Cálculo II (Primitivas e Integral)

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1 Cálculo II (Primitivas e Integral) Antônio Calixto de Souza Filho Escola de Artes, Ciências e Humanidades Universidade de São Paulo 19 de março de 2013

2 1 Aplicações de Integrais 2

3 subject Aplicações de Integrais 1 Aplicações de Integrais 2

4 Seja f uma função com as seguintes propriedades: 1. f é positiva 2. f é normalizada no intervalo de extremos a < b A função integral F (x) = x a f (t)dt é denominada função de probabilidade. Por exemplo, vimos que a função f (x) = x 2 3 no intervalo [ 1, 2] é normalizada. Sendo f positiva, então F (x) = x é uma função de probabilidade no intervalo [ 1, 2].

5 A função de probabilidade traz uma série de definições no contexto do cálculo de probabilidades, assim, se F é uma função de probabilidade, o argumento x da função é denominado variável aleatória e a função f função densidade de probabilidade. Fixado um valor para x, por exemplo, x 0, a imagem F (x 0 ) representa a probabilidade de ocorrer o evento a x x 0. De acordo com a definição de f, sendo positiva, a função de probabilidade permite calcular a probabilidade de ocorre o evento m x n, que será F (n) F (m), este valor pode ser interpretado como uma composição de áreas e F (n) F (m) = n m f (x)dx.

6 No exemplo f (x) = x 2 3, caso x seja uma variável aleatória, podemos calcular a probabilidade de x ser positivo. Esta probabilidade será P(x > 0) = 2 0 x 2 3 dx = 8 9. Nessas condições, em geral podemos nos perguntar qual seria o valor esperado para x?

7 Seja f uma função densidade de probabilidade associada a variável aleatória x. O valor esperado para x é dado por: E(x) = b a xf (x)dx. No exemplo, f (x) = x 2 3, E(x) = 2 1 x x 2 3 dx = 2 1 x 3 3 dx = 1 12 (24 ( 1) 4 ) = 5 4

8 Uma outra informação útil que podemos obter é a variância de uma variável aleatória x, que é dada pela integral V (x) = b a (x E(x))2 f (x)dx. A interpretação de V (x) está relacionada a variação quadrática acumulada dos valores da variável aleatória x em relação a E(x). No exemplo, f (x) = x 2 3 no intervalo [ 1, 2], teremos V (x) = 2 1 (x 5 4 )2 x 2 3 dx

9 A seguinte propriedade auxilia no cálculo de V (x) Propriedade V (x) = b a x 2 f (x)dx (E(x)) 2 Com efeito, pela definição V (x) = b a (x E(x))2 f (x)dx, desenvolvendo o quadrado a integral fica: V (x) = b a (x 2 2xE(x) + (E(x)) 2 )f (x)dx = b a x 2 f (x) b a 2E(x) xf (x)dx + b a (E(x))2 f (x)dx, aplicando as propriedades de integral, sendo E(x) uma constante, obtemos: V (x) = b a x 2 f (x) 2E(x) b a xf (x)dx + (E(x))2 b a f (x)dx. A integral do segundo termo é b a xf (x)dx = E(x) e o terceiro termo é b a f (x)dx = 1, porque f é normalizada. Assim, obtemos V (x) = b a x 2 f (x)dx 2E(x) E(x) + (E(x)) 2, logo V (x) = b a x 2 f (x)dx (E(x)) 2.

10 Observe, que segundo a definição de variância V (x) = b a (x E(x))2 f (x)dx, o valor V (x) é não negativo, pois f é positiva e portanto a integral é não negativa. Assim, segundo a expressão equivalente, podemos garantir que b a x 2 f (x)dx (E(x)) 2. Ademais, sendo V (x) não negativa definimos (V (x) o desvio padrão d, ou equivalentemente d 2 = V (x).

11 Com esta propriedade, podemos calcular V (x) = 2 1 (x 5 4 )2 x 2 3 dx = 2 1 x 2 f (x)dx (E(x)) 2, no qual E(x) = 5 4, f (x) = x 2 3. Assim A 1 = 2 1 x 2 f (x) = 2 1 x 4 x 5 3 dx = U(2) U( 1), U(x) = 15, obtemos b a x 2 f (x)dx = 11 5 e V (x) = 11 5 ( 5 4 ) = 51 80

12 1 + (f (x) 2 dx é Seja f uma função integrável. A integral L = b a definida como a comprimento da curva representada pelo gráfico de f no intervalo I de extremos a < b. Por exemplo, se desejamos calcular o comprimento da curva f (x) = 2x 3, no intervalo 2 < 5, temos f (x) = 2 e L = dx = 5(5 2) = 3 5. Este cálculo pode ser obtido geometricamente, observando que L é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 5 2 = 3 e f (5) f (2) = 2(5 2) = 6.

