5. PRINCIPAIS MODELOS CONTÍNUOS

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1 5. RINCIAIS MODELOS CONTÍNUOS 04

2 5.. Modelo uniforme Uma v.a. contínua tem distribuição uniforme com parâmetros α e β α β se sua função densidade de probabilidade é dada por f, β α 0, Notação: ~ Uα, β. se se α α c.c. A função de distribuição acumulada é dada por 0, α F, β α, se > β α, β. β, ropriedades: E α + β e Var α β.

3 Eemplo A dureza de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável aleatória uniforme no intervalo 50,70 unidades. Qual a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60? Solução. representa a dureza de uma peça de aço, sendo que ~ U50, 70 e f 0 0,, 50 c. c. 70, ortanto, d ,5. 3

4 5.. Modelo eponencial Uma v.a. contínua tem distribuição eponencial com parâmetro λ > 0 se sua função de densidade é dada por f λ e 0, λ Notação: ~ Eλ., c.c. 0, A função de distribuição acumulada é dada por F e 0, ropriedades: E λ, c.c. 0 / λ e Var / λ. f 0 λ F

5 5.. Modelo eponencial ropriedade. Se ~ Eλ, então > a + b > b > a. É a única distribuição contínua com esta propriedade falta de memória. Observação. Também encontramos ~ Eα, em que f e α 0, α, c.c. 0, Relação: α / λ. α: escala e λ: taa. Eemplo. Diferentes valores de λ. f λ 3 λ λ 5

6 Eemplo O tempo de vida de um tipo de fusível segue uma distribuição eponencial com vida média de 00 horas. Cada fusível tem um custo de $0,0 e se durar menos de 00 horas há um custo adicional de $8,0. a Qual é a probabilidade de um fusível durar mais de 50 horas? b Determinar o custo esperado. Solução. Se é o tempo de vida de um fusível, temos E 00 horas, λ / E 0,0 e ~ E0,0. Ou seja, F e 00, 0, 0, c.c. a > e e,5 0,3. 6

7 Eemplo b O custo C é uma v.a. discreta dada por C 0, 0 + 8, se se 00 00,. O custo esperado custo médio é EC 0 C C 8. Usando a variável calculamos C C E C F00 e 8 00 F00 e 0 e + 8 e e $ 6,9., 7

8 Modelo normal ou gaussiano Uma variável aleatória contínua tem distribuição normal com média µ e variância σ se sua função densidade é dada por., R e f σ µ πσ Notação: ~ Nµ, σ.

9 Eemplos Distribuições normais com médias diferentes e variâncias iguais. Distribuições normais com médias iguais e variâncias diferentes. 9

10 Eemplos σ σ µ µ µ µ σ σ µ µ

11 ropriedades a E µ, Var σ e mediana moda µ. b A distribuição é simétrica em relação à média. c Como a área total sob curva é igual a, à esquerda e à direita de µ a área é igual a 0,5. d. 0, e 0,9759, 0, σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ

12 ropriedades A função de distribuição acumulada de uma v.a. ~ Nµ, σ é F Φ ep πσ t σ µ dt. Normal padrão ou reduzida. Se é uma v.a. normal com média 0 e variância, então é chamada de uma v.a. normal padrão ou reduzida e sua função densidade é z f z e π, z R. Integral sem solução analítica. Cálculo de probabilidades com o auílio de tabelas. A função de distribuição acumulada de uma v.a. ~ N0, é z z z π ep t fz dt z.

13 Uso da tabela normal Table A.3. Areas under the normal curve. ~ N0,: distribuição normal padrão. Valores no corpo da tabela: Φz z, z com duas decimais. Φ z z z π ep t dt, 3,40 z 3,49. 3

14 Uso da tabela normal a coluna: parte inteira de z e a decimal. a linha: a decimal de z. Eemplo. -,5 é encontrada na interseção da linha correspondente a, com a coluna 0,05: a decimal arte inteira e a decimal z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-3,4... -, 0, ,4 Resposta. -,5 0,056. 4

