Reviso de Teoria da Medida e Elementos Bsicos de Probabilidade

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1 Reviso de Teoria da Medida e Elementos Bsicos de Probabilidade Roberto Imbuzeiro Oliveira 9 de Março de 2009 Resumo Esta lista cobre o básico do básico sobre espaços e distribuições de probabilidade. Pouco material foi incluído sobre independência, mas este tópico será melhor tratado na segunda lista. 1 Revisão da teoria básica de conjuntos Usaremos sempre a seguinte notação: se Ω é um conjunto, então P(Ω) é o conjunto das partes de Ω, isto é, o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de Ω. Lembremos também que o complementar de A Ω é A c {ω Ω : ω A} Note que para especificar o complementar, precisamos especificar Ω, mas este conjunto maior sempre estará claro do contexto em questão. Fixaremos um conjunto Ω para o restante desta lista. Defina a diferença entre dois conjuntos B e A como sendo: B\A {ω Ω : ω B, ω A}. Finalmente, diga que A e B são disjuntos quando A B =. Supondo que A, B, A 1, A 2, Ω, resolva os seguintes exercícios. Exercício 1 Prove que A A = A A = A. Exercício 2 Prove que B\A = B A c. IMPA, Rio de Janeiro, RJ, Brazil,

2 Exercício 3 Prove que (A B) c = A c B c e que em geral ( + n=1 A n) c = + n=1 Ac n. Exercício 4 Prove que (A B) c = A c B c e que em geral ( + n=1 A n) c = + n=1 Ac n. (Logo a complementação troca e.) Exercício 5 Prove que A e B são disjuntos se e somente se B\A = B e A\B = A. Exercício 6 Prove que A = se e somente se A e B são disjuntos para qualquer outro conjunto B. 2 σ-álgebras Recordemos a definição de σ-álgebra. Definição 1 Se Ω é um conjunto, F é uma σ-álgebra sobre Ω se 1. F é um subconjunto de P(Ω) (isto é, uma família de subconjuntos de Ω); 2. O conjunto vazio e o conjunto todo Ω pertencem a F; 3. Para todo A F, tem-se A c F; 4. Para toda seqüência (enumerável) A 1, A 2,... de elementos de F, A = + n=1 A n F. Exercício 7 Mostre que F = {, Ω} e F = P(Ω) são σ-álgebras. Suponha agora que F é uma dada σ-álgebra sobre Ω. Use a Definição acima e os exercícios da seção anterior para resolver os dois exercícios seguintes. Exercício 8 Mostre que para toda seqüência B 1, B 2, F a intersecção + n=1 B n também está em F. Exercício 9 Mostre que para quaisquer A, B F a diferença B\A também está em F. 2.1 Geração de σ-álgebras Tome agora uma coleção C de subconjuntos de Ω (i.e. um conjunto C P(Ω)). Exercício 10 Mostre que há ao menos uma σ-álgebra contendo todos os elementos de C. Exercício 11 Defina σ(c) F. Fé σ-alg. sobre Ω, F C Mostre que σ(c) é uma σ-álgebra que contém C e que está contida em qualquer outra σ- álgebra contendo C. σ(c) é a σ-álgebra gerada por C. 2

3 Exercício 12 Seja D = {A c : A C} o conjunto cujos elementos são os complementares dos elementos de D. Mostre que σ(c) = σ(d). Exercício 13 Se C C P(Ω), então σ(c) σ(c ). 2.2 A σ-álgebra de Borel Escolha um natural d e seja Ω = R d. Considere os seguintes subconjuntos de P(R d ). 1. O = {A R d : A aberto}; 2. C = {F R d : F fechado}; 3. L = {E R d : E bola aberta}; 4. S = {U R d : U bola fechada}; 5. K = {C R d : C compacto}; 6. I = { d i=1 (, r i] : (r 1,..., r d ) R d }. Exercício 14 Mostre que as σ-álgebras σ(o), σ(c), etc. são todas iguais. Esta σ-álgebra comum é chamada de σ-álgebra de Borel de R d e simbolizada por B(R d ). Exercício 15 Do mesmo modo, se (r 1,..., r d ) R d, então (, r 1 ] (, r d ] e (, r 1 ) (, r d ) estão em B(R d ). 3 Medidas de probabilidade Recordemos a definição: Definição 2 Seja Ω um conjunto e F uma σ-álgebra sobre Ω. Uma função P : F [0, 1] é uma medida de probabilidade sobre (Ω, F) se 1. P( ) = 0, P(Ω) = Se A 1, A 2,... formam uma seqüência (enumerável) de elementos de F tal que para todos naturais i j A i e A j são disjuntos, + P( + n=1 A n) = P(A n ). n=1 3