13 Ocorre que funções como f (x) = x 2, g(x) = x ou u(x) = e x, v(x) = ln(x) tem a integral b a 1 + (f (x) 2 dx, não trivial. No caso particular destes pares de função, o comprimento da parábola x 2 entre 1 e 5 é igual ao comprimento da raiz x entre 1 e 5. Analogamente o comprimento da exponencial e x entre 1 e 5 é igual ao comprimento da curva ln(x) entre 0 e ln(5). Este resultado é geral: Se u é a inversa de v, o comprimento da curva u(x) entre a e b é igual ao comprimento da curva v(x) entre v(a) e v(b)

14 . Aplicações de Integrais

15 O comprimento de uma curva, em geral exige a solução de integrais não triviais, por exemplo se f (x) = x 2, L = b a 1 + 4x 2 dx. Está integral pode ser resolvida a partir da integral 1 + x 2 dx. Uma primitiva é a função 1 2 (x x ln(x + x 2 + 1)).

16 Outra aplicação de integral é o cálculo do volume de um sólido de revolução. Fixada uma curva e um eixo, o sólido obtido pela revolução da curva em torno do eixo é denominado sólido de revolução. Se o eixo fixado é o eixo x, o volume do sólido, no intervalo I de extremos a < b é π b a (f (x))2 dx, da mesma forma, em torno do eixo y o volume é π b a (f 1 (x)) 2 dx, sendo f 1 a inversa de f.

17 Uma classe de funções cuja integral pode ser obtida por meio de uma fórmula são as funções do tipo f (x) = u (v(x)) v (x), neste caso, uma primitiva de f é a função U = u v. Tal afirmação é de verificação imediata, pois U (x) = (u(v(x)) = u (v(x)) v (x). Ocorre que nem sempre tal expressão fica evidente.

18 Integrais do tipo f (g(x))g (x)dx, podem ser resolvidas utilizando o método chamado de substituição. Assim a integral

19 A integral u (v(x))v (x)dx = u(v(x)) + C

20 Exemplo xe x 2 dx, como (e x 2 ) = 2xe x 2 estamos nas condições da integral, a menos do produto por 2. Podemos verificar 2xe x 2 dx é a mesma integral, porém nas condições que 1 2 da regra da cadeia. Assim xe x 2 dx = 1 2 e x 2 + C; 2x 1 2 dx = x 2 x C, aplicação imediata da x 2 x+3 regra da cadeia;

21 Exemplo xe x 2 dx, como (e x 2 ) = 2xe x 2 estamos nas condições da integral, a menos do produto por 2. Podemos verificar 2xe x 2 dx é a mesma integral, porém nas condições que 1 2 da regra da cadeia. Assim xe x 2 dx = 1 2 e x 2 + C; 2x 1 2 dx = x 2 x C, aplicação imediata da x 2 x+3 regra da cadeia;

22 Exemplo 3 dx, este caso é mais indireto. Inicialmente, observe 3x 2 +5x 2 que 3x 2 + 5x 2 = (3x 1)(x + 2). Assim a expressão 3 3x 2 +5x 2 A pode ser escrita na forma o MMC, temos: A 3x 1 + B x+2 = A(x+2)+B(3x 1) 3x 2 +5x 2 logo obtemos A = 9 7 e B = 3 3 3x 2 +5x 2 dx = 9 7(3x 1) dx + regra da cadeia. 3x 1 + B x+2? Calculando = (A+3B)x+(2A B) 3 = 3x 2 +5x 2 7. Assim 3 7(x+2) 3x 2 +5x 2, dx, basta utilizar a

23 Exemplo 3 dx, este caso é mais indireto. Inicialmente, observe 3x 2 +5x 2 que 3x 2 + 5x 2 = (3x 1)(x + 2). Assim a expressão 3 3x 2 +5x 2 A pode ser escrita na forma o MMC, temos: A 3x 1 + B x+2 = A(x+2)+B(3x 1) 3x 2 +5x 2 logo obtemos A = 9 7 e B = 3 3 3x 2 +5x 2 dx = 9 7(3x 1) dx + regra da cadeia. 3x 1 + B x+2? Calculando = (A+3B)x+(2A B) 3 = 3x 2 +5x 2 7. Assim 3 7(x+2) 3x 2 +5x 2, dx, basta utilizar a

24 Exemplo 3 dx, este caso é mais indireto. Inicialmente, observe 3x 2 +5x 2 que 3x 2 + 5x 2 = (3x 1)(x + 2). Assim a expressão 3 3x 2 +5x 2 A pode ser escrita na forma o MMC, temos: A 3x 1 + B x+2 = A(x+2)+B(3x 1) 3x 2 +5x 2 logo obtemos A = 9 7 e B = 3 3 3x 2 +5x 2 dx = 9 7(3x 1) dx + regra da cadeia. 3x 1 + B x+2? Calculando = (A+3B)x+(2A B) 3 = 3x 2 +5x 2 7. Assim 3 7(x+2) 3x 2 +5x 2, dx, basta utilizar a

