Cálculo Diferencial e Integral 2: Aproximações Lineares. Regra da Cadeia.

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1 Aproximações lineares. Diferenciais. Cálculo Diferencial e Integral 2: Aproximações Lineares.. Jorge M. V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP

2 Aproximações lineares. Diferenciais. 1 Aproximações lineares. Diferenciais. 2

3 Planos tangentes Aproximações lineares. Diferenciais. Equação de um plano tangente em (x 0, y 0, z 0 ): A(x x 0 )+B(y y 0 )+C(z z 0 ) = 0 z z 0 = a(x x 0 )+b(y y 0 ) A interseção com o plano y = y 0 é uma reta com coeficiente angular a = f x (x 0, y 0 ) e a interseção com o plano x = x 0 é uma reta com coeficiente angular b = f y (x 0, y 0 ). Plano tangente a z = f (x, y) em (x 0, y 0, z 0 ) z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 )

4 Exemplo 1 Aproximações lineares. Diferenciais. Plano tangente à superfície f (x, y) = 2x 2 + y 2 no ponto (1, 1, 3) { { f x (x, y) = 4x f y (x, y) = 2y e f x (1, 1) = 4 f y (1, 1) = 2 z 3 = 4(x 1) + 2(y 1) z = 4x + 2y 3 (ver figura no próximo slide)

5 Aproximações lineares. Diferenciais. Figura do exemplo 1

6 Aproximações lineares. Diferenciais. Aproximações lineares Aproximação linear em (a, b, f (a, b)): f (x, y) f (a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) Diferenciabilidade Se z = f x (a, b) x + f y (a, b) y + ɛ 1 x + ɛ 2 x onde ɛ 1 e ɛ 2 0 quando ( x, y) 0, então z = f (x, y) é diferenciável em (a, b)

7 Aproximações lineares. Diferenciais. Aproximações lineares e diferenciabilidade Para ser diferenciável em (a, b, f (a, b)) é preciso que o plano tangente seja uma boa aproximação do gráfico de z = f (x, y) quando (x, y) está próximo de (a, b). Continuidade das derivadas parciais e diferenciabilidade Se as derivadas parciais f x e f y existem e são contínuas em (a, b) então f é diferenciável em (a, b).

8 Exemplo 2 Aproximações lineares. Diferenciais. Mostre que f (x, y) = xe xy é diferenciável em (1, 0). Use a linearização para aproximar f (1.1, 0.1) Solução: { f x (x, y) = e xy + xye xy f x (1, 0) = 1 e { f y (x, y) = x 2 e xy f y (1, 0) = 1 As derivadas parciais são contínuas e, portanto, a função é diferenciável. L(x, y) = f (1, 0) + f x (1, 0)(x 1) + f y (1, 0)(y 0) = x + y f (1.1, 0.1) L(1.1, 0.1) = = 1

9 Aproximações lineares. Diferenciais. Figura do exemplo 2

10 Diferenciais Aproximações lineares. Diferenciais. Diferencial total Definimos os diferenciais dx e dy como variáveis independentes e o diferencial dz como sendo o diferencial total dado por: dz = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy = z z dx + x y dy

11 Aproximações lineares. Diferenciais. Interpretação geométrica do diferencial total

12 Exemplo 3 Aproximações lineares. Diferenciais. Determine o diferencial dz para z = x 2 + 3xy y 2. Se x varia de 2 a 2.05 e y varia de 3 a 2.96 compare os valores de dz e z. Solução: dz = z x z dx + dy = (2x + 3y)dx + (3x 2y)dy y x = 2, dx = x = 0.05, y = 3, dy = y = 0.04 dz = [2(2) + 3(3)] [3(2) 2(3)]( 0.04) = 0.65 z = f (2.05, 2.96) f (2, 3) =

13 Exemplo 4 Aproximações lineares. Diferenciais. Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto obtendo-se 10 cm e 25 cm respectivamente com possível erro nessas medidas de no máximo 0.1 cm. Utilize o diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo do volume do cone. Solução: V = 1 3 πr 2 h dv = 2πrh πr 2 dr dh dv = 2π(10)(25) 3 (0.1) + π102 (0.1) = 20π 63cm3 3

14 Aproximações lineares. Diferenciais. Para funções de mais do que uma variável a regra da cadeia tem várias versões. Por exemplo, seja z = f (x, y), sendo x = g(t) e y = h(t). Então dz dt = z dx x dt + z dy y dt Se z = f (x, y), x = g(s, t) e y = h(s, t), então z s = z x x s + z y y s z t = z x x t + z y y t

15 Exemplo 5 Aproximações lineares. Diferenciais. Se z = x 2 y + 3xy 4, onde x = sen2t e y = cos t, determine dz/dt quando t = 0 Solução: dz dt = z dx x dt + z dy y dt = (2xy +3y 4 )(2 cos 2t)+(x 2 +12xy 3 )( sent) dz dt = (0 + 3)(2) + (0 + 0)0 = 6 t=0

16 Aproximações lineares. Diferenciais. Exemplo 5 (continuação) A derivada do Exemplo 5 pode ser interpretada como sendo a taxa de variação de z = f (x, y) em relação a t quando o ponto (x, y) se move ao longo da curva C com equações paramétricas x = sen 2t e y = cos t.

17 Exemplo 6 Aproximações lineares. Diferenciais. Se u = x 4 y + y 2 z 3, onde x = rse t e y = rs 2 e t e z = r 2 s sent, determine u/ s quando r = 2, s = 1 e t = 0. Solução: u s = u x x s + u y y s + u z z s u s = (4x 3 y)(re t ) + (x 4 + 2yz 3 )(2rse t ) + (3y 2 z 2 )(r 2 sent) Em r = 2, s = 1 e t = 0 tem-ae x = 2, y = 2 e z = 0. Portanto u s = (64)(2) + (16)(4) + (0)(0) = 192

18 Exercícios Aproximações lineares. Diferenciais. 1) Se g(s, t) = f (s 2 t 2, t 2 s 2 ) e f é diferenciável, determine t g s + s g t 2) Determine y se x 3 + y 3 6xy = 0. 3) A temperatura em um ponto (x, y) é dada por uma função T (x, y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posição depois de t segundos seja x = 1 + t, y = 2 + t/3, onde x e y são medidos em centímetros. A função temperatura satisfaz T x (2, 3) = 4 e T y (2, 3) = 3. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de 3 segundos?

19 Aproximações lineares. Diferenciais. 4) O comprimento l, a largura ω e a altura h de uma caixa variam com o tempo t. A certo instante as dimensões são l = 1m e ω = h = 2m. Sabendo que l e ω estão aumentando a uma taxa de 2m/s e que h está diminuindo à taxa de 3m/s determine, nesse instante, a taxa na qual o volume está variando. 5) A pressão de um mol de um gás ideal é aumentada à taxa de 0.05 kpa/s e a temperatura é aumentada à taxa de 0.15 K/s. Utilize a equação PV = 8.31T para achar a taxa de variação do volume quando a pressão é 20 kpa e a temperatura é 320 K. 6) Mostre que qualquer função da forma z = f (x + at) + g9x at) é uma solução da equação de onda Dica: u = x + at, v = x at 2 z t 2 = a2 2 z x 2

20 Aproximações lineares. Diferenciais. 7) O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm, respectivamente, com um erro na medida de no máximo 0.1 cm. Utilize diferenciais para estimar o erro máximo cometido na área do retângulo. 8) A pressão, o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados pela equação PV = 8.31T, onde P é medido em quilopascals, v em litros e T em kelvins. Utilize diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de 12 L para 12.3 L e a temperatura diminui de 310 K para 305 K.