4 Um trio (Ω, F, P) onde Ω é um conjunto, F uma σ-álgebra sobre Ω e P uma medida de probabilidade sobre (Ω, F) é chamado de espaço de probabilidade. Os elementos de F são chamados de eventos. Seja então (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Exercício 16 Prove que se A, B F, P(A) = P(A B) + P(A\B). P(A c ) = 1 P(A). Em particular, Exercício 17 Prove que se A, B F com A B, então P(A) P(B). Exercício 18 Sejam A 1, A 2, F uma seqüência encaixada crescente de eventos, i.e. A 1 A 2 A Mostre que P( + n=1 A n) = lim n + P(A n ). Exercício 19 Usando complementação e o exercício anterior prove que se B 1, B 2, F formam uma seqüência encaixada decrescente(i.e. B 1 B 2 B 3... ), P( + n=1 B n) = lim n + P(B n ). Exercício 20 Prove que se E 1, E 2, F são eventos quaisquer, + P( + n=1 E n) = lim N + P( N n=1e n ) P(E n ). n=1 3.1 O lim inf e no primeiro lema de Borel-Cantelli Definiremos agora um novo subconjunto de Ω o lim inf a partir de uma seqüência de eventos A 1, A 2, F. lim inf A n = {ω Ω : ω A n para infinitos valores de n}. n + Este evento é costumeiramente representado pela expressão A n infinitely often (n) ou simplesmente A n i.o. em textos em inglês. Exercício 21 Prove que lim inf A n = {ω Ω : n N m N tal que m n e ω A m }. n + Usando esta expressão, mostre que + lim inf A n = n + + n=1 m=n e que portanto o lim inf é um evento, isto é, está em F. A m. 4

5 Exercício 22 Continuando o exercício anterior, defina B n + m=na m. Mostre que os B n formam uma seqüência encaixada decrescente e que portanto P(lim inf n + A n) = P( + n=1 B n) = lim n + P(B n). Mostre também que se + n=1 P(A n) < +, então P(lim inf A n) = lim P(B n) n + n + lim + n + m=n P(A m ) = 0. Apesar de simples, o resultado acima é extremamente importante. Ele é conhecido como o Primeiro Lema de Borel Cantelli e está destacado abaixo. Lema 1 (Primeiro Lema de Borel Cantelli) Seja A 1, A 2, A 3, F uma seqüência (enumerável) de eventos com n P(A n) < +. Então P(lim inf n + A n ) = Distribuições sobre a reta R Consideraremos agora o caso Ω = R, F = B(R). Para qualquer medida de probabilidade P sobre R, podemos definir uma função: F P : r R F P (r) = P((, r]). Definição 3 Se P é uma medida de probabilidade sobre (R, B(R)), a função cumulativa de distribuição (fcd) de P é a função F P definida pela regra acima. Provaremos a seguir uma série de propriedades de F P. Exercício 23 Demonstre que se s < r so reais: 1. P((, r)) = F P (r ); 2. P((s, r]) = F P (r) F P (s); 3. P((s, r)) = F P (r ) F P (s); 4. P([s, r]) = F P (r) F P (s ); 5. P([s, r)) = F P (r ) F P (s); 6. P((s, + )) = 1 F P (s); 7. P([s, + )) = 1 F P (s ). 5

