Análise de Dados em Astronomia. 3. Distribuições de Probabilidades

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1 1 / Distribuições de Probabilidades Análise de Dados em Astronomia 3. Distribuições de Probabilidades Laerte Sodré Jr. AGA0505, 1o. semestre 2019

2 introdução aula de hoje 1 2 a distribuição uniforme 3 a distribuição normal ou gaussiana 4 o teorema do limite central 5 a distribuição binomial 9 a distribuição de Cauchy 10 a distribuição χ 2 11 a distribuição t de Student 12 distribuições em lei de potência 6 a distribuição de Poisson 7 a distribuição exponencial 8 a distribuição beta É provável que coisas improváveis aconteçam (Aristóteles) 2 / 24

3 3 / 24 clássicas uniforme binomial normal Poisson exponencial fauna estatística β, Cauchy, χ 2, F, Γ, t, Weibull,... astrofísica lei de potência Schecther log-normal...

4 distribuição uniforme distribuição uniforme (entre 0 e X): P(x X) = { 1 X, se 0 x X 0, de outro modo distribuição cumulativa: CDF(x) = x 0 1 X dx = x X média variância E(x) = X 0 x 1 X dx = X 2 σ 2 = E(x 2 ) E(x) 2 = X2 3 X2 4 = X / 24

5 5 / 24 distribuição normal ou gaussiana distribuição gaussiana: P(x µ, σ) = 1 [ exp 2πσ (x ] µ)2 2σ 2 2 parâmetros: média µ desvio padrão σ (ou variância σ 2 ) N(x; µ, σ) distribuição cumulativa: onde CDF(x) = = 1 2 [ x 1 + erf N(x ; µ, σ)dx = ( x µ 2σ )], erf(x) = 2 x e u2 /2 du π 0 é chamada de função erro

6 6 / 24 distribuição normal ou gaussiana distribuição gaussiana: P(x µ, σ) = 1 [ (x ] µ)2 exp 2πσ 2σ 2 distribuição cumulativa: [ ( )] CDF(x) = 1 x µ 1 + erf 2 2σ a área total sob a curva é 1 a área dentro de ±1σ é 0,68 a área dentro de ±2σ é 0.95 a área dentro de ±3σ é um resultado de 2σ teria apenas 5% de chance de ocorrer ao acaso

7 7 / 24 distribuição normal ou gaussiana Teorema do Limite Central: em condições bem gerais, fazer médias produz uma distribuição gaussiana, independentemente da distribuição a partir da qual os dados são gerados se x 1, x 2,..., x n é um conjunto de variáveis aleatórias com valor esperado µ finito e variância σ 2 finita, para N a soma dessas variáveis tende a uma distribuição gaussiana de média Nµ e variância Nσ 2 a variável y = N i=1 (x i µ) N i=1 σ2 tende a uma gaussiana de média nula e variância unitária uma consequência: os erros de médias de dados vão tender a ser gaussianos

8 8 / 24 distribuição normal ou gaussiana Teorema do Limite Central: em condições bem gerais, fazer médias produz uma distribuição gaussiana, independentemente da distribuição a partir da qual os dados são gerados exemplo: valores médios em Nsim simulações de 10 pontos com uma distribuição exponencial

9 9 / 24 distribuição binomial aplica-se quando há apenas dois resultados possíveis: sucesso/falha, detecção/não-detecção, cara/coroa dá a probabilidade de n sucessos em N tentativas a probabilidade de sucesso em cada tentativa é a mesma e designada por θ as sucessivas tentativas são independentes entre si ( ) N P(n θ, N) = θ n (1 θ) N n N! = n n!(n n)! θn (1 θ) N n média e variância: n = N np(n) = Nθ σ 2 = n=0 N (n n) 2 P(n) = Nθ(1 θ) n=0

10 10 / 24 distribuição binomial exemplo: em uma certa região do céu espera-se o mesmo número de estrelas e galáxias até uma certa magnitude considerando 10 objetos, qual é a probabilidade de se ter 8 ou mais galáxias? no caso: N = 10 e θ = 1/2 probabilidade de n 8 sucessos em N tentativas: P(n 8 θ, N) = = N n=8 N n=8 ( ) N θ n (1 θ) N n = n ( ) N = 56 n assim, a probabilidade de n 8 galáxias em N = 10 objetos é 5.5%

11 11 / 24 distribuição binomial

12 distribuição de Poisson probabilidade de n eventos ocorrerem num certo intervalo de tempo, ou em certa região do espaço, se estes eventos ocorrem independentemente e com uma média fixa média e variância: P(n µ) = µn n! e µ n = N n=0 np(n) = µ σ 2 = N n=0 (n n)2 P(n) = µ 12 / 24

13 13 / 24 distribuição de Poisson aplicações: contagens em detectores densidade de estrelas/galáxias explosões de supernovas variabilidade de AGNs...

14 14 / 24 distribuição de Poisson exemplo: em um detector, o número esperado de fótons de uma fonte é de 4.5 por segundo; qual é a probabilidade de se detectar 6 fótons em 2 segundos? taxa de fótons: λ = 4.5/sec número esperado no intervalo de tempo t: µ = λt probabilidade: P(n µ) = µn n! e µ = (4.5 2)6 e !

