Distribuições Contínuas. Estatística. 7 - Distribuição de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Contínuas UNESP FEG DPD

Transcrição

1 Estatística 7 - Distribuição de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Contínuas 7-

2 Distribuição Uniforme A variável aleatória contínua pode ser qualquer valor no intervalo [a,b] A probabilidade da variável cair num subintervalo é a mesma para qualquer outro subintervalo de mesmo comprimento. f f x) ( para a x b; ( x) b a para qualquer outro valor. E( X ) a + b ( b a) σ ( X ) 7-

3 Distribuição Exponencial Seja um fenômeno de Poisson de parâmetro λ (número de sucessos em um intervalo de tempo t, com µ λt) e T o intervalo decorrido entre dois sucessos consecutivos. A distribuição da variável aleatória T é uma Distribuição Exponencial. t f ( t) λe λ para t ; f para t <. ( t) E( T ) tf ( t) dt tλe λ t dt... σ ( ) [ ( )]. ( ). λ λ t T t E T f t dt t e dt... λ λ obs.: a Distribuição Exponencial não tem memória, daí ser usada para modelos de duração de vida que não desgastam com o tempo. λ 7-3

4 Distribuição Exponencial Exemplo: Um certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial com vida média de horas. Cada fusível tem um custo de R$, e, se durar menos de horas, existe um custo adicional de R$8,. a) Qual a probabilidade de um fusível durar mais de 5 horas? Como a vida média é de horas E( T ), λ λ A probabilidade do fusível durar mais de 5 h será P( X > 5) 5 λe e λt dt λt [ e ] ( e,5 ) 5 e,5,3 b) Foi proposta a compra de uma outra marca que tem uma vida média de horas e um custo de R$5,. Considerando também a incidência do custo adicional, deve ser feita a troca de marcas? O custo adicional do fusível será C T C se t ; C T C+ C se t <. Para a primeira marca o custo esperado será E C ) C. P( X ) + ( C + C). P( X (/).. e + ( + 8).( e ( T. e + 8( e Para a segunda marca o custo esperado será < ) ) (/). ), ,565 6,98. E( C T ) C. P( X ) + ( C + C). P( X < ) (/ ). (/ ). 5. e + 3.( e ) 5. e + 3.( e ) 5,58 + 4,539,57. Resp.: A primeira marca é mais econômica. 7-4

5 Distribuição Normal ou de Gauss - Distribuição super importante na Estatística! - Inúmeras variáveis encontradas na realidade distribuem-se segundo o modelo normal - É uma distribuição limite. Teorema do Limite Central: sob condições bastante gerais, uma variável aleatória resultante de uma soma de n variáveis aleatórias independentes, no limite, quando n tende a infinito, tem distribuição normal. f ( x) e πσ ( / ) x µ σ - < x < 7-5

6 Distribuição Normal ou de Gauss Como determinar a probabilidade de se obter um valor em dado intervalo: - integrando-se f(x) nesse intervalo (COMPLICADO!) - utilizar tabelas fazendo a seguinte transformação linear: z x µ σ µ σ ( Z) ( Z) P( Z z ) P( µ X x ) Observações: - Condição de aproximação para Normal:(Teorema do Limite Central) np 5 nq 5 - Correção da Continuidade: P( X k) P k X k + P( K X k) P k+ X k + 7-6

7 Distribuição Normal ou de Gauss Exemplo: Uma companhia embala em cada caixa 5 pires e 5 xícaras. Os pesos dos pires distribuem-se normalmente com média de 9 g e variância g. Os pesos das xícaras também são normais com média 7 g e variância 5 g. O peso da embalagem é praticamente g. a) Qual a probabilidade da caixa pesar menos de g? P peso do pires X peso das xícaras E peso da embalagem C peso da caixa completa 5 C E + P + X 5 i i i i ( C) ( E) + ( P) + ( X ) µ µ µ µ 5 i i 5 i ( ) ( ) ( ) ( ) i µ C µ E + 5µ P + 5µ X g 5 ( C) ( E) ( P) ( X ) σ σ + σ + σ 5 i i i ( ) ( ) ( ) σ E + 5σ P + 5σ X g i 7-7

8 Distribuição Normal ou de Gauss σ 5 z( ) , ( ) ( ) P Z, 83 P 9 C, 4977 ( ) PC<, 5+, 4977,

9 Distribuição Normal ou de Gauss b) Qual a probabilidade de uma xícara pesar mais que um pires numa escolha ao acaso? W P X ( ) ( ) ( ) EW E P E X 9 7 g ( ) ( ) ( ) σ W σ E + σ X + 5 5g σ 5 z(), 65 5 ( ) ( ) P, 65 Z P W, 397 ( ) PW<, 5, 397, 9 7-9

10 Distribuição Gama Usada para representar fenômenos limitados de um lado. Exemplos: - distribuição dos intervalos de tempos entre recalibrações de instrumentos - intervalos de tempos entre compras de um item estocado η λ η λ f ( x) x. e x Γ ( η) para x ; f ( x) o para x<. Γ( η) x η e x. dx se η éinteiro: Γ( η) ( η )! η λ η 3 λ 3 η 3 λ ( ) E X σ ( X ) η λ η λ 7-

11 Distribuição Beta Distribuições Contínuas Usada para representar fenômenos limitados de dois lados Exemplos: - distribuição da proporção da população entre o menor e o maior valor da amostra - distribuição dos tempos a serem gastos na execução de uma tarefa ( ) f x Γ Γ( γ + η) ( γ) + Γ( η) x γ ( x) η para $ x $ f( x ) para x < e x > 3, η 5 γ,5 η 5 γ 5 η,5 γ 5 η,5 γ,5,,,,5, E( X ) γ γ + η σ ( ) X γη ( γ + η) ( γ + η+ ) 7-

12 Distribuição Log-normal Usado quando o logarítmo da variável segue uma Distribuição Normal. f µ () ( / υ )( log x ) x e υx π para x fx ( ) para x< µ υ µ,3 υ µ υ ( ) E X σ e µ + υ / ( X) e ( e ) µ + υ υ 7-