Lucas Santana da Cunha de junho de 2018 Londrina

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1 Variável aleatória contínua: Lucas Santana da Cunha de junho de 2018 Londrina 1 / 26

2 Esperança e variância de Y Função de distribuição acumulada Variável aleatória contínua (v.a.c.) Uma função Y definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo valores num intervalo de números reais, é denominada variável aleatória contínua (v.a.c.). Exemplos altura de adultos peso de animais; temperatura mínima diária; saldo de aplicações financeiras; ganho de peso após dieta. 2 / 26

3 Esperança e variância de Y Função de distribuição acumulada As probabilidades referentes a variáveis contínuas são associadas a intervalos ou regiões de um espaço amostral, e não a pontos individuais. Exemplos 1) Podemos querer saber a probabilidade de que, num dado momento, um carro esteja correndo a uma velocidade entre 80 e 85 km/h, e não que esteja correndo a exatamente 27π = 84, km/h. 2) Podemos querer saber se um pacote de alimento congelado pesa pelo menos 195 g e não que pese exatamente 38, 5 = 196, g. 3 / 26

4 Esperança e variância de Y Função de distribuição acumulada O comportamento probabiĺıstico de uma variável aleatória contínua será descrito pela sua função densidade de probabilidade (f.d.p.). Definição A f.d.p. de uma variável aleatória Y é uma função f (y) que satisfaz as seguintes propriedades: f (y) 0; A área total sob o gráfico de f (y) é igual a 1 ou seja: + f (y)dy = 1. 4 / 26

5 Cálculo da probabilidade Esperança e variância de Y Função de distribuição acumulada A probabilidade P(a Y b) corresponde à área sob a curva no intervalo [a, b]. Em termos matemáticos P(a Y b) = b a f (y)dy, ou seja, a área limitada pela função f (y), eixo Y e pelas retas Y = a e Y = b. 5 / 26

6 Esperança e variância de Y Função de distribuição acumulada Exemplo 1 Seja f (y) = y 8 uma f.d.p. de uma variável aleatória Y definida sobre o intervalo de y = 0 a y = 4. Encontre as probabilidades a) P(0 Y 2); b) P(0 Y < 2). 6 / 26

7 Esperança e variância de Y Função de distribuição acumulada Exemplo 1 Seja f (y) = y 8 uma f.d.p. de uma variável aleatória Y definida sobre o intervalo de y = 0 a y = 4. Encontre as probabilidades a) P(0 Y 2); b) P(0 Y < 2). Esse exemplo ilustra o fato importante de que, no caso contínuo, a probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor específico é zero. Assim, será admitido que P(a < Y < b) = P(a Y < b) = P(a < Y b) = P(a Y b). 6 / 26

8 Esperança e variância Esperança e variância de Y Função de distribuição acumulada Definição A esperança matemática (ou valor médio) e a variância de uma variável aleatória contínua Y, são dadas, respectivamente, por: µ(y ) = E(Y ) = + yf (y)dy σ 2 Y = V (Y ) = E(Y 2 ) [E(Y )] 2 em que E(Y 2 ) = + y 2 f (y)dy 7 / 26

9 Esperança e variância de Y Função de distribuição acumulada Função de distribuição acumulada F(y) Definição Se Y é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f (y) define-se a sua função de distribuição acumulada F (y) como: F (y) = P(Y y) = y f (t)dt. Se a e b forem dois números reais quaisquer, tem-se que: P(a < Y < b) = F (b) F (a). 8 / 26

10 Esperança e variância de Y Função de distribuição acumulada 9 / 26

11 Variável aleatória contínua Normal Reduzida Dentre todas as distribuições de probabilidades, sejam discretas ou contínuas, a mais estudada e utilizada é a distribuição normal. As principais razões que fazem a distribuição normal o modelo mais importante na estatística são: Muitas variáveis biométricas tendem a ter distribuição Normal A distribuição das médias amostrais de uma variável qualquer tendem a ter distribuição Normal, mesmo que a variável em si não tenha distribuição Normal; Muitos testes e modelos estatísticos têm como pressuposição a normalidade dos dados, isto é, que os dados possuem distribuição Normal. 10 / 26

12 Normal Reduzida Definição A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua Y, seguindo uma distribuição normal, é dada por: em que: f (y) = 1 σ 2π e 1 2( y µ σ ) 2, < y <, µ R, é a posição central da distribuição (média); σ > 0, é a dispersão da distribuição (desvio padrão). Notação: Y N(µ; σ). 11 / 26