15 15 / 24 distribuição exponencial descreve o intervalo de tempo entre eventos que obedecem a um processo poissoniano, isto é, que ocorrem continuamente e independentemente, com uma taxa média constante, λ > 0: distribuição cumulativa: { 1 e CDF(x λ) = λx, se x 0 0, se x < 0 P(x λ) = média e variância: x = 1 λ { λe λx, se x 0 0, se x < 0 σ 2 = 1 λ 2

16 16 / 24 distribuição exponencial exemplo: a taxa de supernovas média em uma galáxia como a Via Láctea é de 1 em 50 anos a última supernova conhecida que explodiu na Via Láctea foi a de Kepler, em 1604 qual é a probabilidade de se esperar mais de 400 anos para se observar uma nova supernova? esta probabilidade é dada por ou, 0.03% t 0 λe λt dt = e λt 0 = = e 400/50 = e

17 17 / 24 a versátil distribuição beta função beta (0 < x < 1; a, b > 0): Beta(x; a, b) = Γ(a + b) Γ(a)Γ(b) xa 1 (1 x) b 1 propriedades: E(x) = a/(a + b) var(x) = ab/[(a + b) 2 (a + b + 1)] moda(x) = (a 1)/(a + b 2)

18 distribuição de Cauchy distribuição de Cauchy ou lorentziana: P(x µ, γ) = γ π[γ 2 + (x µ) 2 ] parâmetro de localização: µ parâmetro de escala γ como P(x) 1/x 2 para x >> 1, a média, variância e desvio padrão não existem ( caudas pesadas ) dada uma amostra {x i } com distribuição de Cauchy, µ e γ devem ser estimados com métodos robustos µ pode ser estimado pela mediana e γ pelo intervalo entre quartis: 2γ = q 75 q 25 se x e y são duas variáveis gaussianas independentes amostradas de N(0, 1), então z = x/y distribui-se como Cauchy com µ = 0 e γ = 1 18 / 24

19 distribuição do χ 2 dados: {x i }, i = 1, n: amostrados com N(µ, σ) sejam z i = x i µ σ e n Q = i=1 Q segue uma distribuição de χ 2 com k = n graus de liberdade: P(Q k) = χ 2 1 (Q k) = 2 k/2 Γ(k/2) Q k 2 1 e z 2 i Q 2 Γ(z) = 0 x z 1 e x dx Γ(n) = (n 1)! para n inteiro χ 2 (Q, k) depende de Q mas não diretamente de µ e σ onde Q > 0 e Γ(x) é a função Γ 19 / 24

20 20 / 24 distribuição do χ 2 χ 2 por grau de liberdade: χ 2 dof = χ 2 (Q/k k) estatísticas de χ 2 dof : média: 1 mediana: (1 2 9k )3 desvio padrão: 2/k skewnewss: 8/k curtosis: 12/k

21 distribuição t de Student dados: {x i }, i = 1, n: amostrados com N(µ, σ) a variável t = x µ σ s / N se distribui com uma pdf t com k = n 1 graus de liberdade note que t é baseado nas estimativas x e σ s, enquanto que o χ 2 é baseado nos valores verdadeiros µ e σ a distribuição t aparece na comparação da média de duas amostras 21 / 24

22 22 / 24 distribuição em lei de potência muito comum em Astronomia: exemplos: contagens de galáxias, função de massa inicial de Salpeter também muito comum em outras áreas: flutuações no mercado econômico, taxa de crescimento de empresas, distribuição de salários, etc N(> L): número de objetos ou eventos com uma dada propriedade medida (e.g. a luminosidade) maior do que um certo valor L se a distribuição for uma lei de potência com expoente γ, temos: ou N(> L) = KL γ+1 dn = (γ+1)kl γ dl (forma integral) (forma diferencial) essa é uma distribuição independente de escala, pois se f (x) = x γ, então f (ax) = a γ x γ = cte x γ = cte f (x), que é a definição de independência de escala

23 23 / 24 distribuição em lei de potência média e variância infinitas, a menos que limites sejam determinados: isso é o que ocorre na maioria dos casos concretos, pois sempre existem limitações físicas em ambos os lados da distribuição exemplo: a função de massa inicial de Salpeter (1955) ξ(m) = ξ 0 M 2.35 ξ(m)dm: número de estrelas nascidas com massas entre M e M + dm

24 24 / 24 exercícios 1 Jogue um dado honesto uma vez; quais são o valor médio e a variância esperados? 2 Se 60% das estrelas são binárias, qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 5 estrelas contenha a) 0, b) 1, c) 2, d) 3, e) 4 e f) 5 binárias? 3 Em um levantamento de quasares cobrindo 1000 graus quadrados no céu encontrou-se quasares. Se a distribuição projetada destes objetos for modelada como uma distribuição de Poisson, qual é a probabilidade de se observar menos que 5 objetos em uma certa área de 1 grau quadrado? 4 Sejam 0.5, 0.4 e 0.3 respectivamente as probabailidades de três estrelas explodirem como supernovas depois de um certo tempo t. Calcule a probabilidade de que em t: 1 nenhuma explodiu 2 todas explodiram 3 somente 1 não explodiu 4 pelo menos 1 não explodiu