6 Exercício 24 Dada F = F P, apresente uma maneira de calcular a probabilidade de qualquer evento A R que seja um conjunto aberto ou fechado. Exercício 25 Mostre que F P é não-decrescente, isto é, que para todos os reais s r F P (s) F P (r). Exercício 26 Prove que qualquer função F não decrescente sobre R tem limites à esquerda, isto é, para todo s R existe um valor F (s ) R tal que, se {s i } é uma seqüência crescente convergindo a s, então F (s i ) F (s ). Exercício 27 Demonstre que F P é contínua à direita, isto é: se {r i } + i=1 é uma seqüência decrescente convergindo a R, então lim i F P (r i ) = F P (r). Prove ainda que F P (r ) F P (r). Exercício 28 Mostre que se r, F P (r) 0. Por outro lado, se r +, F P (r) 1. 4 Variáveis e vetores aleatórios Fixemos mais uma vez um espaço de probabilidade (Ω, F, P). Considere uma função X : Ω R d (onde d é algum natural fixo). Para A R d, defina a imagem inversa de A por X: X 1 (A) {ω Ω : X(ω) A}. Exercício 29 Mostre que o seguinte conjunto é uma σ-álgebra sobre R que está contida em B(R d ): G(X) {A B(R d ) : X 1 (A) F}. Definição 4 Uma função X : Ω R d é dita uma variável aleatória se para todo A B(R d ) temos X 1 (A) F (na linguagem de Teoria da Medida, isto quer dizer que X é F/B(R d )-mensurável). Se d > 1, costuma-se enfatizar isso dizendo que X é um vetor aleatório. Exercício 30 Mostre que X é variável aleatória se e somente se G X = B(R d ). Prove também que isto é verdade se e somente se X 1 (A) F para todo A W, onde W é qualquer uma das seis coleções de subconjuntos de R d definidas na Seção 2.2. Exercício 31 Mostre que se (Ω, F) = (R s, B(R s )) e X : R s R d é contínua, então X é uma variável aleatória. 6

7 Exercício 32 Suponha que X : Ω R d é variável aleatória e que Y : R d R s é variável aleatória quando R d é dotado da σ-álgebra de Borel. Mostre que a composição de funções Y X também é uma variável aleatória. Exercício 33 Seja X v.a. com valores em R d, de modo que a cada ω Ω X(ω) = (X 1 (ω),..., X d (ω)). Mostre que cada X i é uma v.a. e que de modo geral, se escolhemos índices 1 i 1, i 2,..., i k d, Z(ω) (X i1 (ω), X i2 (ω),..., X ik (ω)) também é v.a.. Ocasionalmente consideramos variáveis aleatórias com valores em R {± }. Neste caso, temos a seguinte definição: Definição 5 Uma função X : Ω R {± } é dita uma variável aleatória com valores estendidos se para todo A B(R d ) temos X 1 (A) F, e também X 1 ({+ }), X 1 ({ }) F. Observação 1 O fato de que X é ou não variável aleatória depende apenas da escolha de Ω, F e X; a medida P não entra na definição. O par (Ω, F) é o que se chama de espaço mensurável em Teoria da Medida. Observação 2 O evento X 1 (A) é costumeiramente representado pela expressão {X A}. Já eventos do tipo {X (, r]} ou {X [s, r]} são costumeiramente escritos como {X r}, {s X r}, etc. 4.1 Funções indicadoras e simples Definição 6 Seja A Ω e defina 1 A : Ω R pela fórmula: { 1 se ω A, 1 A (ω) = 0 caso contrário. Esta é a chamada função característica de A, também chamada de indicador de A. Exercício 34 1 A é variável aleatória se e somente se A F. Definição 7 Uma variável aleatória Y : Ω R d é dita simples se existem A 1,..., A m F e c 1,..., c m R d tais que Y (ω) = m j=1 c j1 Aj (ω) para todo ω Ω. É um fato de Teoria da Medida que: Teorema 1 Seja X : Ω R d uma função. X é uma variável aleatória se e somente se existe uma seqüência de funções simples {X i } i N tais que X i (ω) X(ω) para todo ω Ω. 7

