Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas. Mat02274 Estatística Computacional. A função densidade de probabilidade. Exemplo

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1 Estatística Computacional Geração de Variáveis Aleatórias Contínuas 06 Prof. Lorí Viali, Dr. A função densidade de probabilidade Seja X uma variável aleatória com conjunto de valores X(S). Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua. É a função que associa a cada x X(S) um número f(x) que deve satisfazer as seguintes propriedades: f(x) 0 f (x)dx A distribuição de probabilidade Exemplo A coleção dos pares (x, f(x)) é denominada de distribuição de probabilidade da VAC X. Seja X uma VAC. Determine o valor de c para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade (fdp). c.x f(x) 0 se x c.c.

2 Para determinar o valor de c, devemos igualar a área total a um, isto é, devemos fazer: - f(x)dx - c. x dx Tem-se: - c. x dx c x - c c - c x dx c - - Representação gráfica O cálculo da probabilidade,5 P(a < X < b) b a f (x ) dx,0 0,5 x f(x) y -,5 -, -,0 - -0,5-0, 0, 0,5,0,,5 a b x a < X < b - X Observações P (a < Isto é, a probabilidade de que X assuma valores entre os números a e b é a área sob o gráfico de f(x) entre os pontos x a e x b. b a X < b ) f ( x ) dx Se X é uma VAC, então: a P ( X a ) a f ( x ) dx 0 e P ( a < X < b ) P ( a X < b ) P ( a P ( a < X X b ) b )

3 Exemplo Seja X uma VAC. Determine a probabilidade de X assumir valores no intervalo [-0,5; 0,5] x f (x) 0 se x c.c. A probabilidade solicitada é: P ( 0,5 < 0,5-0,5 x dx [ (0,5) X < 0,5 ) (-0,5) 0,5-0,5 x x 0,5-05 dx ],50 % VAC - Caracterização Exemplo (a) Expectância, valor esperado Determinar a expectância e o µ E(X) xf(x) dx desvio padrão da variável X dada por: (b) Desvio padrão σ f(x)(x µ ) dx x f(x)dx µ x f (x) 0 se c.c. x µ E (X ) x.f(x)dx - x x. -.dx x dx x σ E (X 5 x 5 E (X x ) - x. dx ) E (X ) x dx

4 A função de distribuição O desvio padrão de X será, então: É a função F(x) definida por: σ E (X ) E (X ) F(x) P(X x) f (u)du x 0 0 0,77 A F(x) é a integral da f(x) até um ponto genérico x. Exemplo Considerando a função abaixo como a fdp de uma VAC X, determinar F(x). A F(x) é uma função definida em todo o intervalo real da seguinte forma: x f (x) 0 se c.c. - x F(x) 0 x u du se se se x < - x x > Vamos determinar o valor da integral em u : Assim a Função de Distribuição Acumulada (FDA) é: F(x) x x u du x u du u x x + [u ] x + F(x) se se se x < - x x > 4

5 Representação gráfica x F(x) +,0 0,9 0,7 0,5 0, 0, 0, -,5 -,0-0,5 0,5,0,5 Cálculo da probabilidade com a FDA O uso da FDA é bastante prático no cálculo das probabilidades, pois não é necessário integrar, já que ela é um função que fornece a Integral. Usando a FDA, teremos sempre três casos possíveis: P(X x) F(x) P(X > x) - F(x) P(x < X < x ) F(x ) F(x ) Considere a seguinte função: ( x ) x 0 f se x c. c. () Verifique se ela é uma fdp. () Caso seja determine E(X) e V(X). () Gere 5000 valores e calcule as principais estatísticas. Modelos Probabilísticos Contínuos Uniforme Exponencial Cauchy Laplace Pareto Gumbel Poder Rayleigh Logística Triangular 5

