Construção e Análise de Gráficos. CF Laboratório de Física Básica 1
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- Ana Clara Vilaverde
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1 Construção e Análise de Gráficos
2 Por que fazer gráficos? Facilidade de visualização de conjuntos de dados Facilita a interpretação de dados. Exemplos: Engenharia Física Economia Biologia Estatística
3 Por que fazer gráficos? Facilidade de visualização de conjuntos de dados Facilita a interpretação de dados. Exemplos: Engenharia Física Economia Biologia Estatística Graduados em física/ufpr por gênero homem mulher Década (*até 2014)
4 Por que fazer gráficos? Facilidade de visualização de conjuntos de dados Facilita a interpretação de dados. Exemplos: Engenharia Física Economia Biologia Estatística e(ev) SC (a 02 )
5 Por que fazer gráficos? Facilidade de visualização de conjuntos de dados Facilita a interpretação de dados. Exemplos: Engenharia Física Economia Biologia Estatística e(ev) SC (a 02 ) Conjunto muito grande de dados!
6 Por que fazer gráficos? Facilidade de visualização de conjuntos de dados Facilita a interpretação de dados. Exemplos: Engenharia Física Economia Biologia Estatística
7 Procedimento para Fazer Gráficos Material: Papel milimetrado (vem anexo na prova). ATENÇÃO: O papel milimetrado da prova está levemente fora de escala. Recomendação: Não utilize a régua para posicionar os pontos.
8 Análise dos Dados Dado o conjunto de dados que vai ser colocado no gráfico: Verificar: Grandeza Independente eixo x Grandeza Dependente eixo y
9 Análise dos Dados Dado o conjunto de dados que vai ser colocado no gráfico: Verificar: Grandeza Independente eixo x Grandeza Dependente eixo y Ex: -Faço medida de posição e tempo. *Sei que: Posição (x) depende do tempo (t)! eixo x: tempo eixo y: posição
10 Análise dos Dados Dado o conjunto de dados que vai ser colocado no gráfico: Verificar: Grandeza Independente eixo x Grandeza Dependente eixo y Ex: -Faço medida de velocidade e tempo. *Sei que: velocidade (v) depende do tempo (t)! eixo x: tempo eixo y: velocidade
11 Análise dos Dados Dado o conjunto de dados que vai ser colocado no gráfico: Verificar: Grandeza Independente eixo x Grandeza Dependente eixo y Ex: -Faço medida de velocidade e posição. *Sei que: velocidade (v) depende da posição (x)! eixo x: posição eixo y: velocidade
12 Análise dos Dados Dado o conjunto de dados que vai ser colocado no gráfico: Verificar: Grandeza Independente eixo x Grandeza Dependente eixo y Exemplo de conjunto de dados: experimento para a determinação da velocidade e da posição inicial de um carrinho que se move com velocidade constante. Mediu-se a posição do objeto (x) para diversos instantes de tempo (t). Montamos a seguinte tabela: Tempo (s) 0,5 1,7 3,0 4,5 6,2 Posição (m) 2,1 6,5 11,6 16,4 22,8
13 Análise dos Dados Dado o conjunto de dados que vai ser colocado no gráfico: Verificar: Grandeza Independente eixo x Grandeza Dependente eixo y Exemplo de conjunto de dados: experimento para a determinação da velocidade e da posição inicial de um carrinho que se move com velocidade constante. Mediu-se a posição do objeto (x) para diversos instantes de tempo (t). Montamos a seguinte tabela: Tempo (s) 0,5 1,7 3,0 4,5 6,2 Posição (m) 2,1 6,5 11,6 16,4 22,8 eixo x: tempo eixo y: posição
14 Montagem do eixo-x Dados variam de 0,5 s até 6,2 s. Limite inferior dos dados: Tempo (s) 0,5 1,7 3,0 4,5 6,2 Escolho 0 (zero) como origem (arbitrário e conveniente). Não vai implicar em uma perda de espaço útil no papel. Facilita na determinação do coeficiente linear. Limite superior dos dados: Então: Escolho 7 s por conveniência. Eixo x varia de 0 até 7 s. Vou fazer divisões desta escala de 1 em 1 s (7 divisões). Poderia ser de 1,5 em 1,5 s (5 divisões até 7,5 s: mudaria o limite superior). CUIDADO: se escolher de 0,5 s em 0,5 s => muitas divisões!
15 Ajustando a escala no papel milimetrado Exagerado: Escolho a origem #!!??% Traço a reta (eixo x) Marco as divisões no eixo x - Econômico: Marco as divisões no eixo x Esta economia de papel gera os seguintes problemas: Baixa qualidade do gráfico; Dificuldade de localizar os pontos; Dificuldade na correção (normalmente implica em desconto de nota).
