PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES

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1 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/ Produção de Recursos Educacionais Digitais

2 Variável Aleatória Por definição uma variável aleatória pode ser entendida como sendo uma variável quantitativa, cujo resultado depende de fatores aleatórios. Exemplos: Número de coroas obtidos no lançamento de moedas; Número de defeitos de azulejo que sai da linha de produção; Tempo de resposta de um sistema computacional; Resistência ao desgaste de um tipo de aço, num teste padrão;

3 Variável Aleatória Uma variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais. Exemplo 1. (BARBETTA, pg 117) No lançamento de 2 moedas, o espaço amostral mais completo é Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}, enquanto que a variável aleatória número de coroas assume valores no conjunto {0, 1, 2}.

4 A relação entre os dois conjuntos, é esquematizada a seguir.

5 Variável Aleatória Uma variável aleatória pode ser: Discreta: onde os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável. Exemplo:

6 Variável Aleatória Uma variável aleatória pode ser: Contínua: onde os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais. Exemplo:

7 Variáveis Aleatórias Independentes Variável aleatória independente, pode ser entendida quando o conhecimento de uma variável não altera as distribuições de probabilidade das demais variáveis (X 1, X 2,, X n ). Para variáveis aleatórias independentes: V X + Y V X Y = V X + V(Y) = V X + V(Y)

8 Variáveis Aleatórias Independentes Exemplo 2. (MEYER), seja X e Y a duração da vida de dois dispositivos eletrônicos. Suponha que sua fdp conjunta seja dada por f x, y = e ;(x:y), x 0, y 0, por fatoração temos f x, y = e ;x e ;y, desta forma a independência de X e Y fica estabelecida.

9 Variáveis Aleatórias Independentes Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória discreta bidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatórias independentes se, e somente se: P x i, y j = p(x i )q(y j ) para quaisquer i e j. Portanto, P X = x i, Y = y j = P X = x i P(Y = y j ) para todo i e j

10 Variáveis Aleatórias Independentes Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória contínua bidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatórias independentes se, e somente se: f x, y = g x (x) para todo x e y, onde f é a fdp conjunta, e g e são as fdp marginais de X e Y, respectivamente.

11 Variável Aleatória Discreta

12 Variável Aleatória Discreta Teorema 1: Se X é uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidade f x. Definindo Y = u X a transformação um a um entre os valores de X e Y, então a equação y = u x pode ser unicamente resolvida por x em função de y, digamos x = w y. Então a distribuição de probabilidade de Y é g y = f w(y)

13 Variável Aleatória Discreta Teorema 2: Supondo que X 1 e X 2 são variáveis aleatórias discretas com distribuição de probabilidade conjunta f x 1, x 2, definindo a transformação um a um entre os pontos x 1, x 2 e y 1, y 2, então as equações y 1 = u 1 x 1, x 2 e y 2 = u 2 x 1, x 2, podem ser unicamente solucionadas para x 1 e x 2 em função de y 1 e y 2.

14 Variável Aleatória Discreta Onde: x 1 = w 1 (y 1, y 2 ) e x 2 = w 2 (y 1, y 2 ) Portanto a distribuição de probabilidade conjunta Y 1 e Y 2 é: g y 1, y 2 = f,w 1 y 1, y 2, w 2 y 1, y 2 -

15 Variável Aleatória Discreta Função de Probabilidade Se X for discreta, com valores {X 1, X 2, +, então a distribuição de probabilidade de X, pode ser apresentada pela função de probabilidade, a qual associa a cada valor possível X i a sua probabilidade de ocorrência p(x i ). Ou seja p x i = P(X = x i ) Satisfazendo: p x i 0. i p x i = 1

16 Variável Aleatória Discreta Função de Probabilidade Representação gráfica da distribuição de probabilidade da variável aleatória X, a qual representa o número obtido no lançamento de um dado comum.

