Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 08

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1 Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais Aula 08 Universidade Federal do Espírito Santo - Departamento de Informática - DI Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia - LPRM

2 Teoria das Filas Aula passada Revisão de probabilidade Eventos e probabilidade Independência Prob. condicional Regra de Bayes Aula de hoje Variáveis aleatórias discretas e contínuas PMF, CDF e função densidade Exemplos de v. a. Esperança, Variância 2

3 Variáveis Aleatórias Necessidade de expressar eventos de forma precisa Interesse não no resultado aleatório, mas numa função do resultado Idéia: Mapear eventos em números reais! 3

4 Exemplo de 1 Dado Considere um dado, ganha 10 se o resultado for 6, zero se o resultado for 4 ou 5, e perde 5 se o resultado for 1, 2 ou 3 4

5 Definição de Variável Aleatória Uma variável aleatória X é uma função sobre um espaço amostral S que associa um número real a cada elemento de S X : S R V.A. é uma função (e não uma variável) imagem de X é o espaço amostral (discreto ou contínuo) função não precisa ser bijetora (um para um)

6 Exemplo de dois dados Considere dois dados (vermelho e preto) Espaço amostral: S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),... } Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados X (i, j)=i + j Inversa de X eventos que levam a um certo valor de X X = 4 : {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

7 Função de probabilidade de massa Associar probabilidade a valores de uma v.a. Seja X uma v.a. (discreta) Qual a probabilidade de X = x? Conjunto de eventos elementares que são mapeados no valor x px ( x )=P[ X =x ] (notação de pmf - probability mass function)

8 Exemplo de VA discreta Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados Defina a pmf de X px (x)=p[ X =x ] Qual é o domínio de X (valores que X pode assumir)? px (2 )=P[ X =2 ] = 1/36 -> X=2 : {(1,1)} px ( 3 )=P [ X =3 ] = 2/36 -> X=3 : {(1,2), (2,1)} px ( 4 )=P [ X =4 ] = 3/36 -> X=4 : {(1,3), (2,2), (3,1)}...

9 PMF de V.A. discreta

10 Função de distribuição cumulativa (cdf) Probabilidade cumulativa (ao invés de pontual) Dada a v.a. X, temos F X ( x)=p[ X <= x ] notação da cdf (cumulative distribution function) FX (x) é não decrescente Limite quando x tende a infinito é 1

11 Função de probabilidade de massa Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados Defina a cdf de X, F X ( x)=p[ X <= x ] F X ( 2) = P [ X <= 2 ]= 1/36 F X ( 3) = P [ X <= 3 ]= 3/36 F X ( 4) = P [ X <= 4 ]= 6/36

12 CDF de V.A. discreta

13 Variável Aleatória Contínua Aplica-se quando espaço amostral não é contável Mesma idéia da v.a. discreta mapear o espaço amostral nos números reais X :S -> R Exemplo de experimento aleatório: tempo até uma lâmpada queimar, tempo até um componente falhar X é uma v.a. que indica exatamente este tempo

14 Variável Aleatória Contínua unção de probabilidade de massa não faz sentido a probabilidade de um elemento do espaço amostral é zero unção de distribuição cumulativa faz sentido a probabilidade de uma região do espaço mapeado ex. prob. da lâmpada queimar em menos de 1 dia F X ( x)=p[ X <= x ]

15 Função densidade de probabilidade Aplicada a V.A. contínuas Define probabilidade da v.a. através de integrais Relação com a função cumulativa (cdf)

16 Função densidade de probabilidade

17 Variável aleatória contínua Função densidade de probabilidade - A área sob a curva é igual a 1 - A probabilidade de X estar dentro de um intervalo [a,b] é a área delimitada abaixo f(x) Prob{a X b } Área = 1 0 a b x

18 Distribuições Importantes V.A. discretas V.A. contínuas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Uniforme Exponencial Normal

19 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha, par ou ímpar, v.a. binária (evento 0 ou evento 1) Parâmetro p, ocorrência de um dos eventos pmf

20 Geométrica Sequência de eventos de Bernoulli até que ocorra um sucesso Parâmetros p: prob. de ocorrência do evento (sucesso) N: número de experimentos

21 Binomial Contagem de eventos de Bernoulli independentes Número de sucessos k dado N repetições de experimentos independentes Dois parâmetros p: prob. de ocorrência do evento (sucesso) N: número de experimentos

22 Poisson Número de eventos que ocorrem em um determinado intervalo de tempo Parâmetros t: intervalo de tempo λ : taxa média de ocorrência de eventos por unidade de tempo P( X = k ) = e λt ( k! λ t) k

23 Uniforme Valores podem ocorrer com a mesma probabilidade Parâmetros [a, b] : intervalo onde v.a. pode ocorrer x a: Onde ocorre o evento (em relação ao começo do intervalo) Cdf ->

24 Exponencial Tempo até que um evento ocorra Relacionada com Poisson (tempo entre eventos) Parâmetros λ : taxa média de ocorrência de eventos CDF -> PDF ->

25 Exponencial para diferentes valores de λ

26 Normal ou Gaussiana Distribuição fundamental em estatística resultado do teorema do limite central Aplicada a muitos fenômenos físicos Parâmetros u: média s: desvio padrão Normal padrão (média 0, desvio padrão 1) Não possui forma fechada (consultar tabela)

27 Possui forma de sino Densidade Normal e é simétrica Média, mediana e f(x) moda são iguais Variável aleatória que σ σ X pode assumir Média qualquer valor na 1 f (X) reta (R). 2π σ exp (X µ ) = 2 2σ 2 2 Mediana Moda

28 Valor Esperado, Média, Esperança Valor Esperado de uma Variável Aleatória Discreta Valor Esperado de uma Variável Aleatória contínua

29 Variância Variável aleatória discreta ou contínua Segundo momento v.a. contínua

30 Propriedades da Média Lineariedade Produto se X e Y são independentes

31 Propriedades da Variância Soma da variância de duas VA independentes Se X e Y não são independentes