6 Uniforme Uma VAC X é uniforme no intervalo [a; b] se assume todos os valores com igual probabilidade. Isto é, se f(x) for: f (x) b a 0 se c.c. a x b Fdp da U(; 6) Seja X uma VAC com distribuição uniforme no intervalo [; 6], isto é, X ~ U(; 6). Então a fdp é dada por: f (x) 6-0 se 4 c. c. x 6 0, 0,5 0, 0,5 0, Parâmetros A função de distribuição Uma VAC uniforme apresenta dois A função F(x) é dada por: parâmetros de localização: a e b > a. Notação: U(a; b) Intervalo: a x b F( x ) 0 x b a a se x < a se a x b se x > b 6

7 Exemplo FDA da U(; 6) Seja X uma uniforme no intervalo [; 6], então a FDA de X é dada por: 0 x F(x ) 4 se x < se x 6 se x > 6 0, Expectância ou Valor Esperado Variância E (X ) + x.f (x )dx b x b a a (b a ).( b + a ) (b a ) b a x b a a + b dx b a (b a ) σ V(X) E(X ) E(X) E(X ) + b x x.f (x)dx a dx b a x b a b a b a (b a) σ V ( X ( b b ( b b ( b ) a ) E ( X a a + b a ) a a ) a ) E ( X ) + b ab 4 Seja X uma uniforme no intervalo [a; b]. Determinar:. A moda. A mediana. A assimetria 4. A curtose 5. O coeficiente de variação. 7

8 Solução Observação µ e a + b µ o A mod al Uma distribuição uniforme no γ 0 9 γ,80 5 intervalo [0; ] é denominada de número (pseudo) aleatório. γ b a (a + b) Notação U(0; ) ou simplesmente U. Geração A geração de valores dessa Gerar 0000 valores de uma distribuição é feita através de: X a + (b a)u. U(-; ). Apresentar os resultados de forma tabular e gráfica, calculando todas as principais medidas. Exponencial Uma variável aleatória T tem uma distribuição exponencial se sua fdp for do tipo: λ.e f (t) 0 λt se se t 0 t < 0 8

9 Parâmetros Aplicações Uma VAC exponencial apresenta apenas um parâmetro de escala: λ > 0. Notação: E(λ) Intervalo: t 0 A distribuição exponencial é utilizada principalmente em aplicações de confiabilidade e teoria das filas. Ela é utilizada para modelar dados com taxas constantes de falhas. FDP: E(,0) E(,0) E(0,5) A função de distribuição,0 A função F(t) é dada por:,5,0 0,5 0 F(t) - e -λt se t < 0 se t FDA: E(,0) E(,0) E(0,5) Expectância ou valor esperado,00 0,90 0 0,70 0 0,50 0 E (T ) + t.f (t)dt [ t λt e ] 0 t. λ e e λt λ e t t e λ λt 0 λt dt λ dt

10 A variância σ V(T) E(T ) E(T) A variância será então: E(T ) + t [ λt t e ] 0 tλe λ.f (t)dt 0 λt 0 t. λ e λt dt λt + 0 te dt dt. λ λ λ σ V (T ) E(T λ λ ) E(T ) λ λ λ Solução Seja X uma exponencial de parâmetro λ. Determinar:. A moda. A mediana. A assimetria 4. A curtose 5. O coeficiente de variação 6. Intervalo interquartílico µ e ln( ) / λ µ ln( ) µ o 0 γ γ 6 γ Geração A geração de valores da distribuição exponencial é feita por meio de: x ln(u) / λ µ ln(u) Gerar 0000 valores de uma E(0,5). Apresentar os resultados de forma tabular e gráfica, calculando todas as principais medidas tanto para os dados quanto para o modelo. 0