15 Eemplo Se ~ N0,, calcule a,80, b 0,80,40, c > -0,57 e d o valor de k tal que k 0,05. Solução. Da tabela normal padrão tem-se a b 0,80,80 Φ,80 0,964, Em R e Ecel: a pnorm.8 e DIST.NORM,8. b pnorm.4-pnorm.8 e DIST.NORM,4 DIST.NORM0,8.,40 Φ,40-Φ0,80 0,99-0,788 0,3, c > 0,57 0,57 0,843 d k 0,05 k,64. c -pnorm-0.57 e -DIST.NORM-0,57. d qnorm0.05 e INV.NORM0,05. 0,757, Observação. ara todo k > 0, i k k e ii k k k k. 5

16 Eemplo b A B C, sendo que B e C são encontradas na tabela normal. fz z A fz B z.4 fz C z 0.8 6

17 Transformação linear de uma variável normal Se ~ Nµ, σ, então Y a + b ~ Nµ Y, σ Y, sendo que µ Y a + bµ e σ Y b σ. Tomando a - µ / σ e b / σ obtemos a padronização σ µ ~ N 0,. Distribuição normal padrão ou reduzida. Eemplo. Se ~ N90,00, determinar a 80 00, b e c o valor de a tal que 90 - a 90 + a 0,99. 7

18 8 0,686. 0,843,00,00, a σ µ 0, ,9987 3,00 3,00 3, b,85.,57 5 0, , a a a a a a a a a a c Eemplo

19 Eemplo O tempo necessário para produzir um lote de itens tem distribuição normal com média 0 minutos e desvio padrão 5 minutos. a Sorteando-se um lote produzido, qual a probabilidade de que tempo de produção seja inferior a 00 minutos? Solução. Definimos como o tempo de produção do lote. elo enunciado, ~ N0, 5. Calculamos ,33 5 Φ,33 0,098. 9

20 Eemplo b Qual o tempo correspondente à produção de 95% dos itens? Solução. Devemos encontrar tal que 0,95. Após uma transformação, 0 0,95. 5 Iniciamos encontrando z tal que Φz0,95. Da tabela normal, z,64. Logo, 0 +, ,6 min. Em Ecel: INV.NORM0,95 z, INV.NORM0,95 * 5 44,678. 0

21 Eemplo c Qual o intervalo de tempo central correspondente à produção de itens? Solução. Devemos encontrar e tais que 0 0, ,80. 80% dos robabilidade acumulada até o ponto z é igual a 0,90. Iniciamos encontrando z tal que Φz 0,90. Da tabela normal, z,8. Logo, ,8,8 0 5, ,8 00,8 min, 39, min.

22 Teorema central do limite Se,,..., n é uma amostra aleatória de tamanho n de uma distribuição com média µ e desvio padrão σ 0 σ, então a distribuição aproimada de n µ σ sendo que é normal padrão N0,, n n i i é a média amostral. Observações. Quanto maior n, melhor a aproimação. A distribuição das variáveis pode ser discreta ou contínua. 3 A distribuição aproimada de n i é N nµ, nσ. i

23 Teorema central do limite Distribuição eponencial n n Densidade Densidade n 5 0 n 0 0 Densidade Densidade

24 Teorema central do limite Distribuição Bernoulli p 0,45 n n Densidade Densidade n 5 0 n 0 0 Densidade Densidade

25 Eemplo Após arredondamento para o inteiro mais próimo, 48 números são somados. Os erros de arredondamento individuais são uniformemente distribuídos no intervalo -0,5; 0,5. Qual a probabilidade de que a soma dos números arredondados seja diferente da verdadeira soma por mais de 3 unidades em ambos os sentidos? Solução. Utilizando o teorema central do limite obtemos uma solução aproimada. i, i,...,48 são os erros de arredondamento tais que i ~ U-0,5; 0,5, E i -0,5 + 0,5 / 0 e Var i [0,5-0,5] / / veja lâmina. O erro de arredondamento E é dado por E , sendo que a distribuição aproimada é E ~ N48 0, 48 / N0,4. Devemos calcular E -3 E > 3, que é igual a E -3 + E > 3. Usando a distribuição aproimada, E -3 + E > 3 E -3 E ,50 0,0668 0,336. 5

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