Probabilidade e Modelos Probabilísticos

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Probabilidade e Modelos Probabilísticos"

Transcrição

1 Probabilidade e Modelos Probabilísticos 2ª Parte: modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas, modelo uniforme, modelo exponencial, modelo normal 1

2 Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades, ou modelo probabilístico de uma variável aleatória: quais são os resultados possíveis; qual é a probabilidade de cada resultado acontecer. Variável discreta: pares valores probab. Variável contínua: função densidade de probabilidades 2

3 Exemplo 1 Construir a distribuição de probabilidades para o ângulo () obtido neste experimento. 3

4 f(x) X = variável aleatória que indica o ângulo formado Área = 1 0 o 360 o x 4

5 Exemplo 1 Qual é a probabilidade de obter um ângulo entre 30 o e 60 o? f(x) P(30 o < X < 60 o ) = área = 0, o 360 o x 5

6 Variável aleatória contínua Valor esperado e variância E ( X ) xf ( x) dx 2 V ( X ) ( x ) f ( x) dx 2 ou 2 ) V( X ) E( X 2 onde: 2 E ( X ) x f ( x) dx 2 6

7 Distribuição Uniforme 1 f(x) f(x) = 1 x 7

8 f(x) Distribuição Uniforme a b x P(a < X < b) = b - a E( X ) Var( X )

9 Distribuição Exponencial Intervalo de tempo entre ocorrências Variável aleatória X de Poisson tem média de ocorrências em um intervalo de tempo, então o intervalo de tempo T entre ocorrências segue uma distribuição exponencial e tem média de 1/. Em média chegam 2 pessoas/min em uma fila, o tempo médio entre a chegada de pessoas à fila é 0,5 minuto. Em média atendem-se 10 pedidos de suprimentos/dia, o tempo médio de atendimento de um pedido é 0,1 dia. 9

10 Distribuição Exponencial f(t) = e -t, t > 0 - parâmetro da distribuição ( > 0 10

11 Distribuição Exponencial f(t) f(t) = e - t, t > 0 E( T ) Var( T ) P(T > t 0 ) = e - t 0 t 0 t 11

12 Justificativa para a fórmula da exponencial 0 t A primeira ocorrência ser depois do tempo t Nenhuma ocorrência em [0, t] T > t X t = 0 T = tempo até a próxima ocorrência (distrib. exponencial) X t = núm. de ocorrências até t (distrib. de Poisson) P( T ( k t) e P( X t k) k! > t) P( X 0) e t t t (distrib. exponencial) 12

13 Exercício 1 O setor de manutenção de uma empresa fez um levantamento das falhas de um importante equipamento, constatando que há, em média, 0,75 falha por ano e que o tempo entre falhas segue uma distribuição exponencial. Qual é a probabilidade do equipamento não falhar no próximo ano? 13

14 Resposta = 0,75 P(T > t) = e - t P(T > 1) = e -(0)1 = 0,4724 ou 47,24% 14

15 Exercício 2 A vida útil de um certo componente eletrônico é, em média, horas e apresenta distribuição exponencial. Qual é a percentagem esperada de componentes que apresentarão falhas em menos de horas? 15

16 Resposta = 1 / = 0,0001 P(T < t) = 1 - e - t P(T < ) = 1 - e -(0,0001)(10000) = = 1-0,3679 = = 0,6321 ou 63,21% 16

17 Exercício 2 cont. A vida útil de um certo componente eletrônico é, em média, horas e apresenta distribuição exponencial. Após quantas horas se espera que 25% dos componentes tenham falhado? 17

18 Resposta = 1 / = 0,0001 P(T > t) = e - t P(T > t) = e -(0,0001) t = 1-0,25 = 0,75 -(0,0001) t = ln(0,75) t = 2.876,82 horas 18

19 Exemplo 2 (Distribuição normal) Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X a sua altura, em centímetros. Apresenta-se, a seguir, uma possível distribuição de probabilidades para este caso. f(x) x altura (em cm.) 19

20 Exemplo 2 Representar: o evento estudante selecionado tem 180 cm ou mais (X 180) e sua probabilidade, P(X 180) f(x) P(X 180) x altura (em cm.) X

21 Distribuição Normal f(x) f ( x) x 1 e 2 1 x ( ) 2 : média : desvio padrão 2 21

22 Características Área abaixo da curva é igual a 1 (100% de probabilidade). A variável aleatória pode assumir valores de - a +. Área = 1 x 22