17 Variável Aleatória Discreta Função de Distribuição Acumulada Por definição: F x = P X x, x R Assim, para todo x R, a função de distribuição acumulada descreve a probabilidade de ocorrer um valor até x. Exemplo:

18 Variável Aleatória Discreta Função de Distribuição Acumulada X = número obtido no lançamento de um dado comum. F x 0 se x < se 1 x se 2 x se 3 x se 4 x se 4 x 5 1 se x 6

19 Variável Aleatória Discreta Valor Esperado e Variância Valor esperado: k μ = E X = x j p j j<1 Variância: k σ 2 = V X = (x j μ) 2 p j j<1 Ou V X = E(X 2 ) μ 2

20 Variável Aleatória Discreta Valor Esperado e Variância Propriedades: a) E c = c b) E X + c = E X + c c) E cx = ce(x) d) E X + Y = E X + E Y f) V c = 0 g) V X + c = V X h) V cx = c 2 V(X) i) DP cx = c DP(X) e) E X Y = E X E(Y)

21 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Bernoulli A distribuição de Bernoulli tem somente 2 resultados possíveis: sucesso e fracasso. Onde: 0 p 1

22 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Bernoulli Função da probabilidade p(x) X p x p p total 1

23 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Bernoulli Função acumulada F(x) F X = 0 1 p 1 se x < 0 se 0 x 1 se x 1

24 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Bernoulli Esperança E(X) E X = p Variância V(X) V X = p. 1 p

25 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Bernoulli Exemplos. Lançamento de uma moeda: Caso obtenha-se uma cara: sucesso Caso obtenha-se uma coroa: fracasso A direção que segue um veículo em bifurcação (caminho A e B): Se segue o caminho A: sucesso Se segue o caminho B: fracasso

26 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Bernoulli Exemplo 3. Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X: nº de bolas verdes. Calcular E(X) e V(X). Solução X = *1 p = = 2 5 E X = p = 2 5 = 0, 4 bolas verdes V X = p 1 p = = 0, 24 bolas verdes2

27 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial Considere n experimentos independentes identicamente distribuídos, cada um com distribuição Bernoulli de parâmetro p. Se a variável de interesse x corresponde ao número de sucessos obtidos nestes n experimentos, então x é conhecida como uma variável aleatória binomial de parâmetros n e p. Onde: n é o número de ensaios independentes; e P (sucesso) = p, constante para todo ensaio 0 < p < 1

28 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial

29 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial Função da probabilidade p(x) p x = n x px (1 p) n;x x = 0,1, 2,, n Onde: n x = n! n x! x!

30 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial Função acumulada F(x) n i F x = P X x i = f(x i ) i<1

31 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial Esperança E(x) E X = n p Variância V(X) V X = n p(1 p)

32 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial Exemplos. Lançar uma moeda 5 vezes e observar o número de caras; Verificar o número de bits que não estão afetados por ruídos, em um pacote com n bits;

33 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial Representação gráfica com n = 5 e p = 0,5 E(X)=25

34 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial Exemplo 4. (DÍAZ) Um médico aplica um teste em dez alunos de um colégio, para detectar uma enfermidade cuja incidência sobre uma população de crianças é de 10%. A sensibilidade do teste é de 80% e a especificidade é de 75%. Qual a probabilidade de que 4 pessoas apresentem um resultado positivo? Dados: P E = 0,1 P(T : E) = 0,8 P(T ; E) = 0,75

35 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial Solução: Pelo Teorema da Probabilidade Total P(T : ) = P(T : E) P E + P(T : E) P E = O, 8 0,1 + 0,25 0,9 = 0,305 seja X 1 a v.a que contabiliza o número de resultados positivos, e chamando p 1 = P(T : ), então X segue uma distribuição binomial.

36 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial Portanto X 1 n 1 = 10, p 1 = 0,305 P X 1 = x = n 1 x p 1 x (1 p) n 1;x Logo a probabilidade de que o resultado do teste dê positivo para 4 pessoas é de: P(X 1 = 4) = ,3054 0,695 6 = 0, , 48%

37 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial Exemplo 5. (WALPOLE) A probabilidade de que um paciente se recupere de uma doença sanguínea rara é de 0,4. Se 15 pessoas contraíram essa doença, calcule: a) A probabilidade de que pelo menos 10 pessoas sobrevivam. b) A probabilidade de que 3 a 8 pessoas sobrevivam. c) A probabilidade de que exatamente 5 pessoas sobrevivam. d) A esperança. e) A variância.

