LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS

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1 LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Física Básica Experimental I Departamento de Física / UFPR Processo de Linearização de Gráficos O que é linearização? procedimento para tornar uma curva que não é uma reta em uma reta. É encontrar uma relação entre duas variáveis, que satisfaça a equação da reta, ou seja, determinar os coeficientes angular e linear da reta ( y = b + ax ). Por que linearizar? A análise de uma reta é mais simples que a análise de uma curva. O processo de linearização facilita a determinação das leis físicas que governam o experimento que gerou os dados.

2 Métodos de Linearização ) Troca de variáveis A equação que governa o comportamento dos dados deve ser conhecida. A troca de variáveis permite converter uma equação de uma curva numa equação de reta. Exemplo: y = ax + b y = ax + b onde t t x = x Obs: Nem todas as equações podem ser convertidas de forma útil. Métodos de Linearização ) Uso de papéis especiais: mono-log e di-log Quando um gráfico em papel milimetrado fornece uma curva, ainda assim é possível obter, em casos específicos, gráficos lineares usando papéis mono e di-log. Este método se aplica quando a equação que governa o comportamento dos dados não é conhecida. Funciona por tentativa e erro. Os softwares matemáticos permitem a troca das escalas linear para logarítmica facilitando o processo.

3 Métodos de Linearização Tipos de Papéis: Escala logarítmica Escala logarítmica Escala logarítmica milimetrado mono-log di-log ) Método das mudanças de variáveis: Exemplo - (a) (b) (c) (d) lineari zação c' d' X' (cm ) Gráfico das funções do tipo: y(x) = ax (b): y(x) (c): y(x) (d): y(x) (a) :y(x) = x = x = x = x + bx + c x + x + Mudança de variável y (x ) = a x + b x = x ( c ) y(x) = x + ( d ) y(x) = x 3

4 Mudança de variáveis: Exemplo lineari zação,,,,,, X' (cm - ) Gráfico das funções do tipo: Y (X) = a / X Y (X ) = a X + b Y (X) = / X? Mudança de variável X = X Y (X ) = X Mudança de variáveis: Exemplo 3 Y (cm / ) Y (cm / ) B r X' (cm / ) Gráfico da função: Gráfico linearizado Y = X Y (X ) = a X + b Linearização Y = X onde X = X

5 ) Uso de Papéis especiais: Monolog e Dilog Os papéis com escala logarítmica são utilizados para linearizar funções exponenciais.) Papel monolog Y = Ae BX 5 5 (X,Y ) (X,Y ) 5,,5,,5,,5 3,,,5,,5,,5 3, Papel milimetrado Papel monolog Y = e,x No Papel monolog: O coef. Angular (A ) é obtido dos pontos (X,Y ) e (X,Y ) do gráfico Y A = = X Y Y X X Y = ln(y) O coef. Linear é lido diretamente no gráfico para X = : B = Y() 5

6 Papel monolog (cont.) Para linearizar em papel milimetrado BX BX BX Y = Ae ln ( Y) = ln( Ae ) = lna + ln e ( Y) = lna BX ln + Comparando com a equação da reta Y = B + A X Y = ln(y) B = lna = coef.linear A = B = coef. angular 5 3,5 5 5 ln(y) 3,,5,,5,,,5,,5,,5 3,,5,,5,,5,,5 3, Uso de papéis especiais:.) Papel dilog Y = AX B,,5, (X,Y ),,5, E-3 (X,Y ), E-,,,,,, E-5,, Papel milimetrado Papel dilog Y = X,

7 No Papel dilog: O coef. Angular (A ) é obtido dos pontos (X,Y ) e (X,Y ) no gráfico Y Y Y A = X X X Y = ln(y) X = ln(x) O coef. Linear é obtido após a linearização da eq. exponencial: log Comparando com a equação da reta Assim: Y = log( Y) X = Y = AX B B ( Y) = log( AX ) = log( A) + log( X ) log( X) ( Y) = log( A) Blog( X) B log + Y = B + A X B = A = log( A) B Para achar o coef. linear log( Y ) = log( A) + Blog( X) Papel dilog (cont.) Para linearizar em papel milimetrado: Após a linearização: ( Y) = log( A) Blog( X) log + Y = B + A X Y = log( Y) X = B = A = B log( X) log( A),,5 -,,5 log (Y) - -3,,,,,,, , -,5 -, -,5, log (X) Papel milimetrado Papel milimetrado 7

8 Exemplo de confecção de gráfico, linearização e ajuste de reta Dados obtidos: Objetivo: Determinar a aceleração a partir das medidas de V e X V (m/s),9,35,93,93,77 3, 3,37 ) unificar as unidades para o mesmo sistema de unidades Por exemplo, no SI. X (m),5,3,5,,75,9 V (m/s),9,35,93,93,77 3, 3,37 ) Fazer o gráfico: V versus X 3,5 3,,5 V (m/s),,5 Não é reta!!!,,5,,,,,, X (m)

9 3) Fazer a linearização: É necessário conhecer a equação que relaciona as variáveis V e X Análise: Este problema é um problema típico de cinemática, que envolve aceleração constante, ou seja, MRUV. As equações do MRUV são: X = X + Vt + V = V + at V at A equação que relaciona V com X é: V V ax + como = V + a X X = X X = X = X = X 3) Fazer a linearização (cont): Comparar com a equação da reta e fazer a mudança de variável. V = V + ax Assim: Y = V Y = B + AX X = X coef. linear: B = V V = B coef. angular: A = a A a = 9

10 ) Montar uma tabela com as variáveis linearizadas V e X. X' = X (m),5,3,5,,75,9 Y=V (m/s),77,593 3,5957 5,575 7,353 9,7,77 5) Fazer o gráfico linearizado, isto é, o gráfico de V versus X Y = V Y (m /s ),,,,,, X (m) ) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ X V X i Y i X i X i Y i,77,,,5,593,5,3,3 3,5957,9,977,5 5,575,5,33, 7,353,3,9,75 9,7,55,759,9,77, 9,335 Σ 3,5 3,537,75,5 Calculando o coeficiente angular: N X.Y X. Y i i i i A = N X ( X ) i 7,5 3,5 3,537 A = =,3 m/s 7,75 (3,5) i

11 ) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ (cont.) Calculando o coeficiente linear B: Y = B+ AX Comparar os coeficientes e calcular a aceleração: Yi Y = N calcular a velocidade inicial V : X X = N B = Y AX = (3,537,3 3,5)/ 7 /s B =,37 m a A / =,3 / = a = 5,77 m/s V = B =,37 V =,5 m/s i 7) Desenhar a melhor reta no gráfico Escolher dois pontos X e X e a partir da equação da melhor reta calcular Y e Y Y =,37+,3X Exemplo: X =, Y =,37 +,3 (,) =,3 pontos da melhor reta: Gráfico com a melhor reta Y =,37+,3 X Y (m /s ) Pontos da melhor reta,,,,,, X (m)

12 FIM