23 Características Identificada pela média ( e pelo desvio padrão (. x 23

24 Média e Desvio Padrão mesmo e diferentes µ 1 2 x 24

25 Média e Desvio Padrão mesmo e diferentes = 2 = 4 X 25

26 Características Simetria em relação à média. 50% x 26

27 Exemplo área = 68,3%

28 Exemplo área = 95,4%

29 Exemplo área = 99,7%

30 Normal Padronizada z = x - z - variável normal padronizada x - variável normal - média - desvio padrão 30

31 Normal Padronizada x z 31

32 Exemplo 3 Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admita que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm. Qual é o escore padronizado de um estudante com 190 cm? x = 190. z = x - = = = 2 32

33 Exemplo 3 10 = x 0 2 z 33

34 Exemplo 3 P(X<190) = P(Z<2) x 0 2 z 34

35 Exemplo 3 10 = x z 35

36 Exercício 3: uso da tabela Com base na tabela da normal padronizada, calcular: a) P(Z > 1) 0,1587 (tabela) 0 +1 z 36

37 Exercício 4 Com base na tabela da normal padronizada, calcular: b) P(Z > 1,23) 0,1093 (tabela) 0 1,23 z 37

38 Exercício 5 c) P(-2 < Z < 2) 0,0228 (tabela) z P(-2 < Z < 2) = 1-2.(0,0228) = 0,

39 Exercício 6 Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admitindo que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm, qual é a probabilidade do estudante sorteado ter altura superior a 185 cm? 39

40 Exercício 6: resposta x = 185 cm z? ( z = x - = = = 1,5 40

41 Exercício 6: resposta P(Z > 1,5) 0,0668 (tabela) 0 1,5 z 41

42 Aproximação da binomial pela normal Considere que um aluno irá fazer um teste de Estatística. Pelo que estudou ele tem 50% de probabilidade de responder corretamente uma questão. Se o teste tem 10 perguntas, seja X o número de respostas corretas. 42

43 Exemplo 4 Distribuição binomial: n=10 p=0,5 P(X) 0,205 0,246 0,205 0,117 0,117 0,044 0,001 0,01 0,044 0,01 0, número de respostas corretas (X) 43

44 Exemplo 4 Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 corretas? P(X>6)=P(7)+P(8)+P(9)+P(10)=0,117+0,044+0,010+0,001=0,172 0,205 0,246 0,205 P(X>6) = 0,172 0,117 0,117 0,044 0,001 0,01 0,044 0,01 0,

45 Aproximação da Binomial pela Normal Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma normal com média np e variância np(1- p) x 45

46 Exemplo 4 (de novo) Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 respostas afirmativas? (usando a normal) P(X>6,5) x 46

47 Exemplo 4 (de novo) P(X>6,5) 5 6,5 x 47

48 Exemplo 4 (de novo) = 5 = 1, x = 6,5 x - 6,5-5 z = = = 0,95 1, ,95 0,1711 Lembrando: a probabilidade. Exata (pela binomial) era de 0,1720 z 48

Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos. Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal

Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos. Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória:

Leia mais

Métodos Estatísticos

Métodos Estatísticos Métodos Estatísticos 5 - Distribuição Normal Referencia: Estatística Aplicada às Ciências Sociais, Cap. 7 Pedro Alberto Barbetta. Ed. UFSC, 5ª Edição, 2002. Distribuição de Probabilidades A distribuição

Leia mais

Cap. 8 Distribuições contínuas e modelo normal

Cap. 8 Distribuições contínuas e modelo normal Estatística Aplicada às Ciências Sociais Seta Edição Pedro Alberto Barbetta Florianópolis: Editora da UFSC, 2006 Cap. 8 Distribuições contínuas e modelo normal Variável aleatória discreta variável aleatória

Leia mais

ESTATÍSTICA. x(s) W Domínio. Contradomínio

ESTATÍSTICA. x(s) W Domínio. Contradomínio Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias são funções matemáticas que associam números reais aos resultados de um Espaço Amostral. Uma variável quantitativa geralmente agrega mais informação que uma qualitativa.

Leia mais

Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 09

Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 09 Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais Aula 09 Universidade Federal do Espírito Santo - Departamento de Informática - DI Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia - LPRM Teoria das Filas

Leia mais

Tiago Viana Flor de Santana

Tiago Viana Flor de Santana ESTATÍSTICA BÁSICA DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE (MODELO NORMAL) Tiago Viana Flor de Santana www.uel.br/pessoal/tiagodesantana/ tiagodesantana@uel.br sala 07 Curso: MATEMÁTICA Universidade Estadual

Leia mais

Estatística e Probabilidade Aula 06 Distribuições de Probabilidades. Prof. Gabriel Bádue

Estatística e Probabilidade Aula 06 Distribuições de Probabilidades. Prof. Gabriel Bádue Estatística e Probabilidade Aula 06 Distribuições de Probabilidades Prof. Gabriel Bádue Teoria A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável a ocorrências de um evento

