UNESP - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá 1

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1 ANÁLISE GRÁFICA UNESP - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá 0.. Introdução Neste capítulo abordaremos princípios de gráficos lineares e logarítmicos e seu uso em análise de dados. Esta análise possibilitará determinar parâmetros desconhecidos no experimento expressos em alguma fórmula matemática derivada de um modelo teórico deste experimento. O comportamento dos pontos experimentais em um gráfico pode ser sempre descrito por uma função matemática. A determinação desta função é chamado de ajuste ( fitting em inglês) e o método mais usado nesta processo é o método dos mínimos quadrados (MMQ). A função mais simples de ser ajustada é naturalmente a da reta, um polinômio do primeiro grau. Neste caso a aplicação do MMQ leva a fórmulas simples que estão dadas no Apêndice deste texto. Todas supẽm incerteza em y. Como na prática geralmente temos também incertezas em x é descrito ainda um método de transferir estas incertezas em x para y. A reta tem ainda outra particularidade: quando traçada manualmente com uma régua sobre pontos no gráfico, sem fazer nenhum cálculo e considerando todos os pontos igualmente relevantes, a reta desenhada se assemelha muito à reta matemática dada pelo MMQ. Isto faz com que o traçado manual seja um processo igualmente aceito para a análise de dados levando a valores aceitáveis dos parâmetros que estão sendo determinados. O MMQ no entanto é mais interessante pois os valores dos coeficientes da reta podem ser determinados com suas incertezas. A relação matemática ou fórmula utilizada em um experimento geralmente não apresenta uma relação linear entre as grandezas mensuráveis. Entretanto é possível definir como estas grandezas são representadas em cada eixo do gráfico e obter o traçado de uma reta. Este processo é chamado de linearização gráfica e será abordado neste capítulo Recordando gráficos Os gráficos a que nos referimos possuem dois ou três eixos perpendiculares entre si onde cada eixo representa uma grandeza dependendente ou independente. Cada eixo é definido segundo o formato: (0.) grandeza [unidade] Assim apenas o valor numérico é colocado no gráfico. A figura mostra um gráfico típico onde no eixo da ordenada temos a potência p/w e na abcissa a frequência f/hz. Ao se ler um valor numérico sobre o eixo, por exemplo 0, entende-se: (0.2) f = 0 f = 0 Hz Hz Material didático para o Laboratório de Eletricidade e Magnetismo elaborado por Milton E. Kayama, docente do Departamento de Física e Química.

2 2,2 0,9 f = 0 => Hz f = 0 Hz P / W 0,6 0,3 0, f / Hz Figura. Esboço de um gráfico da potência p em função da frequência f da voltagem em um circuito. Colocado em destaque a forma de atribuir o valor da grandeza referente a um ponto sobre um de seus eixos. Outras formas aceitas de definir os eixos é, neste exemplo, escrevendo com uma vírgula separando o símbolo da unidade f, Hz ou colocando a unidade entre parênteses f (Hz) 0.3. Gráficos ou fórmulas? Consideremos uma fórmula derivada de um modelo matemático de um experimento que contenha duas grandezas possam ser consideradas como como a variável dependente x e a variável independente y do experimento e uma terceira seja uma grandeza desconhecida z. Através do experimento determina-se os valores de x e y que substituidos na fórmula fornece o valor de z. O processo pode ser repetido várias vezes e com um conjunto grande de dados podemos apelar para métodos estatísticos de análise de dados. Geralmente assumimos uma distribuição gaussiana e atribuimos a z o valor médio dos valores obtidos. E para a incerteza adotamos o desvio padrão da média. O método estatístico supõe um conjunto grande de dados. Isto possibilita uma definição adequada da função distribuição e em consequência, da metodologia para a análise dos dados. No entanto este conjunto de dados é geralmente pequeno. Isto ocorre em muitas experiências em laboratório, como nas deste laboratório de ensino. Neste caso o método mais adequado para a análise de dados utiliza gráficos, que chamamos aqui de método gráfico. Para ilustrar o uso do método gráfico em uma análise de poucos dados vamos supor uma verificação da lei de Ohm dada por U = RI onde U, R e I são respectivamente a diferença de potencial, a resistência e a corrente em um elemento. A figura 2 mostra o gráfico U I considerando três pontos experimentais e duas retas, uma calculada usando o método dos mínimos quadrados (MMQ) e a outra obtida fazendo o cálculo do valor médio de R onde R = U/I. Como mostra a figura a reta usando MMQ se distribui entre os pontos experimentais enquanto que a reta traçada a partir do valor médio de R se aproxima dos primeiros pontos do

3 0.3. GRÁFICOS OU FÓRMULAS? 3 0 MMQ MÉDIA U / V I / A Figura 2. Reta na lei de Ohm calculada usando método dos mínimos quadrados (MMQ) e por valor médio de resistência R no caso de três pontos experimentais. 2 MMQ MÉDIA U / V I / A Figura 3. Reta na lei de Ohm calculada usando método dos mínimos quadrados (MMQ) e por valor médio de resistência R no caso de 6 pontos experimentais. gráfico. Isto indica que a primeira representa melhor a dependência entre U e I e sua inclinação seria o melhor valor a ser atribuído à resistência do circuito. Consideremos agora um número grande de dados; o gráfico é mostrado na figura 3. Observa-se que as retas calculadas pelos dois métodos convergem, ou seja, torna-se indiferente neste caso usar um método ou outro para a análise de dados. Um outro motivo para usar o método gráfico é que este possibilita verificar a validade e o limite do modelo matemático usado para descrever um dado experimento. Algumas restrições experimentais impostas pelo modelo e não atendidas durante a coleta de dados são geralmente perceptíveis nos gráficos.

