Fernando Nogueira Simulação 1

Transcrição

1 Simulação a Eventos Discretos Fernando Nogueira Simulação

2 Introdução Simulação não é uma técnica de otimização: estima-se medidas de performance de um sistema modelado. Modelos Contínuos X Modelos Discretos Modelos Contínuos: estado do sistema muda continuamente em função do tempo. Utiliza-se geralmente equações diferenciais para descrever iterações entre diferentes elementos do sistema. Exemplo: crescimento de populações, circuitos eletrônicos, reações químicas, modelos econométricos,... Modelos Discretos: estado do sistema muda somente no instante que ocorre um evento, para todos os demais instantes de tempo, nada muda no sistema. Para isto, utiliza-se os conceitos de Filas. Exemplo: sistemas que podem ser modelados como filas de espera. Obs: este tipo de simulação é conhecido como Simulação a Eventos Discretos. Definição Genérica de Eventos Toda Simulação a Eventos Discretos descreve, diretamente ou indiretamente, situações de fila, em que clientes chegam, aguardam em fila se necessário e então recebem atendimento antes de deixar o sistema. Com isso, existem apenas dois eventos que controlam a simulação: chegadas e atendimentos. Fernando Nogueira Simulação

3 Exemplo: dois produtos são processados em duas máquinas em série, as quais possuem ampla área de buffer. Os eventos são: A: o produto chega na máquina. D: o produto deixa a máquina. A: o produto chega na máquina. D: o produto deixa a máquina. A: o produto chega na máquina. D: o produto deixa a máquina. A: o produto chega na máquina. D: o produto deixa a máquina. Nota-se que só existe eventos: chegada (A) de um produto em uma máquina e saída (D) de um produto de uma máquina. Os números e são atributos que caracterizam os eventos. obs: admitindo que um produto ao ser processado na máquina vai direto para a máquina, os eventos D e A são idênticos, assim como D e A. Amostragem a partir de Distribuições de Probabilidade Quando o intervalo t entre sucessivos eventos é probabilístico, faz-se necessário gerar amostra aleatórias a partir de uma distribuição de probabilidade f(t). Método Inverso seja F(x) P{y x} a Função de Distribuição de Probabilidade da variável aleatória x com Função Densidade de Probabilidade f(x) (contínua ou discreta), e R uma amostra aleatória a partir da Distribuição Uniforme (0,), x F - (R). Fernando Nogueira Simulação 3

4 t F ( x ) c o n t í n u a F ( x ) d i s c r e t a R R 0 x x 0 x x Exemplo: Distribuição Exponencial λt t λe R F f ( ) ( t) F t ( t) 0 λe λx dx e λt t ln λ λ ( R) ou t ln( R) Amostras de t a partir de Exponencial (lambda.5) Histograma Frequencia Amostra t Fernando Nogueira Simulação 4

5 Geração de Números Aleatórios com Distribuição Uniforme Como utilizar o computador digital, a mais precisa e determinística máquina concebida pelo homem, para produzir números aleatórios? Uma vez que qualquer programa vai produzir uma saída inteiramente previsível, a geração de números aleatórios em um computador representa uma impossibilidade conceitual. A única maneira prática consiste em utilizar operações aritméticas. Tais números não são verdadeiramente aleatórios e por isso são denominados Números Pseudo- Aleatórios. O método mais comum para gerar Números Pseudo-Aleatórios é: Método Congruente Multiplicativo Dado os parâmetros u 0 (semente), b, c e m, um número pseudo-aleatório R n pode ser gerado por: Exemplo : mod mod ((bu + ) u n mod n c),m,n,,... u n R n,n,,... m onde : ( x, y) x y*floor(x / ( x, y) x, para y 0 y), para y 0 b 9,c 5,u ((9 + 5), ) (( ), ) Fernando Nogueira Simulação 5 u R u R mod 8 mod , m 8 5

