Variável Aleatória Contínua. Tiago Viana Flor de Santana

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1 ESTATÍSTICA BÁSICA Variável Aleatória Contínua Tiago Viana Flor de Santana sala 07 Curso: MATEMÁTICA Universidade Estadual de Londrina UEL Departamento de Estatística DSTA

2 Variável Aleatória Contínua 1 Introdução 2 Função distribuição acumulada 3 Função densidade de probabilidade Exercícios 4 Esperança e variância matemática Exercícios Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 2 / 34

3 Introdução Definição Uma função X, definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo valores num intervalo de números reais é dita uma variável aleatória contínua. X : Ω R ω X (ω) Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 3 / 34

4 Introdução Exemplos 1 Uma válvula eletrônica é instalada em um circuito, seja X o período de tempo em que a válvula funciona. X é uma v.a. contínua positiva (X 0); 2 Um navio petroleiro sofre um acidente no qual seu casco é rompido e o óleo é derramado. Seja Y a v.a. que determina a área atingida pelo óleo do navio; 3 A variação da bolsa de valores, pode ser representada por uma v.a. que assume valores reais; 4 A temperatura de um cidade; Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 4 / 34

5 Função distribuição acumulada Definição Dada uma v.a. contínua X, denomina-se função distribuição acumulada (fda) a função F, tal que F (x) = P(X x), x R. A fda satisfaz as seguintes propriedades: i. lim F (x) = 0; x ii. iii. lim F (x) = 1; x df (x) dx 0. Das propriedades i, ii e iii observa-se que F é monótona e limitada, 0 F (x) 1. Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 5 / 34

6 Função distribuição acumulada Exemplo Seja a fda Tem-se que 1 lim F (x) = 0; x 1 e x se x > 0; F (x) = 0, se x 0. 2 lim F (x) = lim (1 x x e x ) = 1; 3 df (x) dx = d dx (1 e x ) = e x > 0. Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 6 / 34

7 Exemplo 2 O ponteiro dos segundos de um relógio mecânico pode parar a qualquer instânte, devido a algum defeito técnico, ou térmico da bateria. Seja X o ângulo, em graus, que esse ponteiro forma com o eixo vertical passando pelo centro do mostrador. Conforme ilustração a seguir: Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 7 / 34

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9 1 Levando em consideração que o relógio é mecânico e portanto, o ponteiro salta 60 vezes para completar uma volta (60 segundos); 2 Admitindo que o ponteiro tenha probabilidade igual de parar em qualquer ponto do relógio; 3 Pode-se construir o modelo probabiĺıstico: X = x i p(x i ) 1/60 1/60 1/60 1/60 1/60 1/60 1/60 Note que 60 i=1 p(x i ) = = 1 Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 9 / 34

10 Considere agora, um relógio eletrônico. 1 Onde o ponteiro dos segundo se move continuamente; 2 E portanto, X pode assumir qualquer valor em [0, 360); 3 O ponteiro tem probabilidade igual de parar em qualquer ponto do relógio, ou seja, P(X = x) = p x A = [0, 360); 4 Então P(X = x) 1 x A Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 10 / 34

11 Como existem infinitos pontos nos quais o ponteiro pode parar, cada um com igual probabilidade. Não faz sentido falar na probabilidade de ocorrência de um ângulo particular, pois essa probabilidade será sempre igual a zero. Portanto, para determinar probabilidade no caso de v.a. contínua faz-se necessário a função densidade de probabilidade (fdp). Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 11 / 34

12 Definição Uma função f é dita função densidade de probabilidade (fdp) se satisfaz: ou ainda, f (x) = F (x) F (x + h) F (x) P(X x + h) P(X x) f (x) = lim = lim h 0 h h 0 h Portanto, = lim h 0 P(x X x + h) h f (x) = F (x) = lim h 0 P(x X x + h) h Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 12 / 34

13 f (x) = lim h 0 P(x X x + h) h 1 A interpretação da fdp é análoga a densidade quando na construção do histograma. 2 O valor f (x) informa a concentração de probabilidade no ponto, ou seja, f fornece indicação sobre a probabilidade de ocorrência da v.a. X. 3 Não se deve confundir f (x) com a probabilidade de ocorrerência de X em torno do ponto x. Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 13 / 34

14 Propriedades i. f (x) 0 x R, pois F (x) é uma função crescente monótona; ii. f (x)dx = 1, pois F (x)dx = lim F (t) lim F (t) = 1 0 = 1 t t iii. b a b a f (x)dx = P(a X b), pois F (x)dx = F (b) F (a) = P(X b) P(X a) = P(a X b) Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 14 / 34

15 Exemplo 2 cont.: A fda adequada para esse exemplo é F (x) = 0, se x < 0; x/360 se 0 x < 360; 1, se x 360. Derivando F (x) obtém-se a fdp f (x) = 0, se x < 0; 1/360 se 0 x < 360; 0, se x 360. Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 15 / 34

16 Cujo gráfico é apresentado abaixo e a probabilidade de X estar entre a e b, indicada pela região hachurada f(x) 1/360 b a a b 360 x P(a X b) = b a f (x)dx = b a dx = b a 360. Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 16 / 34

17 Dessa forma, podemos por exemplo, calcular a probabilidade de o ponteiro parar entre os números XII e III do relógio. P(0 X 90) = = 1 4. Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 17 / 34

