Probabilidade e Modelos Probabilísticos

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1 Probabilidade e Modelos Probabilísticos 2ª Parte: modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas, modelo uniforme, modelo exponencial, modelo normal 1

2 Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades, ou modelo probabilístico de uma variável aleatória: quais são os resultados possíveis; qual é a probabilidade de cada resultado acontecer. Variável discreta: pares valores probab. Variável contínua: função densidade de probabilidades 2

3 Exemplo 1 Construir a distribuição de probabilidades para o ângulo () obtido neste experimento. 3

4 f(x) X = variável aleatória que indica o ângulo formado Área = 1 0 o 360 o x 4

5 Exemplo 1 Qual é a probabilidade de obter um ângulo entre 30 o e 60 o? f(x) P(30 o < X < 60 o ) = área = 0, o 360 o x 5

6 Variável aleatória contínua Valor esperado e variância E ( X ) xf ( x) dx 2 V ( X ) ( x ) f ( x) dx 2 ou 2 ) V( X ) E( X 2 onde: 2 E ( X ) x f ( x) dx 2 6

7 Distribuição Uniforme 1 f(x) f(x) = 1 x 7

8 f(x) Distribuição Uniforme a b x P(a < X < b) = b - a E( X ) Var( X )

9 Distribuição Exponencial Intervalo de tempo entre ocorrências Variável aleatória X de Poisson tem média de ocorrências em um intervalo de tempo, então o intervalo de tempo T entre ocorrências segue uma distribuição exponencial e tem média de 1/. Em média chegam 2 pessoas/min em uma fila, o tempo médio entre a chegada de pessoas à fila é 0,5 minuto. Em média atendem-se 10 pedidos de suprimentos/dia, o tempo médio de atendimento de um pedido é 0,1 dia. 9

10 Distribuição Exponencial f(t) = e -t, t > 0 - parâmetro da distribuição ( > 0 10

11 Distribuição Exponencial f(t) f(t) = e - t, t > 0 E( T ) Var( T ) P(T > t 0 ) = e - t 0 t 0 t 11

12 Justificativa para a fórmula da exponencial 0 t A primeira ocorrência ser depois do tempo t Nenhuma ocorrência em [0, t] T > t X t = 0 T = tempo até a próxima ocorrência (distrib. exponencial) X t = núm. de ocorrências até t (distrib. de Poisson) P( T ( k t) e P( X t k) k! > t) P( X 0) e t t t (distrib. exponencial) 12

13 Exercício 1 O setor de manutenção de uma empresa fez um levantamento das falhas de um importante equipamento, constatando que há, em média, 0,75 falha por ano e que o tempo entre falhas segue uma distribuição exponencial. Qual é a probabilidade do equipamento não falhar no próximo ano? 13

14 Resposta = 0,75 P(T > t) = e - t P(T > 1) = e -(0)1 = 0,4724 ou 47,24% 14

15 Exercício 2 A vida útil de um certo componente eletrônico é, em média, horas e apresenta distribuição exponencial. Qual é a percentagem esperada de componentes que apresentarão falhas em menos de horas? 15

16 Resposta = 1 / = 0,0001 P(T < t) = 1 - e - t P(T < ) = 1 - e -(0,0001)(10000) = = 1-0,3679 = = 0,6321 ou 63,21% 16

17 Exercício 2 cont. A vida útil de um certo componente eletrônico é, em média, horas e apresenta distribuição exponencial. Após quantas horas se espera que 25% dos componentes tenham falhado? 17

18 Resposta = 1 / = 0,0001 P(T > t) = e - t P(T > t) = e -(0,0001) t = 1-0,25 = 0,75 -(0,0001) t = ln(0,75) t = 2.876,82 horas 18

19 Exemplo 2 (Distribuição normal) Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X a sua altura, em centímetros. Apresenta-se, a seguir, uma possível distribuição de probabilidades para este caso. f(x) x altura (em cm.) 19

20 Exemplo 2 Representar: o evento estudante selecionado tem 180 cm ou mais (X 180) e sua probabilidade, P(X 180) f(x) P(X 180) x altura (em cm.) X

21 Distribuição Normal f(x) f ( x) x 1 e 2 1 x ( ) 2 : média : desvio padrão 2 21

22 Características Área abaixo da curva é igual a 1 (100% de probabilidade). A variável aleatória pode assumir valores de - a +. Área = 1 x 22

23 Características Identificada pela média ( e pelo desvio padrão (. x 23

24 Média e Desvio Padrão mesmo e diferentes µ 1 2 x 24

25 Média e Desvio Padrão mesmo e diferentes = 2 = 4 X 25

26 Características Simetria em relação à média. 50% x 26

27 Exemplo área = 68,3%

28 Exemplo área = 95,4%

29 Exemplo área = 99,7%

30 Normal Padronizada z = x - z - variável normal padronizada x - variável normal - média - desvio padrão 30

31 Normal Padronizada x z 31

32 Exemplo 3 Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admita que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm. Qual é o escore padronizado de um estudante com 190 cm? x = 190. z = x - = = = 2 32

33 Exemplo 3 10 = x 0 2 z 33

34 Exemplo 3 P(X<190) = P(Z<2) x 0 2 z 34

35 Exemplo 3 10 = x z 35

36 Exercício 3: uso da tabela Com base na tabela da normal padronizada, calcular: a) P(Z > 1) 0,1587 (tabela) 0 +1 z 36

37 Exercício 4 Com base na tabela da normal padronizada, calcular: b) P(Z > 1,23) 0,1093 (tabela) 0 1,23 z 37

38 Exercício 5 c) P(-2 < Z < 2) 0,0228 (tabela) z P(-2 < Z < 2) = 1-2.(0,0228) = 0,

39 Exercício 6 Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admitindo que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm, qual é a probabilidade do estudante sorteado ter altura superior a 185 cm? 39

40 Exercício 6: resposta x = 185 cm z? ( z = x - = = = 1,5 40

41 Exercício 6: resposta P(Z > 1,5) 0,0668 (tabela) 0 1,5 z 41

42 Aproximação da binomial pela normal Considere que um aluno irá fazer um teste de Estatística. Pelo que estudou ele tem 50% de probabilidade de responder corretamente uma questão. Se o teste tem 10 perguntas, seja X o número de respostas corretas. 42

43 Exemplo 4 Distribuição binomial: n=10 p=0,5 P(X) 0,205 0,246 0,205 0,117 0,117 0,044 0,001 0,01 0,044 0,01 0, número de respostas corretas (X) 43

44 Exemplo 4 Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 corretas? P(X>6)=P(7)+P(8)+P(9)+P(10)=0,117+0,044+0,010+0,001=0,172 0,205 0,246 0,205 P(X>6) = 0,172 0,117 0,117 0,044 0,001 0,01 0,044 0,01 0,

45 Aproximação da Binomial pela Normal Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma normal com média np e variância np(1- p) x 45

46 Exemplo 4 (de novo) Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 respostas afirmativas? (usando a normal) P(X>6,5) x 46

47 Exemplo 4 (de novo) P(X>6,5) 5 6,5 x 47

48 Exemplo 4 (de novo) = 5 = 1, x = 6,5 x - 6,5-5 z = = = 0,95 1, ,95 0,1711 Lembrando: a probabilidade. Exata (pela binomial) era de 0,1720 z 48

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