6 Simulação Monte Carlo Estimar a área de uma circunferência com equação (x-) + (y-) 5 Raio 5, área do quadrado 00, área exata da circunferência n0 7 6 n área 80% da área do quadrado área 78% da área do quadrado n000 área 78.4% da área do quadrado Fernando Nogueira Simulação 6

7 Mecanismo da Simulação a Eventos Discretos Evento Chegada. Gerar e armazenar cronologicamente o tempo de chegada do próximo cliente (tempo corrente + tempo entre chegadas).. Se a instalação de atendimento está ociosa a) Começar o atendimento e declarar a instalação de atendimento ocupada. Atualizar as estatísticas de utilização da instalação de atendimento. b) Gerar e armazenar cronologicamente o tempo de saída (término do atendimento) do cliente (tempo corrente + tempo de atendimento). 3. Se a instalação de atendimento está ocupada, colocar o cliente na fila e atualizar as estatísticas da fila. Evento Saída (Atendimento). Se a fila está vazia, declarar a instalação de atendimento ociosa. Atualize as estatísticas da instalação de atendimento.. Se a fila não está vazia a) Selecionar um cliente a partir da fila e coloca-lo na instalação de atendimento. Atualizar a fila e as estatísticas da instalação de atendimento. b) Gerar e armazenar cronologicamente o tempo de saída dos cliente. (tempo corrente + tempo de atendimento). Fernando Nogueira Simulação 7

8 Exemplo: O intervalo de tempo entre chegadas em uma barbearia é exponencial com média de 5 minutos e existe um único barbeiro que gasta entre 0 e 5 minutos uniformemente distribuídos para fazer uma barba. A disciplina da fila é FIFO e deseja-se )estimar a utilização média da barbearia, ) o número médio de clientes no sistema e 3) o tempo médio que um cliente aguarda na fila. Seja p e q amostras aleatórias dos tempos entre chegadas e de atendimento, respectivamente, então: p 5ln R em min. 0 R q 0 + 5R ( ) em min. 0 R Chegada do Cliente em T 0 Gerar chegada do cliente em T 0 + p 0 + [-5ln(.0589)] 4.48 min. Instalação de atendimento está ociosa em T 0, cliente começa a ser atendido. O tempo de saída é T 0 + q 0 + (0 + 5 x.6733) 3.37 min. A lista cronológica é: T Evento 3.37 saída do cliente 4.48 chegada do cliente Fernando Nogueira Simulação 8

9 Saída do Cliente em T 3.37 Porque fila está vazia, instalação é declarada ociosa. Declarar que a instalação de atendimento esteve ocupada entre T 0 e T 3.37 min. Atualizar a lista cronológica: T Evento 4.48 chegada do cliente Chegada do Cliente em T 4.48 Gerar chegada do cliente 3 em T p [-5ln(.4799)] min. Instalação de atendimento está ociosa em T 4.48, cliente começa a ser atendido e instalação é declara ocupada. O tempo de saída é T q (0 + 5 x.9486) 57. min. Atualizar a lista cronológica: T Evento chegada do cliente saída do cliente Chegada do Cliente 3 em T Gerar chegada do cliente 4 em T p [-5ln(.639)] 60.8 min. Instalação de atendimento está ocupada (até T 57.), cliente 3 é colocado na fila em T Atualizar a lista cronológica: T Evento 57. saída do cliente 60.8 chegada do cliente 4 Fernando Nogueira Simulação 9

10 Saída do Cliente em T 57. Cliente 3 é retirado da fila para começar atendimento. O tempo aguardado é W min. O tempo de saída é T (0 + 5 x.5933) 70.9 min. Atualizar a lista cronológica: Chegada do Cliente 4 em T 60.8 T Evento 60.8 chegada do cliente saída do cliente 3 Gerar chegada do cliente 5 em T p [-5ln(. 934)] 6.83 min. Instalação de atendimento está ocupada (até T 70.9), cliente 4 é colocado na fila. Atualizar a lista cronológica: T Evento 6.83 chegada do cliente saída do cliente 3 Chegada do Cliente 5 em T 6.83 Simulação é limitada para 5 chegadas, chegada do cliente 6 não é gerada. A instalação de atendimento está ocupada e então cliente é colocado na fila em T Atualizar a lista cronológica: T Evento 70.9 saída do cliente 3 Fernando Nogueira Simulação 0

