FUNÇÕES DE VARIÁVEL ALEATÓRIA

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1 5 FUNÇÕES DE VARIÁVEL ALEATÓRIA Dada uma variável aleatória contínua X com função de densidade f (x). Considerando Y = g(x), uma função de X, também é uma variável aleatória. A definição da variável Y como função de X é conhecida coma transformação de uma variável aleatória. A palavra "transformação"é utilizada porque quando uma nova variável aleatória Y é especificada como uma função de uma dada variável aleatória X, então a função de distribuição F(x) fica transformada na função de distribuição da nova variável Y. Assim, o espaço induzida (Ω,F,P X ) fica modificada por ter uma distribuição adicional,f(y). Em alternativa, a transformação pode ser visto como resultado de um novo espaço induzido, (Ω,F,P Y ). Assim, quando temos Y = g(x) é interessante conhecer a função de distribuição e função de densidade da variável aleatória Y. 5.1 MÉTODO DA FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO Seja X uma variável aleatória contínua, com função de distribuição F X (x). Qualquer função Y = g(x) também é uma variável aleatória. Considerando a função g(x) é inversível, temos que em que X = h(y ) = g 1 (Y ) Então a função de distribuição de Y é F Y (y) = P(Y y) = P(g(X) y) = P(X h(y)) = F X (h(y)) Assim é possível obter a função de distribuição acumulada de Y e para obter a função de densidade basta fazer a derivada df Y (y) Exemplo 5.1: Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por: 12 1 x 1 Seja Y = X 2, determine a função de densidade de Y.

2 Funções de variável aleatória 2 F Y (y) = P(Y y) = P(X 2 y) = P( y X y) y 1 = 2 dx y = 1 2 x y = y y = 1 2 ( y + y) Assim, temos que a função de distribuição de Y, é dada por Derivando a função de distribuição temos F Y (y) = yi [0,1] (y) + I (1, ) (y) df Y (y) = 1 2 y I [0,1](y) Exemplo 5.2: Seja X uma variável aleatória com função de densidade e função de distribuição dada por: 1 se 0 x < F(x) = 0 se x < 0 1 x se 0 x < 1 se x > Seja Y = e X, determine a função de densidade de Y. F Y (y) = P(Y y) = P(e X y) = P(X ln(y)) = F X (ln(y)) = 1 ln(y) Assim, temos que a função de distribuição de Y, é dada por Derivando a função de distribuição temos F Y (y) = 1 ln(y)i [1,e ] (y) + I (e, ) (y) df Y (y) = 1 y I [1,e ] (y)

3 Funções de variável aleatória 5.2 MÉTODO DA FUNÇÃO DE DENSIDADE Teorema 5.1: Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade f (x) e seja Y = g(x) uma outra variável aleatória. Se a função g(x) é inversível e diferenciável, então a função de densidade de Y é dada por: em que h(y ) = g 1 (Y ) h (y) f X (h(y)) Exemplo 5.: Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por: x 2 81 < x < 6 Seja Y = 1 (12 x), determine a função de densidade de Y. y = 1 (12 x) h(y) = 12 y h (Y ) = (12 y)2 (4 y)2 (4 y)2 = 9 = Para X variando no intervalo (,6), Y varia no intervalo (2,5), assim: (4 y) 2 2 < y < 5 Corolário 5.1: Quando a função Y = g(x) tem duas raízes, x 1 e x 2, a função de densidade de f Y (y) é dada por h 1(y) f X (h 1 (y)) + h 2(y) f X (h 2 (y)) em que h 1 (Y ) = g 1 1 (Y ) e h 2(Y ) = g 1 2 (Y ), representam os intervalos das duas raízes x 1 e x 2 Exemplo 5.4: Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por: 29 (x + 1) 1 < x < 2 Seja Y = X 2, determine a função de densidade de Y.

4 Funções de variável aleatória 4 y = x 2 h(y) = ± y h (Y ) = ± 1 2 y y 9 (± y + 1) = 1 9 y (± y + 1) y = x 2 então vamos analisar o intervalos se 1 < x < 0 0 < y < 1 se 0 x < 1 0 y < 1 se 1 x < 2 1 y < 4 Assim ( 1 9 y ( y + 1) + 1 ) 9 y ( y + 1) I (0,1) (y) y ( y + 1))I [1,4) (y) 2 9 y I (0,1)(y) y ( y + 1))I [1,4) (y) 5. EXERCÍCIOS 5..1 Teóricos 5.1) A fdp de uma variável aleatória X é f X (x). Uma variável aleatória Y é definida como Y = ax + b, a < 0. Determine a fdp de Y em termos da fdp de X. 5.2) Suponha que o raio R de uma esfera seja uma variável aleatória continua com fdp dada por f (r) = 6r(1 r), 0 < r < 1. Determine a fdp do volume V e da área superficial S da esfera. 5.) Suponha que X tenhaa distribuição contínua em R com função distribuição F e função de densidade f. Mostre que Y = X a) Tem função de distribuição F Y (y) = F x (x) F x ( x) para y > 0. b) Tem função de densidade f x (x) + f x ( x) para y > Práticos 5.1) Sejam as funções de densidade de probabilidade abaixo. Determine a função de densidade e a função geradora de momentos Y a) 2xI [0,1] (x), Y = X 2 b) 1 x2, se 1 x < 2, Y = X 2

5 Funções de variável aleatória 5 c) (1 x) 2, se x 1, Y = (1 X) d) 2xe x2, se 0 x, Y = X 2 e) e x, se 0 x, Y = X 1+X 5.2) Suponha que P(X 0,29) = 0,75, em que X é uma variável aleatória continua com alguma distribuição definida sobre (0,1). Seja Y = 1 X determine k de modo que P(Y k) = 0, 25 5.) Suponha que X seja uma variável aleatória continua distribuída uniformemente sobre o intervalo (0, 1). Ache a fdp das seguintes variáveis aleatórias e determine sua Moda e Mediana. a) Y = X b) Z = 1 X+1