16 Caso Ideal: Nota-se um aproveitamento muito bom do espaço existente. Neste caso: 2,0 cm = 20 mm = 1 s logo 1 mm = (1 s / 20 mm) = 0,05 s Jamais: Colocar dados no eixo (0,5, 1,7,.); Usar uma régua no milimetrado da prova (está fora de escala). muito importante! t (s) Marco as divisões no eixo x
17 Montagem do eixo-y Dados variam de 2,1 m até 22,8 m. Limite inferior dos dados: Escolho 0 (zero) como origem (arbitrário e conveniente). Limite superior dos dados: Escolho 25 m por conveniência. É mais fácil trabalhar com múltiplos de 5. Poderia terminar em 23 m, o que seria mais complicado. Então: Eixo y varia de 0 até 25 m. Vou fazer divisões desta escala de 5 em 5 m (5 divisões). De 2,5 em 2,5 m (10 divisões até 25 m: excessivo).
18 x (m) Nesse caso, o ideal será: Neste caso: 2,5 cm = 25 mm = 5 m. logo 1 mm = (5 m/ 25 mm) = 0,2 m e Para facilitar 5 mm = 1 m Escalas: Eixo x: 1 mm = 0,05 s Eixo y: 5 mm = 1 m 0 Marco as divisões no eixo y
19 Tabela de conversão dos valores experimentais em posição no papel milimetrado: Para o eixo X Tempo (s) Posição no papel (mm) 0,5 10 mm 1,7 3,0 4,5 6,2 Regra de 3 para determinar a posição no papel: 0,05 s = 1 mm 0,5 s = 1 mm 1,7 s =??? 3,0 s =???? 1,0 m = 5 mm 1,0 m = 5 mm 2,1 m =?? 11,6 m =?? Escalas: Eixo x: 1 mm = 0,05 s Eixo y: 5 mm = 1 m Para o eixo Y Posição do objeto (m) Posição papel (mm) 2,1 10,5 mm 6,5 11,6 16,4 22,8
20 Tabela de conversão dos valores experimentais em posição no papel milimetrado: Para o eixo X Tempo (s) Posição no papel (mm) 0,5 10 mm = 1 cm 1,7 34 mm = 3,4 cm 3,0 60 mm = 6,0 cm 4,5 90 mm = 9,0 cm 6,2 124 mm = 12,4 cm Regra de 3 para determinar a posição no papel: 0,05 s = 1 mm 0,5 s = 1 mm 1,7 s =??? 3,0 s =???? 1,0 m = 5 mm 1,0 m = 5 mm 2,1 m =?? 11,6 m =?? Escalas: Eixo x: 1 mm = 0,05 s Eixo y: 5 mm = 1 m Para o eixo Y Posição do objeto (m) Posição papel (mm) 2,1 10,5 mm = 11 mm = 1,1 cm 6,5 32,5 mm = 33 mm = 3,3 cm 11,6 58 mm = 5,8 cm 16,4 82 mm = 8,2 cm 22,8 114 mm = 11,4 cm
21 Traçando os pontos x (m) t (s) x (m) ,5 2,1 1,7 6,5 3,0 11,6 4,5 16,4 6,2 22, t (s)
22 x (m) NUNCA LIGAR OS PONTOS! t (s) x (m) 5 0 t (s) ,5 2,1 1,7 6,5 3,0 11,6 4,5 16,4 6,2 22,8
23 Ajuste de reta x (m) NUNCA LIGAR OS PONTOS! Mas, em casos onde os dados experimentais se comportam como uma reta, podemos ajustar uma reta! 10 t (s) x (m) 5 0 t (s) ,5 2,1 1,7 6,5 3,0 11,6 4,5 16,4 6,2 22,8
24 Ajuste de reta x (m) NUNCA LIGAR OS PONTOS! Mas, em casos onde os dados experimentais se comportam como uma reta, podemos ajustar uma reta! 10 t (s) x (m) 5 0 t (s) ,5 2,1 1,7 6,5 3,0 11,6 4,5 16,4 6,2 22,8
25 Método gráfico de determinação da reta Consiste em traçar uma reta que visualmente esteja mais próxima possível de todos os pontos representados no gráfico. Os coeficientes da reta, a (angular) e b (linear), podem então ser calculados. Sejam (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) as coordenadas dos pontos P 1 e P 2, respectivamente. O coeficiente angular é calculado por: a y x y x Pode-se escolher quaisquer dois pontos sobre a reta. Não há restrições quanto a empregar algum dos pontos experimentais, desde que a reta desenhada passe sobre o mesmo. 2 2 y x y b y a x x
26 Método gráfico de determinação da reta No caso do experimento do carrinho: P 1 : (0,5 s e 2,1 m); P 2 : (6,2 s e 22,8 m).
27 Método gráfico de determinação da reta No caso do experimento do carrinho: P 1 : (0,5 s e 2,1 m); P 2 : (6,2 s e 22,8 m). Quando o eixo y intercepta o eixo x num ponto diferente de x = 0 recorre-se à equação da reta para determinar b (y=ax+b => b=y 1 -ax 1 )
28 Método gráfico de determinação da reta No caso do experimento do carrinho: P 1 : (0,5 s e 2,1 m); P 2 : (6,2 s e 22,8 m).