Leia mais

Modelos de Distribuição PARA COMPUTAÇÃO

Modelos de Distribuição PARA COMPUTAÇÃO Modelos de Distribuição MONITORIA DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE PARA COMPUTAÇÃO Distribuições Discretas Bernoulli Binomial Geométrica Hipergeométrica Poisson ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE PARA COMPUTAÇÃO

Leia mais

Distribuições de Probabilidade

Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade 7 6 5 4 3 2 1 0 Normal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Exemplos: Temperatura do ar 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Assimetrica Positiva 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Exemplos: Precipitação

Leia mais

Capítulo 3. Introdução à Probabilidade E à Inferência Estatística

Capítulo 3. Introdução à Probabilidade E à Inferência Estatística Capítulo 3 Introdução à Probabilidade E à Inferência Estatística definições e propriedades: Propriedade 5: A probabilidade condicional reflete como a probabilidade de um evento pode mudar se soubermos

Leia mais

Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 08

Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 08 Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais Aula 08 Universidade Federal do Espírito Santo - Departamento de Informática - DI Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia - LPRM Teoria das Filas

Leia mais

1 Introdução. 2 Variáveis Aleatórias Discretas (VAD)

1 Introdução. 2 Variáveis Aleatórias Discretas (VAD) Prof. Janete Pereira Amador 1 1 Introdução Muitas situações cotidianas podem ser usadas como experimento que dão resultados correspondentes a algum valor, e tais situações podem ser descritas por uma variável

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades - parte IV 2012/02 1 Distribuição Poisson Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Ententer suposições para cada uma das

Leia mais

Métodos Quantitativos para a Gestão Ambiental Probabilidades e Distribuições Estatísticas Parte 1 (4/13) Luiz Carlos Estraviz Rodriguez

Métodos Quantitativos para a Gestão Ambiental Probabilidades e Distribuições Estatísticas Parte 1 (4/13) Luiz Carlos Estraviz Rodriguez Métodos Quantitativos para a Gestão Ambiental Probabilidades e Distribuições Estatísticas Parte 1 (4/13) Luiz Carlos Estraviz Rodriguez Distribuição de probabilidades Contexto O porquê desta aula Ao desenvolvermos

Leia mais

PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES

PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES Certas distribuições de probabilidades se encaixam em diversas situações práticas As principais são: se v.a. discreta Distribuição de Bernoulli Distribuição binomial

Leia mais

Estatística I Aula 8. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

Estatística I Aula 8. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc. Estatística I Aula 8 Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc. MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Lembram o que vimos sobre V.A. contínua na Aula 6? Definição: uma variável

Leia mais

ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE

ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE 4. 1 INTRODUÇÃO Serão apresentadas aqui algumas distribuições de probabilidade associadas a v.a. s contínuas. A mais importante delas é a distribuição Normal

Leia mais

Distribuições Contínuas de Probabilidade

Distribuições Contínuas de Probabilidade Distribuições Contínuas de Probabilidade Uma variável aleatória contínua é uma função definida sobre o espaço amostral, que associa valores em um intervalo de números reais. Exemplos: Espessura de um item

Leia mais

Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística Aula 6 Distribuições Contínuas (Parte 02) Leitura obrigatória: Devore, Capítulo 4 Chap 6-1 Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE DISCRETAS

DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 1 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Muitas situações cotidianas podem ser usadas como experimento que dão resultados correspondentes a algum valor, e tais situações

Leia mais

Teorema do Limite Central

Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Bacharelado em Economia - FEA - Noturno 1 o Semestre 2014 MAE0219 (IME-USP) Teorema do Limite Central 1 o Semestre 2014 1 / 47 Objetivos da Aula Sumário 1 Objetivos da Aula 2

Leia mais

Bioestatística e Computação I

Bioestatística e Computação I Bioestatística e Computação I Distribuições Teóricas de Probabilidade Maria Virginia P Dutra Eloane G Ramos Vania Matos Fonseca Pós Graduação em Saúde da Mulher e da Criança IFF FIOCRUZ Baseado nas aulas

Leia mais

Variável Aleatória Contínua:

Variável Aleatória Contínua: Distribuição Contínua Normal Luiz Medeiros de Araujo Lima Filho Departamento de Estatística UFPB Variável Aleatória Contínua: Assume valores num intervalo de números reais. Não é possível listar, individualmente,

Leia mais

Sumário. 2 Índice Remissivo 11

Sumário. 2 Índice Remissivo 11 i Sumário 1 Principais Distribuições Contínuas 1 1.1 Distribuição Uniforme................................. 1 1.2 A Distribuição Normal................................. 2 1.2.1 Padronização e Tabulação

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Distribuição Normal Motivação: Distribuição

Leia mais

Aproximação da binomial pela normal

Aproximação da binomial pela normal Aproximação da binomial pela normal 1 Objetivo Verificar como a distribuição normal pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades associadas a uma variável aleatória com distribuição

Leia mais

Simulação com Modelos Teóricos de Probabilidade

Simulação com Modelos Teóricos de Probabilidade Simulação com Modelos Teóricos de Probabilidade p. 1/21 Algumas distribuições teóricas apresentam certas características que permitem uma descrição correta de variáveis muito comuns em processos de simulação.

