PROVAS Ciência da Computação. 2 a Prova: 13/02/2014 (Quinta) Reavaliação: 20/02/2014 (Quinta)

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1 PROVAS Ciência da Computação 2 a Prova: 13/02/2014 (Quinta) Reavaliação: 20/02/2014 (Quinta)

2 Ajuste de Curvas Objetivo Ajustar curvas pelo método dos mínimos quadrados

3 1 - INTRODUÇÃO Em geral, experimentos geram uma gama de dados que devem ser analisados para a criação de um modelo. Obter uma função matemática que represente (ou que ajuste) os dados permite fazer simulações do processo de forma confiável, reduzindo assim repetições de experimentos que podem ter um custo alto.

4 1 - INTRODUÇÃO Em geral, usa-se aproximação de funções nas seguintes situações: Quando se desejar extrapolar ou fazer previsões em regiões fora do intervalo considerado; Quando os dados tabelados são resultados de experimentos, onde erros na obtenção destes resultados podem influenciar a sua qualidade; Quando deseja-se substituir um função conhecida f(x) por outra função g(x) que facilite cálculos como derivadas e integrais.

5 1 - INTRODUÇÃO O objetivo é obter uma função que seja uma boa aproximação e que permita extrapolações com alguma margem de segurança. A escolha das funções pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados, baseando-se em fundamentos teóricos dos experimentos que forneceu a tabela ou através de uma função já conhecida.

6 1 - INTRODUÇÃO Os métodos utilizados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos trabalhar com a aproximação, levando-se em consideração os erros e os desvios. O Método dos Mínimos Quadrados é um método bastante utilizado para ajustar uma determinada quantidade de pontos e aproximar funções.

7 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

8 2. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Método dos Mínimos Quadrados consiste em escolher os α i (i = 1, 2,..., n) de tal forma que: Se aproxime ao máximo de f(x). (1) Onde: fornece os pontos exatos; os pontos estimados.

9 2. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS O Método dos Mínimos Quadrados consiste em escolher os α i (i = 1, 2,..., n) de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima. E = m k=1 2 "# f ( x ) k ϕ ( x ) k $ % (2)

10 2.1 Caso discreto Dado um conjunto de pontos (x i ; f(x i )), i = 0; 1; 2;...; m (f dada por TABELA DE VALORES) O problema de ajuste de curvas consiste em encontrar funções g i (x) tais que o desvio em cada ponto i, definido por (2) seja mínimo, ou seja: se aproxime ao máximo de f(x).

11 2.1 Caso discreto Neste caso o ajuste é linear. ATENÇÃO!!!! Linear em relação aos α i e não às g i (x).

12 2.1 Caso discreto COMO ESCOLHER g(x)???? A escolha da função g(x) depende do gráfico dos pontos, chamado de diagrama de dispersão, através do qual pode-se visualizar o tipo de curva que melhor se ajusta aos dados.

13 2.1 Caso discreto Considerando os dados da Tabela 1, e através do gráfico gerado pela Tabela 1, pode-se definir que tipo de curva melhor se ajusta aos dados. Tabela 1

14 2.1 Caso discreto y x Figura 1. Diagrama de Dispersão para os dados da Tabela 1

15 2.1.1 Caso discreto (Ajuste Linear) Como pode ser observado na Figura 1, uma possível aproximação seria através de uma função linear do tipo: g(x)=a 1 x i +a 0. Assim o objetivo é determinar o valor de α 0 e α 1, que minimize: m i=1 2 E = "# y i ( α 1 x i +α ) 0 $ % (3)

16 2.1.1 Caso discreto (Ajuste Linear) Para que E seja mínimo é necessário que: E α 0 = 0 (4) E α 1 = 0 (5)

17 2.1.1 Caso discreto (Ajuste Linear) As equações (4) e (5) simplificam-se nas equações normais: (6) (7)

18 2.1.1 Caso discreto (Ajuste Linear) A solução para o sistema de equações é: (8) (9)

