Revisões de Matemática e Estatística

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1 Revisões de Matemática e Estatística Joaquim J.S. Ramalho Contents 1 Operadores matemáticos Somatório Duplo somatório Produtório Funções matemáticas Logaritmo natural Exponencial Álgebra matricial Terminologia Operações com matrizes Estatísticas descritivas Média amostral Variância e desvio padrão amostrais Covariância e coeficiente de correlação amostrais Conceitos de probabilidade e estatística Variável aleatória Funções de distribuição e de densidade Valor esperado Variância Desvio Padrão Covariância Coeficiente de correlação Valor esperado condicionado Propriedades de variáveis aleatórias independentes

2 1 Operadores matemáticos 1.1 Somatório n X i X 1 + X X n Propriedades básicas sendo a, c constantes): 1. n c = nc 2. n cx i = c n X i 3. n ax i + cy i ) = a n X i + c n Y i 1.2 Duplo somatório n j=1 m X ij = m X 1j + j=1 m X 2j j=1 m j=1 X nj 1.3 Produtório n X i = X 1 X 2... X n 2 Funções matemáticas 2.1 Logaritmo natural y = ln x) também por vezes designado log e x ou logx). [Nota: nas máquinas de calcular em geral log significa logaritmo de base 10, e ln logaritmo de base e ou natural. Mas em muitos textos de economia aplicada e software estatístico os dois símbolos são usados indiferentemente para o logaritmo natural.] 1. lnx) só é definido para x > 0 2. ln x) < 0 para 0 < x < 1 3. ln 1) = 0 4. ln x) > 0 para x > 1 5. ln e) = 1 2

3 6. ln x 1 x 2 ) = ln x 1 ) + ln x 2 ) 7. ln x 1 /x 2 ) = ln x 1 ) ln x 2 ) 8. ln x c ) = c ln x) 9. ln x 1 ) ln x 0 ) x 1 x 0 ) /x 0 ou 100 ln x) % x para x pequeno 2.2 Exponencial y = exp x) = e x 1. expx) > 0 para todo o x 2. exp 0) = 1 3. exp 1) = e 4. exp [ln x)] = x para x > 0 5. exp [c ln x)] = x c 6. exp x 1 ) exp x 2 ) = exp x 1 + x 2 ) 3 Álgebra matricial 3.1 Terminologia Matriz A = [a ij] = n k) a 11 a a 1k a 21 a a 2k... a n1 a n2... a nk Vector/vector linha u = n 1) u 1 u 2. u 1 n) = u 1, u 2,..., u n ) u n 3

4 Matriz quadrada: matriz A, k k. Casos particulares: simétrica : A k k) onde a ij = a ji Ex.: A 2 2) = diagonal : A k k) = diag {a 11, a 12,..., a 1k } ; Ex.: identidade : I = diag {1, 1,..., 1} ; AI = IA = A A = 2 2) a a Operações com matrizes Adição: Se A e B são matrizes n k, então A + B = C, onde c ij = a ij + b ij Multiplicação por um escalar: λa = [λa ij ] Multiplicação: A B = n k) k p) C onde c ij = k s=1 a isb sj n p) Ex.: = AB BA pré e pós-multiplicar por A difere, em geral) 2. Se A é n k e B é k n, então AB é n n e BA é k k 3. Sendo u um vector n 1, então u u = n u2 i, um escalar, e uu = [u i u j ], uma matriz n n 4. AB) C = A BC) 5. A B + C) = AB + AC Transposta Sendo A = [a ij ] uma matriz n k, então a transposta de A é a matriz A, k n, tal que A = [a ji ] 4