11 Pareto A Distribuição de Pareto é também conhecida como Exponencial Dupla, Hiperbólica, Lei do Poder ou ainda de Bradford. É usada para modelar tempo de CPU e tamanho de arquivos na Internet. Vilfredo Federigo Samaso PARETO (848-9) Aplicações Frequências de palavras em textos longos, tamanho de cidades, tamanhos de arquivos na Internet que usam o protocolo TCP (muitos pequenos alguns grandes), tamanho de grãos de areia, tamanho de meteoritos, etc. A função densidade de probabilidade da distribuição de Pareto é dada por: α -( α+ ) α se x, α, > 0 f (x) x 0 c.c. Fdp da P(0,5; 0,5) O parâmetro de locação, > 0 representa o menor valor possível da variável. O parâmetro α > 0 representa a forma da distribuição.,0 0,,0,0,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0,0,0,0 4,0

12 Exemplo Solução Suponha que a renda de uma determinada população tenha uma distribuição de Pareto com parâmetro de forma igual a e parâmetro de escala igual a 000. Determine o percentual da população que tem renda entre 000 e F(x) x 0 P(000 < X < 4000) F(4000) F(000) se x < ,94% se x A função de distribuição FDA da P(0,5; 0,5) A função F(x) é dada pela seguinte expressão relativamente simples:,0 - F(x) x 0 α se x se x < 0,,0,0,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0,0,0,0 4,0 Valor esperado A expectância ou valor esperado de uma Distribuição de Pareto é dado por: α µ E (X) se α > α Considerando uma P(α; ), determinar: () A moda; () A mediana; () A assimetria; (4) A curtose.

13 Solução Geração µ o Gerar valores de uma µ e /α P(α; ), deve-se fazer: ( α + ) α γ se α > α α ( α + α + )( α ) γ se α > 4 α( α )( α 4) / α X U Gerar 0000 valores de uma P(; 0,). Fazer um diagrama dos resultados e calcular as seguintes medidas: média, desvio padrão, moda, mediana, assimetria e curtose tanto para os dados quanto para o modelo. Poder (Power) Aplicações Frequências de palavras em textos longos, tamanho de cidades, tamanhos de arquivos na Internet que usam o protocolo TCP (muitos pequenos alguns grandes), tamanho de grãos de areia, tamanho de meteoritos, etc. A função densidade de probabilidade função Poder é dada por: α f (x) 0 α x α se 0 x / c.c.

14 Parâmetros Exemplos O parâmetro α > 0 é o de escala e > 0 o de forma. O intervalo de variação é: 0 x / Notação: P o (α; ),5 Po(: ) P(,5: ), Po(: 0,5) Po(,5: 0,5) 0,9 0,,,,5,7,9,,,5 A função de distribuição Exemplos A função F(x) é dada pela seguinte expressão relativamente simples:,0 0 F(x) ( x) α se x < 0 se x / se x > / Po(: ) P(,5: ) 0, Po(: 0,5) Po(,5: 0,5),,,5,7,9,,,5 Valor Esperado A variância A expectância ou valor esperado de uma Distribuição de Pareto é dada por: α µ E(X) ( α + ) A Variância da Distribuição de Pareto é dada por: σ V(X) α ( α+ ) ( α + ) 4

15 Solução Considerando uma P o (α; ), determinar: () A moda; µ o 0 γ se α > se α < () A mediana; () A assimetria; γ (4) A curtose. γ α( α + ) Geração Para gerar valores de uma P o (α; ), deve-se fazer: U / α X Gerar 0000 valores de uma P(; 0,). Fazer um diagrama dos resultados e calcular as seguintes medidas: média, desvio padrão, moda, mediana, assimetria e curtose tanto para os dados quanto para o modelo. Logística A distribuição Logística apresenta normalmente duas expressões. Uma denominada de fórmula geral e outra de forma padrão. 5