38 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão a) P X 10 = P X = 10 + P X = P X = 15 Onde: p x = n x px (1 p) n;x

39 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial Portanto P x = ,410 (0,6) 5 = 0,0245 P x = ,411 (0,6) 4 = 7,42X10 ;3 P x = ,412 (0,6) 3 = 1,65X10 ;3 P x = ,413 (0,6) 2 = 2,54X10 ;3 P x = ,414 (0,6) 1 = 2,42X10 ;5 P x = ,415 (0,6) 0 = 1,07X10 ;6 p x = 0, , 61%

40 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão b) P 3 X 8 = P(X 8) P(X 3) P X = 8 + P X = P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 +P X = 0,P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 + P X = 0 -

41 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial Portanto P 3 X 8 = P X = 8 + P X = 7 + P X = 6 + P X = 5 + P X = 4 Onde: P x = ,48 (0,6) 7 = 0,12 P x = ,47 (0,6) 8 = 0,18 P x = ,46 (0,6) 9 = 0,21 P x = ,45 (0,6) 10 = 0,19 P x = ,44 (0,6) 11 = 0,13 p x = 0, 83 83%

42 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão c) p x = P X = ,45 0,6 10 = 0, , 6%

43 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial d) E X = n p 15 0,4 = 6 pessoas e) V X = n. p 1 p 15 0,4 1 0,4 = 3, 6 pessoas 2

44 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Hipergeométrica A distribuição hipergeométrica não necessita de independência e se baseia na amostragem feita sem reposição. O número X de sucessos de um experimento hipergeométrico é chamado de variável aleatória hipergeométrica.

45 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Hipergeométrica A distribuição de probabilidade de uma variável hipergeométrica é chamada de distribuição hipergeométrica, onde seus valores são denotados por (x, N, n, r). Onde: N: O número de itens na população. r: O número de itens na população que são classificados como sucessos. n: O número de itens na amostra. X: O número de itens na amostra que são classificados como sucesso.

46 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Hipergeométrica

47 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Hipergeométrica Função da probabilidade p(x) p x = r x N r n x N n,x = 0,1,, min r, n -

48 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Hipergeométrica Função acumulada F(x) F x = x i<0 r x N r n x N n

49 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Hipergeométrica Esperança E(x) E X = n p Variância V(X) V X = n p (1 p) N n N 1 Onde: p = r N

50 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Hipergeométrica Exemplo 6. (BARBETTA, pg 133) Placas de vidro são expedidas em lotes de 30 unidades. Antes que a remessa seja aprovada, um inspetor escolhe aleatoriamente 5 placas do lote e as inspeciona. Se nenhuma das placas for defeituosa, o lote é aprovado. Se uma ou mais forem defeituosas, todo lote é inspecionado. Supondo que haja 3 placas defeituosas no lote: a) Qual é a probabilidade de que o controle da qualidade aponte para a inspeção total? b) Encontre a esperança e variância.

51 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Hipergeométrica Solução: Seja X o número de placas defeituosas na amostra. P X 1 = 1 P(X = 0), então: a) p X = p ;3 5; = 80, ,506 = 0, 5665 Logo, P X 1 = 1 0,5665 = 0, , 35%

52 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Hipergeométrica b) E X = n p 5 0,1 = 0, 5 placas de vídeos V X = n p 1 p N;n N;1 5 0,1 0,9 0,86 0, 39 placas de vídeos2

53 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Hipergeométrica Exemplo 7. No fichário de um hospital, estão arquivados os prontuários de 20 pacientes, que deram entrada no PS apresentando algum problema cardíaco. Destes 5 sofreram infarto. Retirando se uma amostra ao acaso de 3 destes prontuários, qual a probabilidade de que dois deles sejam de pacientes que sofreram infarto?

54 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Hipergeométrica Solução: N = 20; r = 5; n = 3; x = 2 p X = = = 0, , 1%

55 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Poisson Propriedades 1- O número de resultados que ocorrem em um intervalo de tempo ou em uma região específica é independente do número de resultados que ocorre em outro intervalo de tempo disjunto ou região do espaço disjunta Processo de Poisson não tem memória.

56 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Poisson Propriedades 2- A probabilidade de que um único resultado ocorrerá durante um breve intervalo de tempo ou em uma região pequena é proporcional à extensão do intervalo de tempo ou ao tamanho da região, e não depende do número de resultados que ocorrem fora desse intervalo de tempo ou dessa região.

57 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Poisson Propriedades 3- A probabilidade de que mais de um resultado ocorrerá em um intervalo de tempo muito breve ou em uma região muito pequena é desprezível.

58 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é empregada quando se está interessado no número de sucessos ocorridos durante um intervalo contínuo (tempo, espaço, etc...). Exemplos: Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante certa hora do dia; O número de suicídios ocorridos em uma cidade durante um ano; Número de chegadas a um caixa automático de um banco durante um período de 15 minutos.