5 1. A ) = A 2. λa) = λa para qualquer escalar λ 3. A + B) = A + B 4. AB) = B A ; ABC) = C B A ; etc. 5. A = A se A é simétrica Inversa que: A matriz quadrada A diz-se invertível ou não singular se existir a matriz inversa A 1, tal AA 1 = A 1 A = I 1. A 1) 1 = A 2. A 1) = A ) 1 3. AB) 1 = B 1 A 1 Cálculo: Ex.: A = a c b d A 1 = 1 Adj A) A A 1 = 1 d b ad bc c a Se A = 0, A é singular, ou seja A 1 não existe 4 Estatísticas descritivas 4.1 Média amostral X = n X i n 5

6 Propriedades dos somatórios de desvios para a média: 1. n Xi X ) = 0 2. n Xi X ) 2 = n X2 i n X 2 3. n Xi X ) Y i Ȳ ) = n Xi X ) Y i = n X iy i n XȲ 4.2 Variância e desvio padrão amostrais Sx 2 1 n = Xi n 1 X ) 2 S x = + 1 n Xi n 1 X ) Covariância e coeficiente de correlação amostrais S xy = 1 n 1 n Xi X ) Y i Ȳ ) r xy = S xy S x S y = n Xi X ) Y i Ȳ ) n Xi X ) 2 n Yi Y ) 2 5 Conceitos de probabilidade e estatística 5.1 Variável aleatória Uma variável aleatória X é uma variável cujo valor é um resultado numérico associado ao resultado de uma experiência aleatória. Existe um conjunto de realizações possíveis da variável aleatória, os quais formam o espaço probabilístico. Exemplo: X = # de caras quando se atira ao ar uma moeda por 10 vezes Espaço probabilístico é {0, 1,..., 10} Uma particular realização é x = Funções de distribuição e de densidade Cada realização x, ou conjunto de realizações, de uma variável aleatória X tem uma determinada probabilidade de ocorrência, a qual pode ser descrita por uma: Função de distribuição cumulativa: F x) = P X x) 6

7 Função de densidade: Variáveis discretas: f x) = P X = x) Variáveis contínuas: f x) = F x) x Exemplos de funções de probabilidade: Normal, Qui-Quadrado, t de Student, F de Snedcor, Poisson, Bernoulli, Binomial, j f x j) = f x j ) 1 3. F + ) = Valor esperado j E X) = µ x = x jf x j ) + xf x) dx se X é V.A. discreta se X é V.A. contínua 1. E c) = c 2. E ax + c) = ae X) + c 3. E ax + cy ) = ae X) + ce Y ) 5.4 Variância Var X) = σ 2 x = E X µ x ) 2 = E X 2) µ 2 x 1. Var c) = 0 2. Var ax + c) = a 2 Var X) 3. Var ax + cy ) = a 2 Var X) + c 2 Var Y ) + 2ac Cov X, Y ) 7

8 5.5 Desvio Padrão σ x + Var X) 5.6 Covariância Cov X, Y ) = σ xy = E [ X µ x ) Y µ y )] = E XY ) µ x µ y Propriedades sendo a i, c i constantes): 1. Cov c, X) = 0 2. Cov a 1 X + c 1, a 2 Y + c 2 ) = a 1 a 2 Cov X, Y ) 3. Cov X, Y ) σ x σ y desigualdade de Cauchy-Schwartz) 5.7 Coeficiente de correlação Corr X, Y ) = ρ xy = Cov X, Y ) Var X) Var Y ) = σ xy σ x σ y 5.8 Valor esperado condicionado j E Y x) = y jf y j x) + yf y x) dy se Y é V.A. discreta se Y é V.A. contínua Propriedades sendo a X), c X) funções): 1. E [c X) X] = c X) 2. E [a X) Y + c X) X] = a X) E Y X) + c X) 3. Lei das expectativas iteradas: E [E Y X)] = E Y ) 5.9 Propriedades de variáveis aleatórias independentes 1. E XY ) = E X) E Y ) 2. E Y X) = E Y ) 3. Cov X, Y ) = 0 4. Var X ± Y ) = Var X) + Var Y ) 8

9 5. ρ xy = 0 9