16 A distribuição Logística é derivada do trabalho de Verhulst, Professor de Análise na Faculdade Militar Belga. Ele a utilizou para modelar o crscimento da população na Bélgica no início de 800. Pierre François Verhulst ( ) A expressão geral da Logística é dada por: Ou Forma geral f (x) f (y) e [+ e (x α) / ( / ) e [+ e ] ( x α) / y y ] para x R, > 0 x para x R, y α Parâmetros Forma padrão Os parâmetros são α (de localização) e > 0 (de escala). Notação: L(α; ) Intervalo: R A função densidade de probabilidade da Logística padrão é dada por: Ou f (x) x e [+ e f (x) [+ e x ] ] x para x R para x R Fdp L(0; ), L(-,), L(-, 0,5) e L(, ),0 L(0;) L(-; ) L(-; 0,5) L(; ) 0, Suponha que X tem uma distribuição de Pareto com α. Mostre que Y ln(x - ) tem uma distribuição Logística Padrão. 6

17 A FDA A FD da Logística é: e F(x) + e Ou F(x) + e Ou ainda: F(y) + e (x-α)/ (x-α)/ para x R, > 0 -(x-α)/ parax R, > 0 x -α paray R,y -y A FDA da Logística,0 0, Valor Esperado A Variância A expectância ou valor esperado da Distribuição Logística é dado por: A Variância da Distribuição Logística é dada por: µ E(X) α σ π V(X) Solução Considerando uma L(α; ), determinar: () A moda; () A mediana; () A assimetria; (4) A curtose; (5) O coeficiente de variação µ µ o µ e α γ 0 γ 6 / 5 4, π γ α π α 7

18 Geração Valores de uma distribuição logística de parâmetros α e podem ser obtidas por: U L( α; ) α + ln U Gerar 0000 valores de uma L(-; 5). Representar os resultados graficamente e calcular todas as principais medidas. Cauchy A distribuição de Cauchy apresenta normalmente duas expressões. Uma denominada de fórmula geral e outra de forma padrão. A distribuição de Cauchy também denominada de Lorentziana é a distribuição do quociente de variáveis normais padrão independentes. Baron Augustin Louis Cauchy ( ) Entre os físicos ela é conhecida como distribuição de Lorentz ou de Breit-Wigner. Ela é importante por que é a solução de uma equação diferencial que descreve a ressonância forçada. 8

19 Forma geral Parâmetros A expressão geral da distribuição de Cauchy é: f (x), x α π + Ou f (x) π[, + (x α) ] > 0 > 0 Os parâmetros são α que é de localização e que é o de escala. Se α 0 e, então tem-se a distribuição de Cauchy Padrão. Forma Padrão Exemplos A função densidade de probabilidade da Cauchy Padrão é dada por: 0,7 0,5 0, C(-; 0,5) C(0; ) C(,5; ) C(; ) f (x) π(+ e x ) para x R 0, , A função de distribuição FDA da Cauchy Padrão,0 A FD da Cauchy é: x - α F (x) + arctg parax R, > 0 π 0,

20 Valor Esperado A distribuição de Cauchy não tem valor esperado, i.e. média e assim não tem variância e demais características. Considerando uma C(α; ), determinar: () A moda; () A mediana; () A assimetria; (4) A curtose; (5) O coeficiente de variação Solução Geração µ o µ e α Para gerar valores de uma Cauchy Essa distribuição não apresenta de parâmetros α e : momentos finitos. A média e o desvio padrão podem ser assumidos como C( α ; ) {tg[ π(u 0,5)]} + α sendo α e respectivamente. Gerar 0000 valores de uma C(; ). Representar os resultados graficamente e calcular todas as principais medidas. Laplace 0

21 A distribuição de Laplace se origina da diferença entre duas VA exponenciais IID. É um movimento Browniano avaliado em um tempo aleatório exponencialmente distribuído. Pierre Simon Marquis de Laplace (749-87) A distribuição é conhecida também pelo nome de Exponencial Dupla, embora esse nome também seja aplicado a Distribuição de valores extremos. É conhecida ainda por Exponencial de Dupla Cauda e Exponencial Bilateral. Forma geral Parâmetros A expressão da distribuição de Laplace é: f (x) exp x - α x α e > 0 Os parâmetros são α que é de localização e que é o de escala. Forma padrão Se α 0 e então a distribuição de Laplace assume a forma. x e f (x) para x R Essa distribuição é, às vezes, denominada de primeira lei do Erro de Poisson. Exemplos,0 La(-; 0,5) La(0; ) La(,5; ) La(; ) 0,