8 Observação 3 No teorema acima podemos exigir que { X i (ω) } i forme uma seqüência não decrescente. Um teorema semelhante cobre o caso de variáveis aleatórias estendidas. Exercício 35 Usando o teorema acima, mostre que, se X, Y : Ω R d são variáveis aleatórias, αx, XY e X + Y também são (aqui α R é qualquer número escolhido). Mostre ainda que se {X i } i N uma sequêencia de v.a. s tais que existe o limite lim i N X i (ω) para todo ω Ω, então a função também é variável aleatória. X(ω) lim i N X i (ω) 4.2 A distribuição de probabilidade e a σ-álgebra de X Seja X uma variável aleatória definida sobre (Ω, F, P) com valores em R d. Exercício 36 Defina P X : A B(R d ) P(X A) = P(X 1 (A)). Mostre que P X é uma medida de probabilidade sobre (R d, B(R d )). Definição 8 A medida P X é chamada a distribuição de probabilidade de X. Por abuso de notação, a função cumulativa de distribuição de P X será denotada por F X. Observação 4 O fato de que X 1 (A) F para todo A B(R d ) é exatamente o que torna P X uma probabilidade. O seguinte resultado é trivial, mas muito importante. Proposição 1 Qualquer medida µ de probabilidade sobre (R d, B(R d )) é a distribuição de probabilidade de alguma variável aleatória. Exercício 37 Prove esta proposição. Agora considere Y : Ω R d e defina: σ(y ) {Y 1 (A) : A B(R d )}. Definição 9 σ(y ) é a σ-álgebra gerada por Y. Exercício 38 Prove que σ(y ) é de fato uma σ-álgebra e que Y é variável aleatória se e somente se σ(y ) F. Exercício 39 Demonstre que σ(y ) = {, Ω} se e somente se Y é constante e que σ(y ) = {, A, A c, Ω} se e somente se Y = 1 A. 8

9 4.3 Distribuições de variáveis aleatórias com valores inteiros Seja (Ω, F) = (Z, P(Z)) e considere uma medida de probabilidade P sobre Z. Exercício 40 Seja p z P({z}). Mostre que z Z p z 0, p z = 1. z Z Prove que qualquer escolha de pesos p z com estas propriedades determina uma medida de probabilidade sobre (Z, P(Z)). (Tais pesos são ocasionalmente chamados de densidade discreta de P.) Observação 5 Uma construção semelhante vale quando Z é substituído por qualquer outro conjunto enumerável. Considere X : Z R dada por X(ω) = ω. Exercício 41 Prove que X é variável aleatória e que para todo z Z e z 1 < r z F X (r) = z z p z. Em outras palavras, r R, F X (r) = z Z p z 1 (z 1,z] (r). (1) z z Note que isto equivale a dizer que A B(R), P X (A) = P(X A) = z A Z p z. (2) Mostre a seguinte recíproca: se X é uma v.a. com valores em Z, existem pesos {p z } como acima tais que F X tem a forma dada em (1). Mais ainda, se construímos a medida P correspondente a estes pesos sobre Z e fazemos X : Z R, então a distribuição P X : A B(R) P X (A) = P(X A) = é igual à distribuição de X. z A Z Nos próximos exercícios, os pesos {p z } z Z são dados e você deve calcular e desenhar (na medida do possível) a F X correspondente. p z 9