19 2.1.1 Caso discreto (Ajuste Linear) Considerando a Tabela 1, e os dados necessários para as equações (8) e (9) a seguinte Tabela pode ser calculada: Tabela 2

20 2.1.1 Caso discreto (Ajuste Linear) Considerando os dados da Tabela 2, os parâmetros α 1 e α 0 podem ser calculados como: α 0 = 0,360 α 1 =1, 538 Assim a reta de ajuste linear é determinada por: y =1, 538x 0,360 (10)

21 2.1.1 Caso discreto (Ajuste Linear) Na Figura 2, pode-se observar o ajuste através da reta (10) Figura 2. Ajuste linear

22 2.1.2 Caso discreto (Ajuste Polinomial) O processo usado para o ajuste linear pode ser estendido para ajuste polinomial. Assim, uma função polinomial de grau n é dada por: O objetivo é minimizar o erro: (11) (12)

23 2.1.2 Caso discreto (Ajuste Polinomial) Como no caso linear, para que E seja minimizado é necessário que para cada j=0,1,...,n. Isto fornece as n+1 equações normais nas n+1 incógnitas α j :

24 2.1.2 Caso discreto (Ajuste Polinomial) (13)

25 2.1.2 Caso discreto (Ajuste Polinomial) Exemplo: Ajustar os dados da Tabela 3 com um polinômio de grau dois utilizando o método dos mínimos quadrados. Tabela 3

26 i x i y i x 2 i x 3 i x 4 i x i y i x i2 y i ,25 1,284 0,0625 0,1563 0,0039 0,321 0, ,5 1,6487 0,25 0,125 0,0625 0,8244 0, ,75 2,117 0,5625 0,4219 0,3164 1,5878 1, , ,7183 2,7183 Σ 2,5 8,768 1,875 1,5625 1,3828 5,4514 4,4015

27 2.1.2 Caso discreto (Ajuste Polinomial) Para este problema, n=2, m=5 e as três equações normais são: (14) Resolvendo o sistema (14), obtêm-se: α 0 =1, 0051 α 1 = 0,8647 α 2 = 0,8432

28 2.1 Caso discreto (Ajuste Polinomial) y =1, ,8647x + 0,8432x 2 O erro total E = 5 i=1 y i P( x i ) "# $ % 2 = 2, é o mínimo que pode ser obtido usando um polinômio com grau máximo 2 Figura 3. Ajuste polinomial

29 2.2 Caso Contínuo Outro problema é a aproximação de funções. Para o caso discreto temos um conjunto de dados. Para o caso contínuo temos funções.

30 2.2 Caso Contínuo Dada uma função f(x), contínua em [a,b] e escolhidas funções g 1 (x), g 2 (x),..., g n (x), todas contínuas em [a,b], determinar constantes α 1, α 2,..., α n, tal que: ϕ x ( ) = α 1 g 1 x ( ) +α 2 g 2 x ( ) + +α n g n x ( ) se aproxime ao máximo de f(x) em [a,b].

31 2.2 Caso Contínuo O objetivo é determinar um polinômio de grau máximo n (ϕ (x) = P n (x)): que minimize o erro total: (15) (16)

32 2.2 Caso Contínuo O problema é encontrar os coeficientes α j que minimizem E. Uma condição necessária para que os números α j minimizem E é que: para cada j=0, 1,...,n

33 2.2 Caso Contínuo Como: (17) As derivadas ficam na seguinte forma: (18)

34 2.2 Caso Contínuo Para encontrar P n (x), temos (n + 1) equações normais: (19) que devem ser resolvidas para se determinar as (n+1) incógnitas α j, para cada j = 0,1,...,n.

35 Exemplo Encontrar o polinômio de aproximação por mínimos quadrados de segundo grau para a função abaixo no intervalo [0,1]. f ( x) = sen( π x)

36 2.2 Caso Contínuo

37 2.2 Caso Contínuo Calculando as integrais obtêm-se: α α α 2 = 2 π 1 2 α α α 2 = 1 π 1 3 α α α = π π 3 Resolvendo o sistema obtêm-se o seguinte polinômio: P 2 ( x) = 4,1225x 2 + 4,1225x 0, 0505

38 2.2 Caso Contínuo Resolvendo o sistema obtém-se o seguinte polinômio: P 2 ( x) = 4,1225x 2 + 4,1225x 0, 0505 Figura 4. Aproximação de f(x) pelo polinômio P 2 (x).

