rio de Guerra Eletrônica EENEM 2008 Estatística stica e Probabilidade Aleatórias nuas

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1 ITA - Laboratório rio de Guerra Eletrônica EENEM 2008 Estatística stica e Probabilidade Aula 04: Variáveis Aleatórias Contínuas nuas

2 Função densidade de probabilidade contínua nua f(x) a b f(x) 0 para todo x área abaixo da curva f(x) ) = 1 x

3 Função distribuição cumulativa contínua nua P (X > a) = 1 - F(a) P (a X b) = F(b) - F(a) F (x) ) = f(x)

4 Exemplo Um professor do GITE nunca termina suas aulas antes que a campainha toque e sempre encerra até dois minutos depois. Seja X = o tempo que decorre entre o soar da campainha e o fim da aula: f(x) ) = kx 2 0 x 2 a) determine o valor de k

5 Exemplo (cont.) b) qual é a probabilidade de que aula termine até 1 minuto depois que a campainha toque? c) qual a probabilidade de que a aula se encerre somente entre 60 e 90 segundos após o toque do sinal? d) qual a probabilidade que a aula continue pelo menos por 90 segundos após o sinal?

6 Média e Variância μ x = E(X) = x.f(x)dx - σ 2 x = V(X) = (x - μ) 2.f(x)dx - V(X) = E(X 2 ) - [E(X)] 2

7 Distribuições de probabilidade contínuas nuas Uniforme Normal Exponencial Chi-quadrado quadrado (χ 2 ), G ), Gamma, Weibull,, Lognormal, Beta

8 Distribuição uniforme Uma variável vel aleatória contínua nua é dita possuir uma distribuição uniforme no intervalo [A, B] se a fdp de X é: f(x; ; A, B) = 1/ (B A) A X B 0 nos demais

9 Distribuição uniforme f(x) 1 b-a a b x

10 Função distribuição cumulativa Uniforme 0 x < A x A F(x) ) = B A A x B 1 x B

11 Função distribuição cumulativa Uniforme F(x) 1 a b x

12 Distribuição normal Uma variável vel aleatória X é dita possuir uma distribuição normal com parâmetros μ e σ (ou σ 2 ), onde - < μ < and 0 < σ se a fdp de X é: f(x; μ, σ) ) = 1 e -(x (x-μ)2/(2σ2) 2π σ - < x <

13 Histogram of C3 Normal 20 Mean -0,04130 StDev 0,9244 N 100 Frequency O gráfico é construído tomando-se a freqüência de cada faixa de valores 5 0-1,6-0,8 0,0 C3 0,8 1,6 Na medida em que n aumenta, mais o resultado se aproxima da curva teórica Frequency Histogram of C3 Normal Mean 0,03500 StDev 1,036 N 1000 Se n é suficientemente grande, a freqüência relativa torna-se probabilidade e temos então uma Função Densidade de Probabilidade, no caso, de uma Normal C

14 99,7% dos dados estão dentro de 6 desvios-padrões a contar da média (x - 3s, x + 3s) 95% estão dentro de 4 desvios-padrões 68% estão dentro de 2 desvios-padrões 0,001 0,340 0,340 0,024 0,024 0,135 0,135 0,001 x - 3s x - 2s x - s x x + s x + 2s x + 3s

15 Função distribuição cumulativa Normal F(x) 1,0 0,5 μ = 0 x

16 f(x) função distribuição F(x) 1,0 x 0,5 função cumulativa μ = 0 x

17 Distribuição normal padrão A distribuição normal com parâmetros μ = 0 e σ = 1 é chamada distribuição normal padrão. Uma variável vel aleatória que tem uma distribuição normal padrão é chamada variável vel aleatória normal padrão e será denotada por Z: f(z; ; 0, 1) = 1 e -z 2 /2 - < z < 2π A função distribuição cumulativa de Z é z P(Z z) ) = f(y)dy, que será denotada por - Φ(z)

18 Distribuição normal padrão z = x μ σ μ x 0 z

19 Distribuições normais não-padrões Se X tem uma distribuição normal com média μ e desvio-padrão σ, então Z = (X - μ)/ σ tem uma distribuição normal padrão. Assim: P(a X b) = Φ((b-μ)/σ) - Φ((a-μ)/σ) P(X a) = Φ((a-μ)/σ) P(X b) = 1 - Φ((b-μ)/σ)

20 Exercício cio 24 Se X tem média 80 e desvio-padrão 10, compute as seguintes probabilidades utilizando transformação ão: a) P(X 100) b) P(X 80) c) P(65 X 100) d) P(70 X)

21 Exercício cio 25 Em cada caso,, determine o valor da constante c que faz a probabilidade correta: a) Φ(c) = 0,9838 b) P(0 Z c) = 0,291 c) P(c Z) = 0,121 d) P(-c Z c) = 0,668 e) P(c Z ) = 0,016

22 Distribuição exponencial X é dita uma distribuição exponencial se a fdp de X é f(x;λ) ) = λe -λx x 0 e λ>0 μ = 1/λ σ 2 = 1/λ 2 F(x;λ) ) = 1 - e -λx x 0

23 Distribuições densidade de probabilidade (Exponenciais) λ = 2 f(x, ) λ = 1 λ = 0,5 x

24 Propriedade da falta de memória ria A/(A+B+C+D)=C/(C+D)

25 Exemplo Suponha que o tempo de resposta X em um terminal de computador tem distribuição exponencial com tempo de resposta esperado igual a 5 segundos. Então E(X) = 1/ λ = 5, portanto λ = 0,2. A probabilidade de que o tempo de resposta seja no máximo 10 segundos é: P(X 10) = F(10; 0,2) = 1 - e -(0,2)(10) = 1 - e -2 = 1-0,135 = 0,865

26 Aplicação da distribuição exponencial A distribuição exponencial é freqüentemente entemente utilizada como um modelo para a distribuição dos tempos entre ocorrência de sucessivos eventos, tais como clientes chegando a uma estação de serviço ou chamadas a um centro de atendimento.. A razão para isso é que a distribuição exponencial está relacionada ao processo de Poisson discutido anteriormente.

27 Suponha que o número de eventos ocorrendo em qualquer intervalo de tempo t tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro αt t (onde( α é a taxa do processo,, o número esperado de eventos que ocorrem em uma unidade de tempo) e que a quantidade de ocorrências em cada intervalo é independente dos demais. Assim,, a distribuição do tempo que passa entre a ocorrência de dois eventos sucessivos é exponencial com λ = α.

28 Exercício cio 26 Seja X = tempo entre duas chegadas sucessivas de clientes a um banco.. Se X tem uma distribuição exponencial com λ = 1, calcule: a) o tempo esperado entre duas chegadas sucessivas b) o desvio-padrão do tempo entre duas chegadas sucessivas c) P(X 4) d) P(2 X 5)

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