11 Saída do Cliente 3 em T 70.9 Cliente 4 é retirado da fila para começar atendimento. O tempo aguardado é W min. O tempo de saída é T (0 + 5 x.78) 8.08 min. Atualizar a lista cronológica: Saída do Cliente 4 em T 8.08 T Evento 8.08 saída do cliente 4 Cliente 5 é retirado da fila para começar atendimento. O tempo aguardado é W min. O tempo de saída é T (0 + 5 x.3473) 9.8 min. Atualizar a lista cronológica: T Evento 9.8 saída do cliente 5 Saída do Cliente 5 em T 9.8 Não há mais clientes no sistema (fila e instalação de atendimento) e a simulação termina. Fernando Nogueira Simulação

12 L q W 4 W 5 A 3.73 W 3 A 8.63 A + A q clientes 9.8 L Utilização instalação q T q q 3 q 4 q 5 A A Utilização A 3 + A 4 instalação barbeiros T W + W + W 5 + W + W Wq Fernando Nogueira Simulação 6.47 min

13 Fernando Nogueira Simulação 3 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) c.c. 0, b x c, c b a b x b c x a, a c a b a x c) b, (x a, f ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) c.c. 0, b x c, c b a b x b c x a, a c a b a x c) b, F(x a, Distribuição Triangular

14 Estatística Em Probabilidade os modelos matemáticos de processos e sistemas são afetados por chances. Em Estatística estes modelos são checados contra a realidade. 4

15 Distribuições Empíricas Como dados amostrados são convertidos para funções de probabilidade? Os passos a se seguir são: )Armazenar os dados na forma de um histograma de freqüência e determinar a função de probabilidade empírica associada. )Utilizar um teste estatístico a fim de verificar se a função de probabilidade empírica é amostrada a partir de alguma função de probabilidade teórica. 5

16 Histograma de Freqüências Um histograma de freqüência é construído como o número de amostras que estão dentro de um determinado intervalo de uma série de intervalos não superpostos de valores possíveis (ou no mínimo coerentes) que as amostras podem assumir. 6

17 Exemplo Suponha que um comerciante de laranjas pese todas as 00 caixas de laranjas que comprou de um produtor. 7

18

19 Os valores mínimo e máximo nesta tabela são e 6.873, respectivamente. Isto significa que todas as amostras podem ser classificadas no intervalo [57,6], escolhido arbitrariamente. Arbitrariamente escolhem-se o número de intervalos para dividir o intervalo [57,6]. Escolhendo-se 5 intervalos, pode-se montar a seguinte tabela: 9

20 I Intervalo Freqüência Observada O i Freqüência Relativa f i Freqüência Relativa Acumulada F i [57,58] [58,59] [59,60] [60,6] [6,6] total 00 0

21 35 Histograma de Freqüência Observada 30 5 Freqüência pesos (kg)

22 Histograma de Freqüência Relativa e Acumulada Freqüência Relativa pesos (kg)

23 N p p f ( ) s i i p pi p i N i f i p kg s p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). kg + 3

24 Teste da Qualidade do Ajustamento Este teste é utilizado para avaliar se as amostras utilizadas na determinação da distribuição empírica são oriundas de uma distribuição teórica especifica. Com os valores estimados de média e variância no exemplo anterior é possível comparar a distribuição empírica com uma Distribuição Normal, por exemplo, com parâmetros µ p σ s p 4