39 2.3 Caso não-linear Existem casos, onde o diagrama de dispersão de uma função indica que os dados devem ser ajustado por uma função não linear. Para estes casos um processo de linearização deve ser empregado, para que seja possível aplicar o Método dos Mínimos Quadrados. Neste caso podemos proceder da seguinte forma:

40 2.3 Caso não-linear n Ocasionalmente, é apropriado supor que os dados estejam relacionados exponencialmente. n Exemplo: φ(x) = ae bx, para a e b constantes. A dificuldade de aplicação do método dos mínimos quadrados neste caso consiste na tentativa de minimizar E.

41 2.3 Caso não-linear Caso I: Função Exponencial ϕ ( x) = y = ae bx Aplicando logaritmo em ambos os lados, obtêm-se: Realizando as seguintes substituições: Obtêm-se:

42 2.3 Caso não-linear Caso II: Função Logarítmica Expandindo: Realizando as seguintes substituições: Obtêm-se:

43 2.3 Caso não-linear Caso III: Função Potencial Aplicando logaritmo em ambos os lados: Realizando as seguintes substituições: Obtêm-se:

44 2.3 Caso não-linear Caso IV: Função Hiperbólica Realizando as seguintes substituições: Obtêm-se:

45 2.1.1 Caso discreto (Ajuste Linear) As equações (4) e (5) simplificam-se nas equações normais: (6) (7)

46 2.1.1 Caso discreto (Ajuste Linear) A solução para o sistema de equações é: (8) (9)

47 n Após aplicar o método dos mínimos quadrados, é preciso fazer as substituições necessárias para encontrar os parâmetros a e b da função de aproximação original.

48 n Observe que os parâmetros assim obtidos não são ótimos dentro do critério dos quadrados mínimos, porque estamos ajustando o problema linearizado e não o problema original.

49 2.3 Caso não-linear Exemplo 1: Encontrar uma função exponencial que se ajusta aos valores da tabela abaixo:

50 y = ae bx

51 Y = ln y α = ln( a) 0 y = ae bx α 1 = b

52 2.3 Caso não-linear Como o ajuste será realizado por uma função exponencial é necessário calcular: A tabela para os cálculos fica da seguinte forma: i x y Y = ln(y) x 2 i x i Y i ,547 3, , ,7 17,264 2,849 0,49-1, ,4 8,155 2,099 0,16-0, ,1 3,852 1,349 0,01-0, ,2 1,820 0,599 0,04 0, ,5 0,860-0,151 0,25-0, ,8 0,406-0,901 0,64-0, ,246-1, ,402 Σ 0,3 69,15 8,041 3,59-8,645

53 2.3 Caso não-linear α 0 =1, 099 α 1 = 2, 5 α = ln( a) α = b 0 1 a = e α 0 = e1,099 a = 3, 001 b = 2, 5

54 n Os parâmetros α 0 eα 1 que ajustam a função ϕ(x) à função Y no sentido dos quadrados mínimos. n Não se pode afirmar que os parâmetros a e b (obtidos através de α 0 eα 1 ) são os que ajustam ϕ(x) à função y dentro dos critérios dos quadrados mínimos.

55 TESTE DE ALINHAMENTO n Uma vez escolhida uma função não linear em a, b, para ajustar uma função. Uma forma de verificar se a escolha foi razoável é aplicar o Teste de Alinhamento.

56 TESTE DE ALINHAMENTO n a) Fazer a linearização da função não linear escolhida; n b) Fazer o diagrama de dispersão dos novos dados; n c) Se os pontos do diagrama estiverem alinhados, isto significará que a função não linear escolhida foi uma boa escolha.