59 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Poisson Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se: 1. X = 0, 1, 2, (não tem limites) 2. P X = x = e λ λ x x!, x = 0, 1, 2, n. 3. E X = μ = λ 4. V X = σ 2 = λ

60 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Poisson Uma justificativa X= número de ocorrência em [t, t+1] n = intervalos de amplitude 1/n p = probabilidade de ocorrência em cada intervalo P X = x n x px 1 p n;x n p 0 n p λ >0

61 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Poisson Função da probabilidade p(x) p x = e;λ λ x x! x = 0, 1, 2

62 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Poisson Função acumulada F(x) F x = x i<0 λ i e λ i! para x = 0,1,2

63 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Poisson Esperança E(x) E X = λ Variância V(X) V X = λ Onde: E X = V X = λ

64 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Poisson Exemplo 8. (BARBETTA, pg. 135) Supondo que as consultas em um banco de dados ocorrem de forma independentes e aleatórias, com uma taxa média de 3 consultas por minuto. Calcule a probabilidade de que no próximo minuto ocorram menos do que 3 consultas.

65 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Poisson Solução: Seja X o número de consultas por minuto. p x = P X < 3 = p 0 + p 1 + p(2) e ; ! + e; ! + e; ! = 0, , 32%

66 Variável Aleatória Contínua

67 Variável Aleatória Contínua Teorema 1: Suponha que X é uma variável aleatória contínua, com distribuição de probabilidade f x. Definindo Y = u x a correspondência um a um entre os valores de X e Y, desse modo a equação y = u x pode ser unicamente resolvida para x em função de y, ou seja, x = w y. Portanto a distribuição de probabilidade de Y é g y = f w(y) J Onde J = w` y e é chamado de jacobiano da transformação.

68 Variável Aleatória Contínua Teorema 2: Seja X 1 e X 2 variáveis aleatórias contínuas, com distribuição de probabilidade conjunta f x 1, x 2. Considerando Y 1 = u 1 X 1, X 2 e Y 2 = u 2 (X 1, X 2 ) uma transformação um a um entre os pontos x 1, x 2 e y 1, y 2. Então a equação y 1 = u 1 x 1, x 2 e y 2 = u 2 (x 1, x 2 ) pode ser unicamente resolvida para x 1 e x 2 em função de y 1 e y 2. Onde x 1 = w 1 (y 1, y 2 ) e x 2 = w 2 (y 1, y 2 ) Portanto a distribuição de probabilidade conjunta de Y 1 e Y 2 é g = y 1, y 2 = f w 1 y 1, y 2, w 2 (y 1, y 2 J Sendo J o determinante 2x2

69 Variável Aleatória Contínua Função Densidade de Probabilidade As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória contínua X podem ser calculados pela função de densidade de probabilidade (f), que se define como uma função f: IR IR integrável que deve satisfazer duas propriedades. a) f x 0, x R : b) f x dx = 1 ; Se A = [a, b], então P A = f x dx b a

70 Variável Aleatória Contínua Função Onde Densidade de Probabilidade

71 Variável Aleatória Contínua Função Densidade de Probabilidade Exemplo 9. (BARBETTA, pg 144) Seja a variável aleatória T definida como o tempo de resposta na consulta a um banco de dados, em minutos. Suponha que essa variável aleatória tenha a seguinte função densidade de probabilidade: f t = 2e;2t, para t 0 0, para t < 0 Calcule a probabilidade de a resposta demorar mais do que 3 minutos P(T > 3)

72 Variável Aleatória Contínua Função Densidade de Probabilidade Solução : P T > 3 = f t dt = 2e ;2t dt 3 : e;2t 3 : = 0 + e ;2 3 = e ;6

73 Variável Aleatória Contínua Função de Distribuição Acumulada Por definição x F x = P X x = f s ds, x R ;

74 Variável Aleatória Contínua Função de Distribuição Acumulada Exemplo 10. (BARBETTA, pg 144) Considere a função de densidade de probabilidade do exemplo 9: f t = 2e;2t, para t 0 0, para t < 0 Solução: como a expressão matemática se altera no ponto zero, deve-se então considerar os dois seguintes casos:

75 Variável Aleatória Contínua Função de Distribuição Acumulada t ; t ; Para t < 0, F t = f s ds = 0ds = 0 t ; t ; Para t 0, F t = f s ds = 0ds = 0 + e ;2s 0 t = 1 e ;2t Dessa forma a função da distribuição acumulada da variável aleatória T é dada por: F t = 1 e;2t, para t 0 0, para t < 0

76 Variável Aleatória Contínua Valor esperado e Variância Valor esperado: : μ = E X = xf x dx ; Variância: σ 2 : = V X = (x μ) 2 f x dx ; ou V X = E(X 2 ) μ 2 Onde E(X 2 ) = x 2 f x dx : ;

77 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição uniforme Essa distribuição é caracterizada por uma função de densidade que é plana e, portanto, a probabilidade é uniforme em um intervalo fechado. exemplo:

78 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição uniforme Função de densidade de probabilidade f(x) f x = 1, β α para x,α, β- 0, para x,α, β-

79 Modelos de Distribuição Discreta Distribuição uniforme Função de densidade de probabilidade f(x)

80 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição uniforme Função de distribuição acumulada F(x) F x = 0, para x < α x α β α para α x < β 1 para x β

81 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição uniforme Função de distribuição acumulada F(x)

82 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição uniforme Esperança E(x) E X = α + β 2 Variância V(X) V X = (β;α)2 12

83 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição uniforme Exemplo 11. ( WALPOLE) Uma grande sala de conferências usada por certa empresa não pode ficar reservada por mais do que 4 hora. No entanto o uso da sala é tal que conferências longas e curtas ocorrem com muita frequência, então pode-se assumir que a duração X de uma conferência tem distribuição uniforme no intervalo [0,4]. a) Qual é a função de densidade de probabilidade? b) Qual é a esperança e a variância?

84 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição uniforme Solução: a) f x = x 4 0, caso contrário b) E X = μ = 2 conferências V X = σ 2 = = 4 3 conferências2 DP X = 1, 15 conferências

85 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição exponencial A distribuição exponencial descreve processos em que: Interessa saber o tempo até que ocorra determinado evento. O tempo que possa ocorrer desde qualquer instante dado t, até que isso ocorra em um instante t f, não depende do tempo transcorrido anteriormente no qual não ocorreu nada.

86 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição exponencial Exemplos: O tempo que pode transcorrer em um serviço de urgências, para a chegada de um paciente; O tempo (em minutos) até a próxima consulta a uma base de dados; O tempo (em segundos) entre pedidos a um servidor; O tempo (em metros) entre defeitos de uma fita.

87 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição exponencial Função de densidade de probabilidade f(t) f t = d dt F t = λe;λt, t > 0

88 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição exponencial Representação gráfica da função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória com distribuição exponencial.

89 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição exponencial Função de distribuição acumulada F(t) F t = P T t = 1 e λt

90 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição exponencial Esperança E(T) E T = 1 λ Variância V(T) V T = 1 λ 2

91 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição exponencial Exemplo 12. (BARBETTA, pg 152) O tempo de vida (em horas) de um transistor é uma variável aleatória T com distribuição exponencial. O tempo médio de vida do transistor é de 500 horas. a) Encontre a esperança e variância. b) Calcule a probabilidade de o transistor durar mais do que 500 horas.

92 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição exponencial a) E T = μ 500 = 1 λ = 2X10;3 horas V T = σ = 1 2 = 0, 0447 horas2 λ DP T = 0, 211 horas

93 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição exponencial Solução b) P T > 500 = 1 P T 500 F 500 = 1 e ;1 = 0, , 2%

94 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição Normal Uma distribuição normal é caracterizada por uma função de probabilidade cujo gráfico descreve uma curva em forma de sino. Essa forma de distribuição evidencia que há maior probabilidade de a variável aleatória assumir valores próximos do centro.

95 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição Normal Função de densidade de probabilidade f(x) f x = 1 σ 2π e; 1 2 x;μ σ 2, x ε IR

96 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição Normal Representação gráfica da função de densidade de probabilidade normal e indicação dos parâmetros μ e σ.

97 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição Normal Função de distribuição acumulada F(x) F x = P X x = f t dt x i ;

98 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição Normal Esperança E(X) E X = μ Variância V(X) V X = σ 2

99 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição Normal Diferentes distribuições normais em função dos parâmetros μ e σ.