25 Exercício 1 Calcule a integral 9 7(3x 1) dx + 3 7(x+2) dx 2 Determine (12x 3 4x)(3x 4 2x 2 + 1) 5 dx 3 Calcule a integral 2x 4 x 2 7x+12 dx

26 De forma análoga, a integração por partes é consequência da regra do produto de derivadas. Assim, se (uv) = u v + uv, então a função U = vu é uma primitiva da função f = u v + uv. Ocorre, porém, que o mais comum é a utilização indireta da expressão acima. Assim, se queremos calcular a primitiva de uma função tipo ab, ou seja, f (x) = a(x)b(x), um caminho é verificar se conhecemos a primitiva de uma delas, seja por exemplo a. Conhecemos uma função u, tal que, u = a. Caso a função f seja algum dos somandos da derivada (uv), então a(x)b(x) = u (x)v(x), portanto a função b = v, de modo que uma primitiva de f será a função ub b a. Nessas condições, tal função é fácil de ser obtida, pois basta calcular b, que em geral é obtida de forma direta.

27 Sejam f, g funções integráveis. f g = fg fg

28 Exemplo Vamos calcular ln(x)dx. Podemos interpretar ln(x) = 1 ln(x), de modo que f (x) = 1 e g(x) = ln(x), pois sabemos a integral de f (x) = 1. Assim, 1 ln(x)dx = xln(x) x 1 x dx = xln(x) x + C

29 Exercício 1 Calcule xln(x)dx 2 Calcule x 3 x 2 + 1dx

30 subject 1 Aplicações de Integrais 2

31 Sejam A e B conjuntos não vazios, tal que, A ou B sejam subconjuntos de um produto cartesiano. A função f : A B é uma função de várias variáveis. Recordamos que X Y = {(x, y), x X, y Y } é o produto cartesiano entre A e B, e um conjunto de pares ordenados. Se X = Y = R, o produto cartesiano X Y é denominado R 2, cuja representação geométrica é o plano cartesiano. X Y Z = {(x, y, z), x X, y Y } é o produto cartesiano (X Y ) Z, um conjunto de ternas ordenadas. Se X = Y = Z = R, o produto cartesiano X Y Z é denominado R 3, cuja representação geométrica é o espaço cartesiano de dimensão 3.

32 Sejam A e B conjuntos não vazios, tal que, A ou B sejam subconjuntos de um produto cartesiano. A função f : A B é uma função de várias variáveis. Recordamos que X Y = {(x, y), x X, y Y } é o produto cartesiano entre A e B, e um conjunto de pares ordenados. Se X = Y = R, o produto cartesiano X Y é denominado R 2, cuja representação geométrica é o plano cartesiano. X Y Z = {(x, y, z), x X, y Y } é o produto cartesiano (X Y ) Z, um conjunto de ternas ordenadas. Se X = Y = Z = R, o produto cartesiano X Y Z é denominado R 3, cuja representação geométrica é o espaço cartesiano de dimensão 3.

33 Exemplo Seja f : [0, 1] R 2, tal que, f (t) = (u(t), v(t)), sendo u, v : [0, 1] R, funções reais; f é uma função de várias variáveis. Por exemplo, se f (t) = (3t 4, 3 2t), a função f é uma curva plana. O gráfico de f é plano, além disso é um segmento de reta. Observe que neste caso podemos definir g : R R 2, g(t) = (3t 4, 3 2t). O gráfico de g é uma reta que contém o gráfico de f.

34 Exemplo Para obtermos o gráfico de f ou g, identificamos { x = 3t 4 (x, y) = (3t 4, 3 2t) e portanto y = 3 2t. Podemos obter uma relação funcional entre xey, ou seja algo do tipo y(x), sendo t comum às equações, y = 3 2t = 3 2 x+4 3 = 2 3 x + 1 3, que é a equação de uma reta, cujo coeficiente angular é 2 3 e que passa pelos pontos ( 4, 3) quando t = 0 e ( 1, 1) quando t = 1.

35 Exemplo f : [0, 1] R 3, tal que, f (t) = (u(t), v(t), w(t)) e u, v, w : R R é uma função de várias variáveis. Quando as funções u, v, w são contínuas, o gráfico de f é uma curva espacial.

36 Se jogamos dois dados, observamos as faces obtidas e somamos cada par de faces observadas, a função f : {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} N, tal que f (x, y) = x + y, f é de várias variáveis. Podemos perguntar qual a imagem de f?. y/x Pela tabela Im f = {2, 3, 4,, 11, 12}