Leia mais

1 Distribuições Discretas de Probabilidade

1 Distribuições Discretas de Probabilidade 1 Distribuições Discretas de Probabilidade A distribuição discreta descreve quantidades aleatórias (dados de interesse) que podem assumir valores particulares e os valores são finitos. Por exemplo, uma

Leia mais

Professora Ana Hermínia Andrade. Período

Professora Ana Hermínia Andrade. Período Distribuições de probabilidade Professora Ana Hermínia Andrade Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise Período 2016.2 Modelos de distribuição Para

Leia mais

Lucas Santana da Cunha 12 de julho de 2017

Lucas Santana da Cunha   12 de julho de 2017 DISTRIBUIÇÃO NORMAL Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 12 de julho de 2017 Distribuição Normal Dentre todas as distribuições de probabilidades,

Leia mais

PEDRO A. BARBETTA Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.

PEDRO A. BARBETTA Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006. Como usar modelos de probabilidade para entender melhor os fenômenos aleatórios Capítulos 7 e 8. Estatística Aplicada às Ciências Sociais Sexta Edição Pedro Alberto Barbetta Florianópolis: Editora da UFSC,

Leia mais

Lucas Santana da Cunha de junho de 2018 Londrina

Lucas Santana da Cunha de junho de 2018 Londrina Distribuição Normal Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 25 de junho de 2018 Londrina 1 / 17 Distribuição Normal Dentre todas as distribuições de probabilidades,

Leia mais

Avaliação e Desempenho Aula 5

Avaliação e Desempenho Aula 5 Avaliação e Desempenho Aula 5 Aula passada Revisão de probabilidade Eventos e probabilidade Independência Prob. condicional Aula de hoje Variáveis aleatórias discretas e contínuas PMF, CDF e função densidade

Leia mais

Aula de hoje. administração. São Paulo: Ática, 2007, Cap. 3. ! Tópicos. ! Referências. ! Distribuição de probabilidades! Variáveis aleatórias

Aula de hoje. administração. São Paulo: Ática, 2007, Cap. 3. ! Tópicos. ! Referências. ! Distribuição de probabilidades! Variáveis aleatórias Aula de hoje! Tópicos! Distribuição de probabilidades! Variáveis aleatórias! Variáveis discretas! Variáveis contínuas! Distribuição binomial! Distribuição normal! Referências! Barrow, M. Estatística para

Leia mais

Capítulo 5 Distribuições de Probabilidades. Seção 5-1 Visão Geral. Visão Geral. distribuições de probabilidades discretas

Capítulo 5 Distribuições de Probabilidades. Seção 5-1 Visão Geral. Visão Geral. distribuições de probabilidades discretas Capítulo 5 Distribuições de Probabilidades 5-1 Visão Geral 5-2 Variáveis Aleatórias 5-3 Distribuição de Probabilidade Binomial 5-4 Média, Variância e Desvio Padrão da Distribuição Binomial 5-5 A Distribuição

Leia mais

Distribuições de Probabilidade

Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade 1 Aspectos Gerais 2 Variáveis Aleatórias 3 Distribuições de Probabilidade Binomiais 4 Média e Variância da Distribuição Binomial 5 Distribuição de Poisson 1 1 Aspectos Gerais

Leia mais

Estatística Aplicada

Estatística Aplicada Estatística Aplicada Variável Aleatória Contínua e Distribuição Contínua da Probabilidade Professor Lucas Schmidt www.acasadoconcurseiro.com.br Estatística Aplicada DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE

Leia mais

Aproximação da binomial pela normal

Aproximação da binomial pela normal Aproximação da binomial pela normal 1 Objetivo Verificar como a distribuição normal pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades associadas a uma variável aleatória com distribuição

Leia mais

4ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012. Variáveis Aleatórias Contínuas, Aproximações e TLC

4ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012. Variáveis Aleatórias Contínuas, Aproximações e TLC 4ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012 Variáveis Aleatórias Contínuas, Aproximações e TLC Assunto: Função Densidade de Probabilidade Prof. Mariana Pereira de Melo 1. Suponha que f(x) = x/8 para 3

Leia mais

Estatística e Probabilidade Aula 05 Distribuições de Probabilidades. Prof. Gabriel Bádue

Estatística e Probabilidade Aula 05 Distribuições de Probabilidades. Prof. Gabriel Bádue Estatística e Probabilidade Aula 05 Distribuições de Probabilidades Prof. Gabriel Bádue Motivação Quais os possíveis resultados que poderão ser obtidos no lançamento de um dado não-viciado? Qual a probabilidade

Leia mais

Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas

Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 004 Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas APOIO: Fundação de Apoio

Leia mais

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Variáveis Aleatórias Contínuas

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Variáveis Aleatórias Contínuas Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Variáveis Aleatórias Contínuas Professora Renata Alcarde Piracicaba abril 2014 Renata Alcarde Estatística Geral 24 de Abril de 2014

Leia mais

Notas de Aula. Copyright 2007 Pearson Education, Inc Publishing as Pearson Addison-Wesley.