22 A função de distribuição A FDA da Laplace Padrão A FD da Distribuição de Laplace é: x - α exp F(x) x - α exp se x α se x > α,0 La(-; 0,5) La(0; ) La(,5; ) La(; ) 0, Valor esperado A variância A Expectância da Distribuição de Laplace é dada por: µ E(X) α A Variância da Distribuição de Laplace é dada por: σ V(X) Solução Considerando uma Lp(α; ), determinar: µ µ o µ e α () A moda; γ 0 () A mediana; () A assimetria; (4) A curtose; (5) O coeficiente de variação γ γ α α

23 Geração L( α; ) α sgn(u) ln( u ) Onde U é uma uniforme no intervalo (-0,5; 0,5]. Gerar 0000 valores de uma La(-; ). Representar os resultados graficamente e calcular todas as principais medidas. Gumbel A distribuição de Gumbel é também conhecida como distribuição de Valores Extremos, log-weibull ou Fisher-Tippet. Seu nome é uma homenagem a Emil J. Gumbel. Emil Julius Gumbel (89-966) Leonard Henry Caleb Tippett(90-985) A distribuição tem duas formas. Uma é baseada no menor extremo e a outra no maior. Elas são denominadas de casos mínimo e máximo respectivamente. A distribuição é utilizada na Indústria em aplicações de Controle de Qualidade. Nas ciências ambientais é utilizada para modelar valores extremos associados com enchentes e precipitações pluviométricas.

24 Forma geral A expressão da distribuição de Gumbel (caso mínimo) é: f (x) x - α exp exp - e x-α > 0 A expressão da distribuição de Gumbel (caso máximo) é: f (x) x - α exp exp - e x-α > 0 Parâmetros Os parâmetros são α que é de localização e que é o de escala. Forma padrão Exemplo - Mínimo Se α 0 e então a distribuição de Gumbel assume a forma. y -e f (y) e e y para y R x - α onde y 0, G(-0,5; 0,5) G(0; ) G(0,5;,5) G(: ) Exemplo - Máximo A função de distribuição 0,7 0,5 G(-0,5; 0,5) G(0; ) G(0,5;,5) G(: ) 0, 0, 0, -0, A FDA da Distribuição de Gumbel é: F(x) Ou F(x) exp e x α e e y para> 0 x -α onde y 4

25 FDA de Gumbel - Mínimo FDA de Gumbel - Máximo,0 0,9 0,7 0,5 0, 0, 0, G(-; 0,) G(-0,5; 0,5) G(0; ) G(0,5;,5) G(; ) ,0 0,9 0,7 0,5 0, 0, 0, G(-; 0,) G(-0,5; 0,5) G(0; ) G(0,5;,5) G(; ) Valor esperado A expectância ou valor esperado da Distribuição de Gumbel é: ' µ E(X) α + Γ () α γ Onde Γ () é a derivada de Γ(n) quando n, isto é, Γ() -0,5776 γ constante de Euler. Variância A Variância da Distribuição de Gumbel é dada por: ( π) σ V(X) 6 Considerando uma G(α; ), determinar: () A moda; () A mediana; () A assimetria; (4) A curtose; (5) O coeficiente de variação Solução µ e α + [ln(ln( ))] α 0, 665 µ o α µ,4044 γ,95 µ ( π) π γ ( π) 6 µ 4 γ 0 5,4 4 ( ) µ π 6 π α,46 5