25 Distribuição Relativa e Acumulada Empírica e Teórica 0.9 Freqüência Relativa ou probabilidade pesos (kg) 5

26 6 Teste de Qui-Quadrado ( ) ( ) ( ) ( ) i i I I i i i I F I F n dx x f n n ( ) χ N i i i i n n O

27 7

28 χ ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6.464) Teste de Hipótese H0: amostras são oriundas da distribuição teórica H: amostras não são oriundas da distribuição teórica A hipótese básica (H 0 ) é aceita, ao nível de significância α, se: χ < χ ν,α ν N k 5 8

29 Para um nível de significância de 5%, por exemplo, o valor tabelado é χν, α χ, Como χ.534,pode-se dizer que a hipótese nula H0 é aceita, ou seja, para um nível de confiança de 95%, as amostras são oriundas de uma população com Distribuição Normal. 9

30 χ ν, α Tabela A - Percentis da Distribuição de Qui-Quadrado P 0,005 0,0 0,05 0,05 0, 0,5 0,75 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 ν 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0 0,0,3,7 3,84 5,0 6,63 7,88 0,0 0,0 0,05 0,0 0, 0,58,77 4,6 5,99 7,38 9, 0,60 3 0,07 0, 0, 0,35 0,58, 4, 6,5 7,8 9,35,34,84 4 0, 0,30 0,48 0,7,06,9 5,39 7,78 9,49,4 3,8 4,86 5 0,4 0,55 0,83,5,6,67 6,63 9,4,07,83 5,09 6,75 6 0,68 0,87,4,64,0 3,45 7,84 0,64,59 4,45 6,8 8,55 7 0,99,4,69,7,83 4,5 9,04,0 4,07 6,0 8,48 0,8 8,34,65,8,73 3,49 5,07 0, 3,36 5,5 7,53 0,09,95 9,73,09,70 3,33 4,7 5,90,39 4,68 6,9 9,0,67 3,59 0,6,56 3,5 3,94 4,87 6,74,55 5,99 8,3 0,48 3, 5,9,60 3,05 3,8 4,57 5,58 7,58 3,70 7,8 9,68,9 4,73 6,76 3,07 3,57 4,40 5,3 6,30 8,44 4,85 8,55,03 3,34 6, 8,30 3 3,57 4, 5,0 5,89 7,04 9,30 5,98 9,8,36 4,74 7,69 9,8 4 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 0,7 7,,06 3,68 6, 9,4 3,3 5 4,60 5,3 6,6 7,6 8,55,04 8,5,3 5,00 7,49 30,58 3,80 6 5,4 5,8 6,9 7,96 9,3,9 9,37 3,54 6,30 8,85 3,00 34,7 7 5,70 6,4 7,56 8,67 0,09,79 0,49 4,77 7,59 30,9 33,4 35,7 8 6,6 7,0 8,3 9,39 0,86 3,68,60 5,99 8,87 3,53 34,8 37,6 9 6,84 7,63 8,9 0,,65 4,56,7 7,0 30,4 3,85 36,9 38,58 0 7,43 8,6 9,59 0,85,44 5,45 3,83 8,4 3,4 34,7 37,57 40,00 8,03 8,90 0,8,59 3,4 6,34 4,93 9,6 3,67 35,48 38,93 4,40 8,64 9,54 0,98,34 4,04 7,4 6,04 30,8 33,9 36,78 40,9 4,80 3 9,6 0,0,69 3,09 4,85 8,4 7,4 3,0 35,7 38,08 4,64 44,8 4 9,89 0,86,40 3,85 5,66 9,04 8,4 33,0 36,4 39,36 4,98 45,56 5 0,5,5 3, 4,6 6,47 9,94 9,34 34,38 37,65 