10 Exercício 42 [Uma moeda.]p 0 = 1 p, p 1 = p e p z = 0 para qualquer outro z. (Aqui p é a probabilidade de dar cara. Esta distribuição é chamada Bernoulli com parâmetro p.) Exercício 43 (Um dado com seis faces igualmente prováveis.) p z = 1/6 se z {1,..., 6} e p z = 0 para qualquer outro z. Exercício 44 (A distribuição uniforme.) p z = 1/N se z S e p z = 0 para qualquer outro z. Aqui S Z é um conjunto dado com N > 0 elementos. Exercício 45 (Uma distribuição exponencial.) p z = 1/2 z+2 se z {±1, ±2, ±3,... } e p z = 1/2 para z = 0. Exercício 46 (Uma Gaussiana discreta.) p z = e z2 /2 /A, onde A w Z e w2 /2. Exercício 47 [Poisson.]p z = e λ λ z /z! para z 0 e p z = 0 para z < 0. Aqui λ > 0 é um parâmetro e a distribuição resultante é dita Poisson com parâmetro λ (simbolicamente P o λ ). Nos proóximos exercícios apresentaemos espaços de probabilidade (Ω, F, P) e variáveis aleatórias X : Ω R. Seu objetivo será provar que X(ω) Z para cada ω Ω e calcular a F X e os p z s correspondentes, seguindo a receita do Exercício 41. Exercício 48 (Ω, F, P) = (Z, P(Z), P) para alguma medida P. X : ω ω. (Este é o caso trivial discutido no início desta seção.) Exercício 49 (Ω, F) = (R, P(R)). P é a medida uniforme sobre [0, 1], dada por F P (r) = min{r, 1}1 [0,1] (r), ou equivalentemente, para a < b P([a, b]) = min{1, b} max{0, a}. X(ω) = 1 se ω 1 p e X(ω) = 0 em caso contrário. Exercício 50 (Ω, F) = (R, B(R)). P é a medida uniforme sobre [0, 1] (ver acima). Fixo um N natural, X : Ω R leva ω R ao maior inteiro z menor ou igual a Nω, isto é: X(ω) = z Z z1 [z,z+1) (Nω). (O resultado será p z = 1/N para z {0,..., N 1} e p z = 0 para qualquer outro z.) 10

11 4.4 Variáveis aleatórias com densidades Discutiremos agora variáveis aleatórias com valores reais com uma propriedade especial. Definição 10 Seja F X a função cumulativa de distribuição de uma variável aleatória com valores em R d. Dizemos que X tem densidade f X : R d [0, + ) se para todo (r 1,..., r d ) R d F X (r 1,..., r d ) = P(X (, r 1 ] (, r d ]) = r1 rd... f X (x 1,..., x d ) dx 1... dx d. Tanto a integral acima quanto a que consta da proposição abaixo têm de ser interpretadas no sentido de Teoria da Medida. Proposição 2 f X é a densidade de X se e somente se para todo A B(R d ) P X (A) = P(X A) =... f X (x 1,..., x d ) dx 1... dx d. Observação 6 Qualquer medida de prob. sobre R d é a distribuição de alguma v.a.. Usando isso, podemos dizer que f é a densidade de uma certa medida P quando ela é a densidade da v.a. correspondente. Note que duas v.a. s com a mesma distribuição têm a mesma densidade. Observação 7 No caso d = 1, se X tem densidade f X, então f X = F X em todos os pontos onde F X está definida e estes pontos têm medida total em R. Quando d > 1, as derivadas parciais de F X de ordem 1 existem e podem ser escritas em termos de integrais f X, com semelhantes observações sobre pontos de não diferenciabilidade. Observação 8 Qualquer densidade f : R d [0, + ) satisfaz... f(x 1,..., x d ) dx 1... dx d = 1. (3) R d Em contrapartida, qualquer função f : R d [0, + ) com a propriedade (3) é a densidade de alguma distribuição P. No entanto, nem toda variável aleatória tem densidade. De fato, as v.a. s com valores discretos da seção anterior não tem densidade e há exemplos muito mais exóticos. Exercício 51 Sejam (Ω, F) = (R, P(R)). P é a medida uniforme sobre [0, 1], dada por A F P (r) = min{r, 1}1 [0,1] (r), ou equivalentemente, para a < b P([a, b]) = min{1, b} max{0, a}. densidade f P (x) 1 [0,1] (x). Mostre que P tem 11