26 Geração Valores da distribuição de Gumbel podem ser gerados através do método da inversão: G( α; ) α + ln ln U Gerar 0000 valores de uma G(-; ). Representar os resultados graficamente e calcular todas as principais medidas. Rayleigh A distribuição de Rayleigh pode ser obtida através de duas componentes ortogonais normalmente IID. O valor absoluto (p. e. velocidade do vento) terá uma distribuição de Rayleigh. John William Strutt(Lord) RAYLEIGH (84-99) Se for tomado um número complexo ao acaso com as componentes real e imaginária normalmente IID o valor absoluto terá uma distribuição de Rayleigh. χ Se, então R() ~ ; A χ é uma generalização da Rayleigh; A Weibull é, também, uma generalização da Rayleigh. 6

27 Forma Geral Parâmetros A expressão da distribuição de Rayleigh é: O modelo apresenta um parâmetro de escala > 0. x x f (x) exp se x 0, > 0 Notação: R() Intervalo: [0; ) Exemplo A FDA,4, R(0,5) R() R(,5),0 R() 0,,0,0,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 A FDA da Distribuição de Rayleigh é: x F(x) exp se x 0, > 0 A FDA Valor Esperado,0 0,9 0,7 R(0,5) R() 0,5 R(,5) R() 0, 0, 0,,0,0,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 A expectância ou valor esperada da Distribuição de Rayleigh é dado por: π µ E(X) 7

28 A Variância A Variância da Distribuição de Rayleigh é dada por: σ V(X) π (4 π) Considerando uma R(), determinar: () A moda; () A mediana; () A assimetria; (4) A curtose; (5) O coeficiente de variação Solução Geração µ o π ( π ) µ γ / µ π γ µ e ln(0,5), 86 π π 6 π 4π + 6 γ (4 π) 5 4 π 0,57 π A geração de valores dessa distribuição é feita através de uma qui-quadrado. U [ ln(u) ] Gerar 0000 valores de uma R(). Representar os resultados graficamente e calcular todas as principais medidas. Triangular 8

29 A distribuição triangular é utilizada para descrever populações onde poucos dados são conhecidos. É baseada no conhecimento do mínimo, máximo e uma idéia da moda. Apesar de ser simples é utilizada para modelar processos onde o relacionamento entre as variáveis é conhecido, mas a disponibilidade de dados é pequena (em virtude do custo de obtenção). É utilizada como uma alternativa da Beta no PERT, CPM e formas semelhantes de gerenciamento de projetos. Também na modelagem da exploração de gás e petróleo. dada por: Forma Geral A expressão da fdp da Triangular é f (x) (x a) (b a)(c a) (b x) (b a)(b c) 0 se a x c se c < x b c.c. Parâmetros Exemplo O modelo apresenta três parâmetros. Um de localização a. Um de escala b > a e um parâmetro de forma c tal que a c b. Notação: T(a, c, b).,0 0,

30 Exemplo A FDA A FD de Distribuição Triangular é: 0, (x a) (b a)(c a) F(x) (b x) (b a)(b c) se x < a se a x c se c < x b se x > b Representação gráfica Valor esperado,0 0, A expectância ou valor esperado da Distribuição Triangular é dado por: a + b + c µ E(X) -,0 -,5 -,0-0,5 0,5,0,5,0 A variância A Variância da Distribuição Triangular é dada por: a + b + c ab ac bc σ V(X) 8 Considerando uma T(a, b, c), determinar: () A moda; () A mediana; () O coeficiente de variação (4) A assimetria; (5) A curtose. 0

31 Solução µ c o a + µ e b (b a)(c a) (b c)(b + c a) se c b - a se c < b - a γ γ a + b + c (ab + ac + bc) 6(a + b + c) γ 5 (a + b c)(a b c)(a b + c) 5(a + b + c ab ac bc) / Geração A geração de valores de uma distribuição triangular é obtida através do seguinte algoritmo: Se U Senão (c - a)/(b - a) então X a + X b - U(b - a)(c - a) (- U)(b - a)(b - c) Gerar 0000 valores de uma T(0; 0,75; ). Representar os resultados graficamente e calcular todas as principais medidas.