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1 Título : B1 AJUSTE DE CURVAS Conteúdo : Em matemática e estatística aplicada existem muitas situações em que conhecemos uma tabela de pontos (x; y). Nessa tabela os valores de y são obtidos experimentalmente e deseja se obter uma expressão analítica de uma curva y = f(x) que melhor se ajuste a esse conjunto de pontos. Por exemplo, no departamento de uma empresa, podemos obter uma tabela com valores do custo total CT de um produto em função da quantidade q de produção, como mostra a tabela abaixo: Fazendo a representação gráfica dos pontos da tabela abaixo, temos: Observamos no gráfico acima que não passa uma reta por todos os pontos. Com base nisso, podemos fazer as seguintes perguntas: 1. Qual é a curva que melhor se adapta ao conjunto de pontos, isto é, qual expressão analítica ou a função que melhor se ajusta aos pontos (x; y)? 1/5

2 2. Qual a previsão do custo total para dez unidades do produto? 2.1 Introdução à regressão linear A título de exemplo, utilizaremos pares ordenados obtidos resultantes de algum experimento, como: A ordenação desses pares em um uma distribuição cartesiana será influenciada pelos valores de xi e yi, (i=1..n). Logo, podemos obter um gráfico, por exemplo: Podemos constatar a possibilidade de obtenção de uma função real que passe nos pontos ou pelo menos passe próximo aos pontos (xi,yi) dados. A Teoria de Interpolação é a área matemática destinada a estudar tais processos para obter funções que passam exatamente pelos pontos dados, enquanto a Teoria de Aproximação estuda processos resultantes de funções que se aproximem ao máximo dos pontos dados. Lógico que, se pudermos gerar funções que se aproximem dos pontos dados e que tenham uma expressão fácil de ser manuseada, teremos gerado algo positivo e de valor científico. Existem vários processos matemáticos para solução do problema. Podemos destacar o método dos mínimos quadrados, que tem por finalidade gerar o que se chama em Estatística: regressão linear ou ajuste linear. Dentre as curvas mais comuns aplicadas, estão: 2/5

3 A proposta de qualquer uma das funções é encontrar quais são os valores dos coeficientes ao, a1 e a2, de forma que a soma dos quadrados das distâncias (tomadas na vertical) da referida curva y=f(x) a cada um dos pontos dados (yi) seja a praticável, daí o nome método dos mínimos quadrados. Isso pode ser feito por meio de cálculos avançados que consideram todas as variáveis utilizadas ou simplificado pelo chamado método dos mínimos quadrados, que estudaremos a seguir. 2.2 Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) Consiste em um dos mais simples e eficazes métodos da análise de regressão. É utilizado quando temos uma distribuição de pontos e precisamos ajustar a melhor curva para esse conjunto de dados. 2.3 Regressão linear Analisaremos o caso em que a curva de ajuste é uma função linear, muito frequente nos casos empresariais. Na verdade, pela necessidade de agilidade nas respostas e nas tomadas de decisões, problemas mais complexos podem ser aproximados pelo caso linear, considerando as duas variáveis mais significativas para cada caso. Matematicamente, vamos considerar y = ax + b, cujo gráfico é uma reta. A equação da reta ou a função que aproxima o conjunto de pontos é dada por: Onde: n = número de pontos observados; Σx = soma dos valores de x (abcissas); Σy = soma dos valores de y (ordenadas); Σx.y = soma dos produtos entre x e y; Σx2 = soma dos quadrados dos valores de x; 3/5

4 Aplicaremos o modelo para responder às duas perguntas do problema inicialmente proposto nesta unidade. Para facilitar os cálculos construímos a tabela e calculamos os elementos da fórmula do MMQ, onde y representa o custo total (CT ) e x representa a quantidade (q). 4/5

5 Substituindo os valores de A e B, a equação da reta que aproxima os pontos da tabela é: y = 81,6x + 95,20 isto é, CT = 81,6q + 95,20 e a previsão para a quantidade q = 10 unidades é dada por: q = 10 CT = 81, ,20 = 911,20 Assim, o custo total para dez unidades é de R$ 911,20. Graficamente, Lembramos aqui que o símbolo Σ é a representação de um somatório e corresponde à letra grega sigma maiúscula. 5/5

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