12 Exercício 52 Sejam (Ω, F) = (R, P(R)). P é a medida exponencial com parâmetro λ > 0 dada por F P (r) = (1 e λr )1 [0,+ ) (r). Mostre que P tem densidade f P (x) λe λx 1 [0,+ ] (x). Exercício 53 Uma variável aleatória X com valores em R tem densidade f X. Mostre que se α, β são reais e α > 0 então Y = αx + β tem densidade ( ) y β f Y : y R f X. α Exercício 54 Sejam (Ω, F) = (R, P(R)). P é a medida uniforme sobre [a, b] dada por min{r a, b a} F P (r) = 1 b a [a,b] (r). Seja X(ω) = ω e P X é a distribuição correspondente a (Ω, F, P) e X. Prove que Y (ω) = (X(ω) a)/(b a) tem distribuição uniforme sobre [0, 1]. Use este fato e o exercício acima para provar que f X (x) = 1 [a,b](x) b a. Exercício 55 Se λ 1, λ 2 > 0 e X é v.a. exponencial com parâmetro λ 1, então λ 2 X é v.a. exponencial com parâmetro λ 1 /λ 2. Exercício 56 Uma variável aleatória X com valores em R é dita normal (ou Gaussiana) com parâmetros (µ, σ 2 ), também representada por N(µ, σ 2 ) (onde σ > 0) se sua densidade é dada por (x µ) 2 f X (x) e 2σ 2 σ 2π. Se µ = 0 e σ = 1, X é dita normal (ou Gaussiana) padrão. Mostre que se X é N(µ, σ 2 ), então para qualquer α > 0, β R Y = αx + β é N(µ, σ ) 2 para outros valores µ, σ. Determine estes valores em termos de µ, σ, α e β. 4.5 Uma definição mais geral de variável aleatória Ocasionalmente investigaremos funções X : Ω Θ, onde Θ é um conjunto arbitrário. Se Θ é dotado de uma σ-álgebra G, então dizemos que X é F/G-mensurável (ou uma F/G-variável aleatória) quando para todo A G X 1 (A) F. Exercício 57 Mostre que a definição anterior corresponde ao caso em que (Θ, G) = (R d, B(R d )). Exercício 58 Prove que se P é uma medida de probabilidade sobre (Ω, F), P X é uma medida de prob. sobre (Θ, G), onde P X (A) = P(X A) = P(X 1 (A)) para cada A G. (Novamente a definição de v.a. é feita de modo que P X seja de fato uma medida.) 12

13 5 Independência 5.1 Definições básicas e sua equivalência Definição 11 Seja {X i } i A uma família (finita, enumerável ou não-enumerável) de v.a. s definidas sobre (Ω, F, P), cada uma com valores em R d i (i A). Dizemos que esta família é independente se para cada S A finito e não-vazio e para cada escolha de conjuntos A i R d i, i S, temos: P( {X i A i }) = P({X i A i }). i S i S Exercício 59 Generalize esta definição para v.a. s como na Seção 4.5, onde para cada i A tem-se que X i : Ω Θ i e X i é F/G i -v.a. para alguma σ-álgebra sobre Θ i. Definição 12 Seja {F i } i A uma família de σ-álgebras contidas em F, onde (Ω, F, P) é um espaço de probabilidade. Dizemos esta família é independente se para todo S A finito e toda escolha de A i F i (i S) temos: P( i S A i ) = i S P(A i ). Exercício 60 Mostre que {X i } i A é independente segundo a primeira definição se e somente se a família {σ(x i )} i A de σ-álgebras geradas por X i, i A é independente segundo a segunda definição. 5.2 Existência geral e caracterização em R d Aqui catalogamos dois resultados de teoria da medida. Teorema 2 Seja {(Ω i, F i, P i )} i A uma família de espaços de probabilidade. Então existe um espaço (Ω, F, P), chamado espaço produto, tal que 1. Ω = i A Ω i = {ω = (ω i ) i A : i A, ω i Ω i } é o produto cartesiano dos Ω i ; 2. Se Π i : ω Ω ω i Ω i é a projeção na i-ésima coordenada, F é a menor σ- álgebra a tornar todos os Π i s mensuráveis (em particular, cada Π i é uma F/F i -v.a. cf. Seção 4.5); 3. para todo S A finito e toda escolha de A i Ω i para i S, P( i S Π 1 i (A i )) = i S P i (A i ). 13