Notas de Aula. Copyright 2007 Pearson Education, Inc Publishing as Pearson Addison-Wesley. Notas de Aula Estatística Elementar 10ª Edição by Mario F. Triola Tradução: Denis Santos Slide 1 Capítulo 5 Distribuições de Probabilidades 5-1 Visão Geral 5-2 Variáveis Aleatórias 5-3 Distribuição de

Leia mais

A figura 5.1 ilustra a densidade da curva normal, que é simétrica em torno da média (µ).

A figura 5.1 ilustra a densidade da curva normal, que é simétrica em torno da média (µ). Capítulo 5 Distribuição Normal Muitas variáveis aleatórias contínuas, tais como altura, comprimento, peso, entre outras, podem ser descritas pelo modelo Normal de probabilidades. Este modelo é, sem dúvida,

Leia mais

Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas

Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas APOIO: Fundação de

Leia mais

AULA 8. DISTRIBUIÇÕES DE VARIÁVEIS CONTÍNUAS Uniforme, Exponencial e Normal 19/05/2017

AULA 8. DISTRIBUIÇÕES DE VARIÁVEIS CONTÍNUAS Uniforme, Exponencial e Normal 19/05/2017 AULA 8 DISTRIBUIÇÕES DE VARIÁVEIS CONTÍNUAS Uniforme, Exponencial e Normal 19/05/2017 As funções de distribuição (acumulada) e de densidade para v.a. contínuas = =. Se a densidade f(x)for continua no seu

Leia mais

Distribuição de Probabilidade. Prof. Ademilson

Distribuição de Probabilidade. Prof. Ademilson Distribuição de Probabilidade Prof. Ademilson Distribuição de Probabilidade Em Estatística, uma distribuição de probabilidade descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores.

Leia mais

Verificar como a distribuição normal pode ser utilizada para calcular, l de forma aproximada, probabilidades associadas a uma variável aleatória com

Verificar como a distribuição normal pode ser utilizada para calcular, l de forma aproximada, probabilidades associadas a uma variável aleatória com Aproximação da binomial pela normal 1 Objetivo Verificar como a distribuição normal pode ser utilizada para calcular, l de forma aproximada, probabilidades associadas a uma variável aleatória com distribuição

Leia mais

PROBABILIDADE & ESTATÍSTICA

PROBABILIDADE & ESTATÍSTICA PROBABILIDADE & ESTATÍSTICA Lilian de Souza Vismara Mestre Eng. Elétrica ESSC / USP Licenciada em Matemática UFSCar PROBABILIDADE & ESTATÍSTICA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Lilian

Leia mais

Distribuições de Probabilidade. Distribuição Uniforme Distribuição Exponencial Distribuição Normal

Distribuições de Probabilidade. Distribuição Uniforme Distribuição Exponencial Distribuição Normal Distribuições de Probabilidade Distribuição Uniforme Distribuição Exponencial Distribuição Normal 1 Distribuição Uniforme A distribuição Uniforme atribui uma densidade igual ao longo de um intervalo (a,b).

Leia mais

14. Distribuição de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas

14. Distribuição de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas 4. Distribuição de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas Os valores assumidos por uma variável aleatória contínua podem ser associados com medidas em uma escala contínua como, por exemplo,

Leia mais

Probabilidade 2. Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Araraquara, SP Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP

Probabilidade 2. Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Araraquara, SP Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP Probabilidade 2 Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP - 2016 1 Distribuição de probabilidades normal 2 Distribuição normal

Leia mais

Princípios de Bioestatística

Princípios de Bioestatística Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Princípios de Bioestatística Aula 7: Distribuição Normal (Gaussiana) Distribuição de frequência dos valores

Leia mais

Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal

Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal Uma das utilidades da distribuição normal é que ela pode ser usada para fornecer aproximações para algumas distribuições de probabilidade discretas.

