] Exemplo: Suponha os dados de 100 tempos de manutenção de dispositivos : i Intervalo (Horas) Frequencia Frequencia Relativa Frequência acumulada, c i inclinação, a i x ,31 0,31 0, x ,10 0,41 5, x ,25 0,66 2, x ,34 1,00 1,47 Considere R 1 = 0.83: c 3 = 0.66 < R 1 < c 4 = 1.00 X 1 = x (4-1) + a 4 (R 1 c (4-1) ) = ( ) =

10 Distribuição Discreta [transformação Inversa] Todas as distribuições discretas podem ser geradas pela técnica da transformação inversa. x a b c p(x) p1 p2 p3 F(x) p 1 + p 2 + p 3 p 1 + p 2 R 1 Forma Geral X = min{ x: F( x) r} p 1 a b c 10

11 Distribuição Discreta [transformação Inversa] Exemplo: Suponha que o número de remessas, x, na plataforma de carregamento da empresa IHW é 0, 1, ou 2 Dado Distribuição de Probabilidades: x p(x) F(x) Método - dado R, a geração de dados torna-se: 11 x 0, R 0.5 = 1, 0.5 < R 0.8 2, 0.8 < R 1.0 Considere R 1 = 0.73: F(x i-1 ) < R <= F(x i ) F(x 0 ) < 0.73 <= F(x 1 ) E aqui, x 1 = 1

12 Técnica da Convolução Use para X = Y 1 + Y 2 + +Y n Exemplos de applicação Distribuição de Erlang DistribuiçãoTriangular ( Trapezoidal ) Gere amostras para YY 1,Y 2,,Y n e adicione i essas amostras para obter uma amostra de X. 12

13 Distribuição de Erlang [Convolução] Uma variável aleatória exponencial descreve a distância até que a primeira contagem é obtida em um processo de Poisson. Uma variável aleatória X que segue uma distribuição de Erlang com parâmetros (k,θ) pode ser escrita como uma soma de k variáveis exponenciais aleatórias e independentes Xi=1 1,2,,K Cada um com média 1/ kθ X k = X i= 1 A técnica da convolução consiste em gerar X1, X2,, Xk e então somá-las para obter X; No caso de Erlang λ=κ θ 13 i k k 1 1 X ln R i ln R i 1 k k = θ θ i= 1 = = i

14 Distribuição de Erlang Exemplo: Gere 500 X i com distribuição Erlang k=3 (θ = 1/2) ) Código Matlab for i=1:500, erlnum(i)=-1/6*(log(rand(1))+log(rand(1))+log(rand(1))); ( ( ( d(1))) end 14

15 Convolução (Folding) Integral Considere X e Y variáveis aleatórias comh pdf s f e g. Então, Z = X + Y produz a pdf h h() t = f() t g() t f( τ ) g( t τ) dτ = g( τ) f( t τ) dτ 15

16 Técnica da Aceitação-Rejeição Útil quando a inversa da cdf não existe de forma definida Passos para gerar X com a pdf f(x) Passo 0: Identificar uma função g(x) e uma pdf h(x) que satisfaça x, g( x) f( x) O parâmetro de eficiência é c gx ( ) hx ( ) = c Passo 1: Gerar Y com a pdf h(x) Passo 2: Gerar U ~ Uniforme(0,1) independente de Y Passo 3: c = g ( x ) dx < f( Y) U faça X = Y gy ( ) senão repetir a partir do passo 1. não Gere Y,U Condicional sim Saída X=Y 16

17 Distribuição Triangular [Aceitação-Rejeição] Exemplo: 4x 0 x 1/2 f( x) = 4 4x 1/2< x 1 0 caso contrário 2 0 x 1 gx ( ) = gx ( ) f( x) 0 caso contrário + c = g( x) dx = 2 g(x) gx ( ) 1 0 x 1 hx ( ) = = c 0 caso contrário não Gere Y, U Y 0.5 U 2Y Y > 0.5 U 2 2Y sim g(x) Saída X = Y 17 f(x) h(x) 0 1 f( Y) U faça X Y g ( Y ) = senão repetir a partir do passo 1.

18 Distribuição Triangular [Aceitação-Rejeição] Código Matlab: (para 1000 amostras) i=0; while i<1000, Y=rand(1); U=rand(1); if Y<=0.5 & U<=2*Y Y>0.5 & U<=2-2*Y i=i+1; X(i)=Y; end end 18

19 Distribuição Normal [Técnica especial] Abordagem para a normal(0,1): Considere duas curvas normais padrão com variáveis aleatórias Z 1 e Z 2, representadas como pontos no plano: Em coordenadas polares: Z 1 = B cos θ Z 2 = B sin θ θ Uniforme(0,2π) 19 B 2 = Z Z 2 2 ~ distribuição chi-square com 2 graus de liberdade. A Distribuição Chi-quadrado com k graus de liberdade é a distribuição gama com parâmetros (k/2, 1/2)). No caso (1,1/2). Uma distribuição Chi-quadrado com 2 graus de liberdade equivale a uma distribuição exponencial com média dois e assim X i 1 (ln R ) = onde E ( X ) λ i i 1 = λ

20 Distribuição Normal [Técnica especial] Dessa forma o raio B pode ser gerado com 1/ 2 O raio B e o ângulo θ são mutuamente independentes d. Abordagem para a normal (µ,σ 2 ): Gere Z i ~ N(0,1) Aproximação para a lognormal(µ,σl( 2 ): Gere X ~ N(µ,σ 2 ) X i = µ + σ Z i B = ( 2ln R ) Z = ( 2ln R ) cos(2 π R ) 1/ Z = ( 2ln R ) sin(2 π R ) 1/ Y i = e X i

21 Distribuição Normal [Técnica especial] Gerar 1000 amostras de uma Normal(7,4) Código Matlab for i=1:500, R1=rand(1); R2=rand(1); Z(2*i-1)=sqrt(-2*log(R1))*cos(2*pi*R2); Z(2*i)=sqrt(-2*log(R1))*sin(2*pi*R2); end for i=1:1000, Z(i)=7+2*Z(i); Z(i); end 21