14 Exercício 61 Mostre que neste caso os Π i s são uma família independente. Prove a seguinte conseqüência: para qualquer família de variáveis aleatórias X 1 : Ω 1 R d 1,..., X n : Ω n R dn, existem variáveis aleatórias independentes Y 1,..., Y n definidas sobre um espaço comum Ω tais que para todo 1 i n Y i tem a distribuição de X i Considere agora variáveis aleatórias X i : Ω R, 1 i d. Podemos definir definir um vetor X : Ω R d como a concatenação dos X i s: X(ω) = (X 1 (ω),..., X d (ω)). Teorema 3 Os X i s formam uma família independente se e somente se F X (r 1,..., r d ) = d i=1 F X i (r i ) para todo (r 1,..., r d ) R d. Exercício 62 Prove a parte somente se deste teorema. Note que no caso em que cada X i tem uma densidade, a condição acima equivale a pedir que f X (r 1,..., r d ) = d i=1 f X i (r i ). Exercício 63 Formule (sem provar) um análogo dele para quando X i : Ω R d i, com d i Soma de variáveis aleatórias independentes: caso discreto Seja (Ω, F) = (Z 2, P(Z 2 )). Como Z 2 é enumerável, podemos definir uma uma medida de probabilidade sobre Z 2 especificando pesos p (z1,z 2 ) 0 para cada (z 1, z 2 ) Z 2, com (z 1,z 2 ) Z 2 p (z 1,z 2 ) = 1 (cf. Seção 4.3). Para cada ω = (ω 1, ω 2 ) Z 2, defina X i (ω) = ω i ; X 1 e X 2 são v.a. s. Exercício 64 Mostre que para quaisquer X 1, X 2 como acima, S = X 1 + X 2 é v.a. e que P(S = z) = p z1,z z 1. z 1 Z Exercício 65 Prove que X 1 e X 2 são independentes se e somente se p (z1,z 2 ) = p (1) z 1 p (2) z 2 para todo (z 1, z 2 ) Z 2, onde cada {p (i) z } z Z corresponde a uma probabilidade sobre Z. Exercício 66 Demonstre que se X 1 e X 2 são independentes, P S é dada pelos seguintes pesos: q z = p (1) z p (2) z z 1 = p (1) z z 2 p (2) z 2 (z Z). (4) z 1 Z Definição 13 A fórmula (4) define a convolução discreta das distribuições de X 1 e X 2. z 2 Z 14

15 Exercício 67 Prove que se {X i : Ω R} n i=1 é uma família de n v.a. s independentes com valores em Z e cada X i tem distribuição dada pelos pesos {p (i) z } z Z, então a distribuição da soma soma S n = X X n tem pesos {q z (n) } z Z dados por uma convolução iterada: q (n) z = p (1) z p (2) z 2 z 1,...,z n Z : z 1 + +z n=z 5.4 Funções geradoras de momentos... p (n) z n. Tratamos agora do caso de variáveis aleatórias com valores inteiros não-negativos. Isto é, X 1,..., X n satisfazem P(X i < 0) = 0. Usamos a mesma notação de pesos e somas S n = X X n da seção anterior. Definição 14 Se X toma valores em {0, 1, 2, 3,... }, a função geradora de momentos de X e definida como G X : x ( 1, 1) G X (x) + z=1 P(X = z)x z R. Exercício 68 Mostre que a série definindo G X converge absolutamente para x ( 1, 1) e que G X = G Y se e somente se X e Y têm a mesma distribuição. Exercício 69 Prove que G Sn (x) = n i=1 G X i (x) para todo x ( 1, 1). Aplicaremos este resultado em dois casos específicos muito importantes. Exercício 70 Recorde a definição de uma v.a. Bernoulli com parâmetro p do Exercício 42. Prove que se X 1,..., X n são independentes e deste tipo, G Xi (x) = (1 p) + px, G Sn (x) = ((1 p) + px) n e portanto S n tem distribuição binomial com parâmetros N, p (Bin(N, p)), cujos pesos são dados por: q (N) z = ( ) N p z (1 p) N z se z 0 e 0 se z < 0. z Exercício 71 Recorde a definição de uma v.a. poisson com parâmetro λ do Exercício 47. Prove que se X 1 é P o λi para cada i, G Xi (x) = e λi(x 1), G Sn (x) = e ( n i=1 λi)(x 1) e portanto S n tem distribuição Poisson P o n i=1 λ. i Exercício 72 Você sabe provar estes resultados a partir das fórmulas da seção anterior? 15