Leia mais

Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE

Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias 1 Funções Geradoras de Variáveis Aleatórias Nos programas de simulação existe um GNA e inúmeras outras funções matemáticas descritas como Funções Geradoras de

Leia mais

Distribuições de Probabilidade Contínuas 1/19

Distribuições de Probabilidade Contínuas 1/19 all Distribuições de Probabilidade Contínuas Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello UFES Universidade Federal do Espírito Santo DI Departamento de Informática CEUNES Centro Universitário Norte

Leia mais

Capítulo 2. Distribuições de Probabilidade Estimativas de parâmetros e tempos-atéfalha. Flávio Fogliatto

Capítulo 2. Distribuições de Probabilidade Estimativas de parâmetros e tempos-atéfalha. Flávio Fogliatto Capítulo 2 Distribuições de Probabilidade Estimativas de parâmetros e tempos-atéfalha Flávio Fogliatto 1 Ajustes de distribuições Em estudos de confiabilidade, dados são amostrados a partir de uma população

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1 Na prática é, muitas vezes, mais interessante associarmos um número a um evento aleatório e calcularmos a probabilidade da ocorrência desse número do que a probabilidade do evento.

Leia mais

AULA 7 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS E MODELO NORMAL

AULA 7 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS E MODELO NORMAL UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA MEAU- MESTRADO EM ENGENHARIA AMBIENTAL URBANA ENG C 18 Métodos de Pesquisa Quantitativos e Qualitativos AULA 7 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS E MODELO NORMAL Docente:

Leia mais

Probabilidade e Modelos Probabilísticos

Probabilidade e Modelos Probabilísticos Probabilidade e Modelos Probabilísticos 1ª Parte: Conceitos básicos, variáveis aleatórias, modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas, modelo binomial, modelo de Poisson 1 Probabilidade

Leia mais

3 a Lista de PE Solução

3 a Lista de PE Solução Universidade de Brasília Departamento de Estatística 3 a Lista de PE Solução. Se X representa o ganho do jogador, então os possíveis valores para X são,, 0, e 4. Esses valores são, respectivamente, correspondentes

Leia mais

Probabilidade e Estatística. stica. Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva pessoal.utfpr.edu.

Probabilidade e Estatística. stica. Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva  pessoal.utfpr.edu. Probabilidade e Estatística stica Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva pessoal.utfpr.edu.br/ngsilva Distribuição Uniforme Uma variável aleatória contínua X está

Leia mais

Modelagem e Análise de Sistemas de Computação Aula 19

Modelagem e Análise de Sistemas de Computação Aula 19 Modelagem e Análise de Sistemas de Computação Aula 19 Aula passada Intro a simulação Gerando números pseudo-aleatórios Aula de hoje Lei dos grandes números Calculando integrais Gerando outras distribuições

Leia mais

GET00116 Fundamentos de Estatística Aplicada Lista de Exercícios de Revisão para a P2 Profa. Ana Maria Farias

GET00116 Fundamentos de Estatística Aplicada Lista de Exercícios de Revisão para a P2 Profa. Ana Maria Farias GET00116 Fundamentos de Estatística Aplicada Lista de Exercícios de Revisão para a P Profa. Ana Maria Farias 1. Em 00, Kaspersky Lab relatou que aproximadamente 0% de todos os e-mails são lixo ou spam.

Leia mais

Distribuição Gaussiana

Distribuição Gaussiana Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Distribuição Gaussiana Introdução à Bioestatística Turma Nutrição Aula 7: Distribuição Normal (Gaussiana) Distribuição

Leia mais

LEEC Probabilidades e Estatística 1 a Chamada 13/06/2005. Parte Prática C (C) M 1% 9% 10% (M) 4% 86% 90% 5% 95% 100%

LEEC Probabilidades e Estatística 1 a Chamada 13/06/2005. Parte Prática C (C) M 1% 9% 10% (M) 4% 86% 90% 5% 95% 100% . Definição dos acontecimentos: M T-shirt tem manchas C T-shirt tem costuras defeituosas D T-shirt é defeituosa A Preço da t-shirt é alterado a) PM) = % PC) = 5% PM C) = % LEEC Probabilidades e Estatística

Leia mais

Lucas Santana da Cunha de junho de 2018 Londrina

Lucas Santana da Cunha de junho de 2018 Londrina Variável aleatória contínua: Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 13 de junho de 2018 Londrina 1 / 26 Esperança e variância de Y Função de distribuição acumulada

Leia mais

Revisão de distribuições de probabilidades contínuas (Capítulo 6 Levine)

Revisão de distribuições de probabilidades contínuas (Capítulo 6 Levine) Revisão de distribuições de probabilidades contínuas (Capítulo 6 Levine) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-1 Objetivos: Neste capítulo, você aprenderá:

Leia mais

2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB.