29 Exercício: Medidas de tempo (s) e velocidade (m/s) para um objeto que se move com aceleração constante. Tempo (s) Velocidade (m/s) 3,8 9, Faça o gráfico com os dados acima. - qual é a variável independente? (em qual eixo?) - qual é a variável dependente? (em qual eixo?) - apresente a escala utilizada para a montagem de cada eixo. - ajuste uma reta (modo gráfico)
30 Exercício: velocidade (m/s) tempo (s)
31 Ajuste de reta: Regressão Linear MMQ Procura-se uma reta que relacione a grandeza física representada no eixo y em função da grandeza física representada no eixo x. Em princípio são infinitas as retas que podem ser traçadas de maneira a representar o comportamento dos pontos do gráfico. Se cada um dos alunos da classe traçar uma reta, usando um critério subjetivo, serão inúmeras as retas obtidas. MMQ: Atribui critérios para que seja possível a obtenção de uma única reta. Independentemente de quem a determina (a menos dos arredondamentos). O principal critério: A soma dos quadrados das distâncias (d i ) entre o ponto medido e a reta ajustada seja mínima.
32 Regressão Linear MMQ (método dos mínimos quadrados) d i : distância entre o ponto medido e a reta ajustada. O quadrado da distância pto medido-reta ajustada A melhor reta é aquela para qual a soma dos quadrados das distâncias (d i ) seja mínima! (Por isso, mínimos quadrados!)
33 Determinação dos coeficientes O coeficiente angular é determinado por: a n y. x y. x i i i i i1 i1 n n 2 xi. x i xi i1 i1 n x i y i x y i i x y o coeficiente linear é dado por: b a x y y y a x 2 0 b x
34 Montagem da tabela de MMQ Dados: Tempo (s) 0,5 1,7 3,0 4,5 6,2 Posição (m) 2,1 6,5 11,6 16,4 22,8 ponto 1 0,5 2,1-2,68-9,9 7, , ,7 7,1-1,48-4,9 2,1904 7, ,0 11,6-0,18-0,4 0,0324 0, ,5 16,4 1,32 4,4 1,7424 5, ,2 22,8 3,02 10,8 9, ,616 Σ 20,268 72,28
35 Determinação dos coeficientes O coeficiente angular é determinado por: a n y. x y. x i i i i i1 i1 n n 2 xi. xi xi i1 i1 n O coeficiente linear é dado por:
36 Determinação dos coeficientes Equação da reta obtida usando MMQ: Lembre da que obtivemos pelo método gráfico: Método gráfico: rápido; pouco preciso. (cada pessoa obtém uma reta diferente!) MMQ: mais demorado; preciso! (qualquer pessoa que aplique corretamente o método obterá a mesma reta!)
37 Também é possível determinar o parâmetro a (coeficiente angular) pela equação: ) (... n i i n i i n i n i i n i i i i x x n y x y x n a Para facilitar o uso desta equação, sugere-se a tabela a seguir. 0,5 2,1 1,7 7,1 3,0 11,6 4,5 16,4 6,2 22,8 Deve-se obter a mesma equação de reta obtida com a outra expressão!
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39 Desenhando a melhor reta no gráfico Reta obtida: Escolher dois pontos x 1 e x 2 e a partir da equação da melhor reta calcular y 1 e y 2 : Conversão dos pontos da melhor reta em posição no papel milimetrado: Tempo (s) Posição no papel (mm) 0,0 Sobre o eixo y 6,8 136 mm = 13,6 cm Posição do objeto (m) 0,66 3,3 mm Posição papel (mm) 24,8 124 mm = 12,4 cm
40 Gráfico com a melhor reta
41 Significado físico dos coeficientes O objeto se move com velocidade constante: MRU Equação da reta obtida: Comparando a equação do MRU com a equação da reta, temos:
42 Exercício 2: Com o objetivo de determinar a densidade de um material, mediu-se a massa m e o volume V de diferentes objetos constituídos da mesma substância. Os dados estão na tabela abaixo. m (g) V (cm³) (a) Faça o gráfico da massa em função do volume no papel milimetrado. (b) Utilize o método dos mínimos quadrados (MMQ) para determinar os coeficientes angular e linear da melhor reta que representa os dados acima. (c) Desenhe a melhor reta no gráfico do item (a). (d) A partir dos coeficientes angular e linear, obtidos no item (b), determine a densidade do material.
43 massa (g) volume (cm 3 )
44 Exercício 3: Num experimento foram medidas as velocidades e os respectivos instantes de tempos de um carrinho que se movimentava com aceleração constante. Os dados são apresentados na tabela abaixo. A contagem dos tempos foi iniciada quando o carro passou pela origem. t (s) V(m/s) 1 8,3 2 10,6 3 13,5 4 16, (a) Faça o gráfico da velocidade em função do tempo no papel milimetrado. (b) Utilize o método dos mínimos quadrados (MMQ) para determinar os coeficientes angular e linear da melhor reta que representa os dados acima. (c) Desenhe a melhor reta no gráfico do item (a). (d) A partir dos coeficientes angular e linear, obtidos no item (b), determine a aceleração do carrinho e a velocidade inicial com que ele passa na origem.
45 velocidade (m/s) tempo (s)
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