100 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição Normal Padrão Distribuição de X: Normal com μ = 170 e σ = 10 Distribuição normal de z: normal padrão

101 Modelos de Distribuição Contínua Tabela de distribuição normal padrão

102 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição Normal Exemplo 13. (BARBETTA, pg 156) Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Pela tabela de distribuição normal padrão, encontre a probabilidade de P 0,42 < Z < 0,42.

103 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição Normal Padrão Solução Então, P 0,42 < Z < 0,42 = 1 2 0,3372 = 0, , 56%

104 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição Normal Exemplo 14. (BARBETTA, pg 159) Suponha que o tempo de resposta na execução de um algoritmo é uma variável aleatória com distribuição normal de média 23 segundos e desvio padrão de 4 segundos. Calcule a probabilidade de o tempo de resposta ser menor do que 25 segundos.

105 Modelos de Distribuição Contínua Distribuição Normal Solução Z = x μ σ Z = = 0,5 P 25 = P Z 0,5 1 0,3085 = 0, %

106 Modelos de Distribuição Contínua Aproximação normal à binomial Uma variável aleatória discreta com distribuição binomial, pode aproximar-se de uma distribuição normal, se: n é suficientemente grande; p não está muito próximo nem a 0 e nem a 1.

107 Modelos de Distribuição Contínua Aproximação normal à binomial Os parâmetros da distribuição normal devem-se identificar ao valor esperado e ao desvio padrão do modelo binomial. μ = np σ np(1 p

108 Modelos de Distribuição Contínua Aproximação normal à binomial

109 Modelos de Distribuição Contínua Aproximação normal à binomial Exemplo 15. (BARBETTA, pg 160) Historicamente, 10% dos pisos cerâmicos, que saem de uma linha de produção, têm algum defeito leve. Se a produção diária é de 1000 unidades, qual é a probabilidade de ocorrer mais de 120 itens defeituosos?

110 Modelos de Distribuição Contínua Verificando os parâmetros μ e σ μ = ,1 = 100 σ = 1000 (0,1) (0,9) = 90 Considerando então X uma variável aleatória normal com média μ = 100 e variância σ 2 = 90. Logo z = 120; = 2,11 Assim, P X > 120 = P Z > 2,11 = 0, , 74%

111 Modelos de Distribuição Contínua Exemplo 16. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em 10 lançamentos de uma moeda honesta? Pela binomial p x = 10 x (0, 5)x (0, 5) 10;x P X > 6 = p 7 + p 8 + p 9 + p 10 = 0, , 2%

112 Modelos de Distribuição Contínua Aproximação normal à binomial Exemplo 16. Pela normal

113 Modelos de Distribuição Contínua Aproximação normal à Poisson A aproximação de Poisson se aproxima da normal quando λ é grande, como o valor esperado e a variância de uma Poisson são ambos iguais a λ, então, na aproximação normal: μ = λ σ = λ

114 Modelos de Distribuição Contínua Aproximação normal à Poisson λ=1 λ=5 λ=20 Distribuição de Poisson para diferentes valores de λ

115 Modelos de Distribuição Contínua Gráfico de probabilidade normal O gráfico de probabilidade normal é adequado para verificar a suposição de um modelo normal para determinados dados.

116 Modelos de Distribuição Contínua Gráfico de probabilidade normal Exemplo 18. (BARBETTA, pg 165) Considerando 5 observações (74,0; 74,4; 74,7; 74,8; 75,9) Então:

117 Modelos de Distribuição Contínua Gráfico de probabilidade normal Exemplo 19. (BARBETTA, pg 166) Gráfico com 40 observações, com distribuição normal

118 Modelos de Distribuição Contínua Gráfico de probabilidade normal Exemplo 20. (BARBETTA, pg 166) Gráfico com 40 observações, com distribuição normal, mas com o efeito de um valor discrepante.

119 Referências BARBETTA, P. A. REIS, M. M. BORNIA, A. C. Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 3ª Edição. Atlas S.A. São Paulo - SP, COLCHER, Sérgio. Algumas Distribuições Discretas. Disponível em: < 7-Distribuicoes.pdf>. Acesso em: 17 de Outubro de DÍAZ, F. R. LÓPEZ, F. J. B. Bioestatística. Thonson. São Paulo SP, MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicação à estatística. 2ª Edição. LTC. Rio de Janeiro RJ, WALPOLE, R. E. et. al. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. 8ª Edição. Pearson. São Paulo SP, 2009.

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