13 Normal Reduzida Figura 1: Gráficos da distribuição normal. 12 / 26

14 Propriedades Variável aleatória contínua Normal Reduzida As principais características dessa função são: A função gera um gráfico em forma de sino, sendo unimodal e simétrica; A média (µ) controla a localização do centro da distribuição (é o ponto de simetria) e o desvio padrão (σ) controla a dispersão da curva ao redor da média; O ponto de máximo de f (y) é o ponto Y = µ; Não possui limite inferior ou superior; 13 / 26

15 Normal Reduzida O desvio padrão define unidades padrões na distribuição a partir da média: Figura 2: Áreas sob a curva normal. 14 / 26

16 Cálculo da probabilidade Normal Reduzida Para se calcular a probabilidade da variável aleatória Y assumir valores entre a e b basta calcular a área compreendida entre estes intervalos P[a Y b] = b a 1 σ 2π e 1 2( y µ σ ) 2 dy 15 / 26

17 Normal Reduzida O cálculo direto de probabilidades envolvendo a distribuição normal exige recursos do cálculo avançado e, mesmo assim, dada a forma da função densidade, não é um processo muito elementar. Uma alternativa seria tabelar valores aproximados, permitindonos obter diretamente o valor da probabilidade desejada. Note-se, entretanto, que a função densidade da normal depende de dois parâmetros, µ e σ, de modo que se as probabilidades fossem tabeladas para todas as possíveis combinações teríamos infinitas tabelas. 16 / 26

18 Variável aleatória contínua Normal Reduzida Devido as dificuldades de cálculo e em se construir tabelas da função dependendo de dois parâmetros, recorre-se a uma mudança de variável, transformando a variável aleatória Y na variável aleatória Z. Essa nova variável chama-se variável normal reduzida ou normal padrão. Denomina-se distribuição normal padrão, a distribuição normal de média zero e variância 1. As probabilidades associadas a distribuição normal reduzida são facilmente obtidas em tabelas. 17 / 26

19 Normal Reduzida Padronização Definição Obtém-se uma escala de distribuição denominada escala reduzida, escala Z ou escore Z, que mede o afastamento das variáveis em relação à média em número de desvios-padrão. Assim, Z = Y µ σ Logo, tem-se que a f.d.p da normal padrão é f (z) = 1 2π e 1 2 z2, < z <, Notação: Z N(0; 1). 18 / 26

20 Tabela Variável aleatória contínua Normal Reduzida 19 / 26

21 Normal Reduzida Exemplo 2 Seja Z N(0; 1). Usando a tabela da distribuição normal padrão, calcular: a) P(0 < Z < 1, 57); b) P(0 < Z < 1, 08); c) P( 1, 89 < Z < 0); d) P( 0, 58 < Z < 0); e) P(1, 25 < Z < 2, 23); 20 / 26

22 Normal Reduzida Exemplo 3 Seja Y N(4; 1). Determine: a) P(Y 4); b) P(4 < Y < 5); c) P(2 < Y < 5); 21 / 26

23 Normal Reduzida Exemplo 4 Sabendo-se Z N(0; 1), obter z tal que: a) P(0 < Z < z) = 0, 475; b) P( z < Z < 0) = 0, 49492; c) P( z < Z < z) = 0, 97; d) P(Z < z) = 0, 30234; e) P(Z > z) = 0, 07493; f) P(Z < z) = 0, / 26

24 Variável aleatória contínua Exercício 1 Seja Y uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por: 0, y 0; f (y) = 2y, 0 y 1; 0, y > 1. a) Fazer o gráfico de f (y); c) Calcular P(0 < Y < 0, 75); d) Calcular a média e o desvio padrão de Y. 23 / 26

25 Exercício 2 Seja Z N(0; 1). Usando a tabela da distribuição normal padrão, calcular: a) P( 1, 23 < Z < 1, 05); b) P( 0, 85 < Z < 1, 92); c) P( 2, 22 < Z < 1, 35); d) P( 1, 93 < Z < 0, 80); e) P(0, 52 < Z < 1, 23); f) P(Z > 1, 27). 24 / 26

26 Exercício 3 Seja Z N(5; 2). Determine: a) P(5 < Y < 7); b) P(Y 1); c) P(0 Y 2); 25 / 26

27 Exercício 4 Sabendo-se Z N(0; 1), obter z tal que: a) P(0 < Z < z) = 0, 43699; b) P( z < Z < 0) = 0, 35314; c) P( z < Z < z) = 0, 95; d) P(Z < z) = 0, 82121; e) P(Z > z) = 0, 95254; f) P(Z < z) = 0, 36693; 26 / 26

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