2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB. 2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB. 1) Classifique as seguintes variáveis aleatórias como discretas ou contínuas. X : o número de acidentes de automóvel por ano na rodovia BR 116. Y :

Leia mais

Principais distribuições discretas Distribuição de Bernoulli sucesso fracasso X = 1, se sucesso X = 0, se fracasso P(X) TOTAL 1 Exemplo 5:

Principais distribuições discretas Distribuição de Bernoulli sucesso fracasso X = 1, se sucesso X = 0, se fracasso P(X) TOTAL 1 Exemplo 5: Principais distribuições discretas Na prática, sempre se procura associar um fenômeno aleatório a ser estudado, a uma forma já conhecida de distribuição de probabilidade (distribuição teórica) e, a partir

Leia mais

Estatística 1. Resumo Teórico

Estatística 1. Resumo Teórico Estatística 1 Resumo Teórico Conceitos do Curso 1. Tipos de Variáveis e Representações Gráficas a. Tipos de Variáveis b. Distribuição de Frequências c. Histograma 2. Estatística Descritiva Medidas Estatísticas

Leia mais

Estatística Descritiva e Exploratória

Estatística Descritiva e Exploratória Gledson Luiz Picharski e Wanderson Rodrigo Rocha 9 de Maio de 2008 Estatística Descritiva e exploratória 1 Váriaveis Aleatórias Discretas 2 Variáveis bidimensionais 3 Váriaveis Aleatórias Continuas Introdução

Leia mais

MAE 116 Distribuição Normal FEA - 2º Semestre de 2018

MAE 116 Distribuição Normal FEA - 2º Semestre de 2018 MAE 116 Distribuição Normal FEA - 2º Semestre de 2018 1 Introdução Até aqui estudamos variáveis aleatórias discretas que são caracterizadas por ter uma distribuição de probabilidade dada por uma tabela

Leia mais

Confiabilidade de sistemas. Uma importante aplicação de probabilidade nas engenharias é no estudo da confiabilidade de sistemas.

Confiabilidade de sistemas. Uma importante aplicação de probabilidade nas engenharias é no estudo da confiabilidade de sistemas. Confiabilidade de sistemas Uma importante aplicação de probabilidade nas engenharias é no estudo da confiabilidade de sistemas. Uma definição pratica de confiabilidade corresponde à probabilidade de um

Leia mais

Modelos Probabiĺısticos Discretos

Modelos Probabiĺısticos Discretos Discretos Prof. Gilberto Rodrigues Liska UNIPAMPA 19 de Setembro de 2017 Material de Apoio e-mail: gilbertoliska@unipampa.edu.br Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de 2017 1 /

Leia mais

Capítulo 5 Distribuições de probabilidade normal Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Capítulo 5 Distribuições de probabilidade normal Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Capítulo 5 Distribuições de probabilidade normal slide 1 Descrição do capítulo 5.1 Introdução à distribuição normal e distribuição normal padrão 5.2 Distribuições normais: encontrando probabilidades 5.3

Leia mais

Mais Aplicações sobre cálculo de probabilidades

Mais Aplicações sobre cálculo de probabilidades Mais Aplicações sobre cálculo de probabilidades Prof. Hemílio Fernandes Campos Coêlho Departamento de Estatística - Universidade Federal da Paraíba - UFPB Noções de Epidemiologia Em algumas aplicações

Leia mais

Capítulo 2. Variáveis Aleatórias e Distribuições

Capítulo 2. Variáveis Aleatórias e Distribuições Capítulo 2 Variáveis Aleatórias e Distribuições Experimento Aleatório Não existe uma definição satisfatória de Experimento Aleatório. Os exemplos dados são de fenômenos para os quais modelos probabilísticos

Leia mais

2. Distribuições amostrais

2. Distribuições amostrais 2. Distribuições amostrais USP-ICMC-SME 203 USP-ICMC-SME () 2. Distribuições amostrais 203 / 22 Amostra aleatória Notação. X: variável aleatória (v.a.). f(x; θ): função densidade de probabilidade (X contínua)

Leia mais

AULA 17 - Distribuição Uniforme e Normal

AULA 17 - Distribuição Uniforme e Normal AULA 17 - Distribuição Uniforme e Normal Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ Distribuições Contínuas Em muitos problemas se torna matematicamente mais simples considerar um espaço

Leia mais

Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística Aula 5 Probabilidade: Distribuições de Discretas Parte 2 Leitura obrigatória: Devore, seções 3.4, 3.5 (hipergeométrica), 3.6 Aula 5-1 Objetivos Nesta parte 01 aprendemos a representar,

Leia mais

Cap. 5 Variáveis aleatórias discretas

Cap. 5 Variáveis aleatórias discretas Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Cap. 5 Variáveis aleatórias discretas APOIO: Fundação de

Leia mais

Modelos de Distribuições

Modelos de Distribuições 7/5/017 Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 05/07/017 19: ESTATÍSTICA APLICADA