18 1 Teoricamente qualquer função que satisfaça as propriedades f (x) 0 e f (x)dx = 1 é uma fdp de uma v.a. contínua; 2 A v.a. fica completamente definida pela sua fdp; 3 Dada a fdp de uma v.a. obtém-se a sua fda e vice-versa. Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 18 / 34

19 Exemplo 3 Seja a função Função densidade de probabilidade f (x) = 0, se x < 0; 2x se 0 x < 1; 0, se x 1. Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 19 / 34

20 Exemplo 3 Seja a função Função densidade de probabilidade f (x) = 0, se x < 0; 2x se 0 x < 1; 0, se x 1. f(x) 2 0 1/2 1 x Note que: f (x) 0, x R e Portanto, f representa a fdp de uma v.a. contínua X. f (x)dx = 1 Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 19 / 34

21 E pode-se, por exemplo, calcular a probabilidade de X estar entre dois pontos quaisquer a e b. P(a X b) = Fazendo a = 0 e b = 1/2, tem-se b P(0 X 1/2) = a 2x dx = b 2 a 2 1/2 0 2x dx = 1 4 Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 20 / 34

22 A fda pode ser obtida integrando f, obtendo F (x) = 0, se x < 0; x 2 se 0 x < 1; 1, se x 1. F(x) x Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 21 / 34

23 Exemplo 3 Dada a função 2e 2x se x > 0; f (x) = 0, se x 0. a) Mostre que esta é uma fdp; b) Calcule a probabilidade de X > 10. Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 22 / 34

24 Exercícios Exercícios para o lar 2,3 e 4 página 172 1) Uma v.a. X tem distribuição triangular no intervalo [0, 1] se sua fdp for dada por 0, x < 0; Cx, se 0 x 1/2 f (x) = C(1 x), 1/2 x 1 0,, x > 1. a) Qual valor deve ter a constante C? b) Faça o gráfico de f (x). c) Determine P(X 1/2), P(X > 1/2) e P(1/4 X 3/4) Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 23 / 34

25 Exercícios 2) Suponha que estamos atirando dardos num alvo circular de raio 10cm, e seja X a distância do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A fdp de X é { kx, 0 x < 10; f (x) = 0,, caso contrário. a) Qual a probabilidade de acertar o centro do alvo, se esse for um círculo de 1cm de raio? b) Mostra que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico é proporcional à sua área. Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 24 / 34

26 Exercícios 3) Encotre o valor da constante c se { c/x 2, x 10; f (x) = 0,, x < 10 for uma densidade. Encontre P(X > 15). Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 25 / 34

27 Esperança e variância matemática Definição A esperança matemática de uma v.a contínua X é obtida calculando E(X ) = xf (x)dx Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 26 / 34

28 Esperança e variância matemática Exemplo 4 A esperança para o exemplo do relógio elétrico é dada por E(X ) = x dx = [ x 2 ] 360 = ou seja, espera-se que o ponteiro dos segundos pare em média na posição 180 (número VI ). Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 27 / 34

29 Esperança e variância matemática Definição A variância de uma v.a. X é obtida da expressão Var(X ) = E ou de forma mais simples { [ x E(X ) ] 2} = Var(X ) = E(X 2 ) E 2 (X ) [ x E(X ) ] 2 f (x)dx Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 28 / 34

30 Esperança e variância matemática Exemplo 5 A variância para o exemplo do relógio, cuja E(X ) = 180, pode ser obtida a partir da expressão como Var(X ) = E(X 2 ) E 2 (X ) então E(X 2 ) = x dx = [ x 3 ] 360 = Var(X ) = = ou ainda DP(X ) = Var(X ) = = 103, 923 Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 29 / 34

31 Esperança e variância matemática Resumindo: Segundo o modelo teórico, espera-se que o ponteiro dos segundos do relógio pare em média na posição 180 com desvio padrão de 103, 923. Logo, um intervalo centrado na média e com dois desvios de amplitude é dado por: E(X ) ± DP(X ) = [76 ; 284 ] com probabilidade de ocorrência de P(76 X 284) = = 58% Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 30 / 34

32 Esperança e variância matemática Exemplo 3 Cont.: Dada da fdp 2e 2x se x > 0; f (x) = 0, se x 0. a) Determine a fda; b) Calcule a E(X ), Var(X ) e o DP(X ). Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 31 / 34

33 Esperança e variância matemática a) A fda é dada por F (x) = f (x)dx = 2e 2x dx = c e 2x, e sabendo que lim F (x) = 1 x lim ( c e 2x ) = 1 c = 1. x Logo 1 e 2x se x > 0; F (x) = 0, se x 0. Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 32 / 34

34 Esperança e variância matemática b) A E(X ) é dada por E(X ) = e E(X 2 ) é dada por xf (x)dx = 0 x2e 2x dx u=e 2x = 1 1 ln(u)du = 1 2 2, 0 E(X 2 ) = x 2 f (x)dx = x 2 2e 2x dx u=e 2x = 1 1 ln 2 (u)du = 1 4 2, 0 portanto a Var(X ) é Var(X ) = E(X 2 ) E 2 (X ) = = 1 4 Assim a E(X ) = 1/2 e a Var(X ) = 1/4. Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 33 / 34

35 Esperança e variância matemática Exercícios Exercícios para o lar 5,8,9 e 10 página 177 e 178. Prof. o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA BÁSICA 34 / 34