40,65 44,3 46,93 6,6,0 3,84 5,38 7,9 0,84 30,43 35,56 38,89 4,9 45,64 48,9 7,8,88 4,57 6,5 8,,75 3,53 36,74 40, 43,9 46,96 49,65 8,46 3,56 5,3 6,93 8,94,66 3,6 37,9 4,34 44,46 48,8 50,99 9 3, 4,6 6,05 7,7 9,77 3,57 33,7 39,09 4,56 45,7 49,59 5, ,79 4,95 6,79 8,49 0,60 4,48 34,80 40,6 43,77 46,98 50,89 53, ,9 8,5 0,57,47 4,80 9,05 40, 46,06 49,80 53,0 57,34 60,7 40 0,7,6 4,43 6,5 9,05 33,66 45,6 5,8 55,76 59,34 63,69 66, ,3 5,90 8,37 30,6 33,35 38,9 50,98 57,5 6,66 65,4 69,96 73,7 50 7,99 9,7 3,36 34,76 37,69 4,94 56,33 63,7 67,50 7,4 76,5 79, ,73 33,57 36,40 38,96 4,06 47,6 6,67 68,80 73,3 77,38 8,9 85, ,53 37,48 40,48 43,9 46,46 5,9 66,98 74,40 79,08 83,30 88,38 9, ,38 4,44 44,60 47,45 50,88 56,99 7,8 79,97 84,8 89,8 94,4 98, ,8 45,44 48,76 5,74 55,33 6,70 77,58 85,53 90,53 95,0 00,43 04, 75 47, 49,48 5,94 56,05 59,79 66,4 8,86 9,06 96, 00,84 06,39 0,9 80 5,7 53,54 57,5 60,39 64,8 7,4 88,3 96,58 0,88 06,63,33 6, ,7 57,63 6,39 64,75 68,78 75,88 93,39 0,08 07,5,39 8,4, ,0 6,75 65,65 69,3 73,9 80,6 98,65 07,57 3,5 8,4 4, 8, ,5 65,90 69,9 73,5 77,8 85,38 03,90 3,04 8,75 3,86 9,97 34, ,33 70,06 74, 77,93 8,36 90,3 09,4 8,50 4,34 9,56 35,8 40,7 0 75,55 78,46 8,87 86,79 9,47 99,67 9,6 9,39 35,48 40,9 47,4 5, ,85 86,9 9,57 95,70 00,6 09, 30,05 40,3 46,57 5, 58,95 63, , 95,45 00,33 04,66 09,8 8,79 40,48 5,05 57,6 63,45 70,4 75, ,65 04,03 09,4 3,66 9,03 8,38 50,89 6,83 68,6 74,65 8,84 86, ,4,67 7,98,69 8,8 37,98 6,9 7,58 79,58 85,80 93, 98, ,68,35 6,87 3,76 37,55 47,60 7,68 83,3 90,5 96,9 04,53 09,8 70 6,6 30,06 35,79 40,85 46,84 57,3 8,05 94,0 0,4 08,00 5,8, ,88 38,8 44,74 49,97 56,5 66,87 9,4 04,70,30 9,04 7,06 3, ,55 47,6 53,7 59, 65,49 76,5 0,76 5,37 3,6 30,06 38,7 43, ,4 56,43 6,73 68,8 74,84 86,7 3,0 6,0 33,99 4,06 49,45 55, ,66 45,97 53,9 60,88 69,07 83,4 36,4 33,79 34,40 349,87 359,9 366, ,90 337,6 346,48 354,64 364, 380,58 48,70 436,65 447,63 457,3 468,7 476, ,30 49,39 439,94 449,5 459,93 478,3 50,95 540,93 553,3 563,85 576,49 585, ,53 5,37 534,0 544,8 556,06 576,9 6,99 644,80 658,09 669,77 683,5 69, ,38 65,9 68,58 639,6 65,50 674,4 74,86 748,36 76,66 775, 789,97 800, ,73 709,90 73,5 735,36 749,9 77,67 86,60 85,67 866,9 880,8 895,98 906, ,48 804,5 88,76 83,37 846,07 87,03 98,4 954,78 970,90 985,03 00,63 03,04 Fernando Nogueira Simulação 30