Leia mais

Processos Estocásticos

Processos Estocásticos Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Modelos Probabilísticos Discretos Uniforme Bernoulli Binomial Hipergeométrico Geométrico Poisson Contínuos Uniforme Normal Tempo de Vida Exponencial Gama

Leia mais

Estatística Básica. Variáveis Aleatórias Contínuas. Renato Dourado Maia. Instituto de Ciências Agrárias. Universidade Federal de Minas Gerais

Estatística Básica. Variáveis Aleatórias Contínuas. Renato Dourado Maia. Instituto de Ciências Agrárias. Universidade Federal de Minas Gerais Estatística Básica Variáveis Aleatórias Contínuas Renato Dourado Maia Instituto de Ciências Agrárias Universidade Federal de Minas Gerais Lembrando... Uma quantidade X, associada a cada possível resultado

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Variável Aleatória

Leia mais

Distribuições discretas de probabilidade

Distribuições discretas de probabilidade 4 Distribuições discretas de probabilidade x = número de respostas corretas x = número de chegadas pontuais Estatística Aplicada Larson Farber x = número de funcionários que alcançou a cota de vendas x

Leia mais

Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes

Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Modelos Probabilísticos Discretos Uniforme Bernoulli Binomial Hipergeométrico Geométrico Poisson Contínuos Uniforme Normal Tempo de Vida Exponencial Gama

Leia mais

Simulação a Eventos Discretos. Fernando Nogueira Simulação 1

Simulação a Eventos Discretos. Fernando Nogueira Simulação 1 Simulação a s Discretos Fernando Nogueira Simulação Introdução Simulação não é uma técnica de otimização: estima-se medidas de performance de um sistema modelado. Modelos Contínuos X Modelos Discretos

Leia mais

Confiabilidade em Sistemas Eletrônicos

Confiabilidade em Sistemas Eletrônicos Confiabilidade em Sistemas Eletrônicos Matemá'ca da Confiabilidade Alessandro L. Koerich Introdução Os princípios da confiabilidade moderna são baseados principalmente em esta@saca e probabilidade. Em

Leia mais

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades - parte III 23 de Abril de 2012 Introdução Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Calcular probabilidades aproximadas

Leia mais

PARA A RESOLUÇÃO DO p-fólio, TENHA EM ATENÇÃO O SEGUINTE:

PARA A RESOLUÇÃO DO p-fólio, TENHA EM ATENÇÃO O SEGUINTE: Nome:... B.I. :... Nº de Estudante:... Curso:... Turma:... Unidade Curricular: Elementos de Probabilidade e Estatística... Código:..1037... Data:..9 de Julho de 009. Assinatura do Vigilante:... PARA A

Leia mais

( x) = a. f X. = para x I. Algumas Distribuições de Probabilidade Contínuas

( x) = a. f X. = para x I. Algumas Distribuições de Probabilidade Contínuas Probabilidade e Estatística I Antonio Roque Aula Algumas Distribuições de Probabilidade Contínuas Vamos agora estudar algumas importantes distribuições de probabilidades para variáveis contínuas. Distribuição

Leia mais

5 Distribuição normal de probabilidade. Estatística Aplicada Larson Farber

5 Distribuição normal de probabilidade. Estatística Aplicada Larson Farber 5 Distribuição normal de probabilidade Estatística Aplicada Larson Farber Seção 5.1 Introdução às distribuições normais Propriedades de uma distribuição normal Suas média, mediana e moda são iguais. Tem

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA ROTEIRO DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS 1. Distribuições conjuntas 2. Independência 3. Confiabilidade 4. Combinações lineares de variáveis aleatórias 5. Referências DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA Em muitos

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PARTE II

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PARTE II PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PARTE II Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Variável

Leia mais

DISTRIBUIÇÃO NORMAL DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO NORMAL

DISTRIBUIÇÃO NORMAL DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO NORMAL ROTEIRO DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS 1. Distribuições conjuntas 2. Independência 3. Confiabilidade 4. Combinações lineares de variáveis aleatórias 5. Referências DISTRIBUIÇÃO NORMAL Definição:

Leia mais

Bioestatística e Computação I

Bioestatística e Computação I Bioestatística e Computação I Distribuições Teóricas de Probabilidade Maria Virginia P Dutra Eloane G Ramos Vania Matos Fonseca Pós Graduação em Saúde da Mulher e da Criança IFF FIOCRUZ Baseado nas aulas

Leia mais

Solução: A distribuição normal. Representação gráfica. Cálculo de probabilidades. A normal padrão. σ Será uma N(0; 1).

Solução: A distribuição normal. Representação gráfica. Cálculo de probabilidades. A normal padrão. σ Será uma N(0; 1). A distribuição normal Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo: f (x) =.e π. σ x µ. σ, x R Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ com

Leia mais