4 4 z / m z / m t / s 5,0 45 3,0 25 5, , , t / s Figura 4. Esboço do gráfico z t Linearização gráfica A linearização gráfica consiste em definir as variáveis y e x ao longo de cada eixo de modo que estas apresentem uma relação linear na forma: (0.3) y = ax + b onde a e b são constantes. Tanto x e y como a e b possuem dimensão e unidade. Não podemos mais escrever a = tanθ. Chamamos agora a de coeficiente angular ou inclinação da reta e b de coeficiente linear da reta. Para ilustrar o processo de linearização gráfica considere uma experiência onde é feita a medição do deslocamento z em função do tempo t de um corpo com aceleração constante g governado pela equação: (0.4) z = 2 gt2 Os pontos experimentais colocados em um gráfico z t obedecem a esta equação tendo uma forma parabólica como ilustra a figura 4. Podemos linearizar e obter uma reta fazendo por exemplo: (0.5) (0.6) (0.7) y = z x = t 2 a = 2 g Desta forma a equação fica y = (/2)ax e o gráfico y x ou z t 2 será uma reta como mostra a figura 5. Os pontos experimentais precisam ser recalculados o que leva a um aumento na incerteza dos mesmos. Embora existam diversas formas de se definir os eixos deve-se buscar aquelas que possibilitem redefinir as grandezas nos eixos com menor incerteza. Para isto se evita usar potências elevadas ou grandezas resultantes de muitas operações aritméticas.

5 0.5. GRÁFICOS EM ESCALA LOGARITMICA 5 z / m 400 z / m t 2 / s , , , , , t 2 / s 2 Figura 5. Esboço do gráfico z t 2. Example 0.. Linearize a fórmula do periodo T do pêndulo simples dada por:: l (0.8) T = 2π g onde l é o comprimento do fio do pêndulo e g a aceleração da gravidade local. Resp: Podemos reescrever 0.8 e associá-la a equação da reta da seguinte forma: T = 2π g l }{{} }{{} }{{} y = a x Fazendo então (0.9) (0.0) (0.) y = T x = l a = 2π g teremos uma reta em um gráfico T l. [a] = /[ g]=sm /2. A unidade do coeficiente angular é 0.5. Gráficos em escala logaritmica Gráficos em escala logaritmica são também muito usados em análise de dados. No apêndice é explicado como esta escala é criada e como utilizá-la. Para ilustrar esta escala exemplificamos a seguir o uso do gráfico monolog e dilog Função exponencial e gráficos monolog. Consideremos a função exponencial: (0.2) y = a 0 exp( b 0 x ) = a 0 e b 0x

6 6 onde a 0 e b 0 são constantes. A relação entre x e y não é linear. Podemos no entanto linearizar fazendo: ln y = ln a 0 b 0 x ou conforme y = ax + b com: (0.3) (0.4) (0.5) (0.6) }{{} }{{} }{{} y = b a x y = ln y x = x a = b 0 b = ln a 0 Desta forma o gráfico y x ou ln y x resulta em uma reta. Utilizamos para este fim uma escala logaritmica em um dos eixos. Se em uma folha gráfica, uma do tipo monolog. No gráfico é sempre colocado o valor numérico. Por exemplo, na equação da corrente i na carga do capacitor no circuito RC-série é i = I 0 e t/τ onde I 0 = ε/r e τ = RC sendo R, C, ε e t respectivamente a resistência, capacitância, a fem da fonte e o tempo. Ao fazer o gráfico colocamos na ordenada, no eixo em escala logarítmica, ln(i/a) e na abcissa, no eixo na escala linear, t/s. É possível também escrever ln(i/i 0 ) = e τt e trabalhar com a corrente normalizada que é adimensional. Example 0.2. As placas de um capacitor com capacitância C são carregadas por uma bateria com fem ε ligada em série a um resistor de resistência R. O instante t=0 corresponde ao instante em que o circuito é fechado. A corrente é dada por i = I 0 e t/τ onde I 0 = ε/r e τ = RC. São realizadas medições da corrente em diversos instantes. Os dados da corrente e do tempo (i; t), respectivamente em ampere e segundo, são: (4,0;,0), (2,5;2,0), (,8;3,0), (,0;4,0) e (0,4;6,0). Faça o gráfico da corrente em uma folha monolog. Resp: Figura Coeficiente angular em gráfico monolog. Considere dois pontos P =(x, y ) e P 2 =(x 2, y 2 ) sobre uma reta no papel monolog. A reta é descrita por ln y = ax + b e portanto: (0.7) (0.8) ln y = ax + b ln y 2 = ax 2 + b Subtraindo a primeira da segunda obtemos o coeficiente angular: (0.9) a = ln y 2 ln y x 2 x Como o numerador é adimensional a unidade deste coeficiente é o inverso da unidade de x, ou, [x]. Example 0.3. Calcule o coeficiente angular da reta obtida do ajuste do exemplo anterior em uma folha monolog. Resp.: Na figura Gráficos dilog. Para ilustrar o uso do gráfico em escala dilog (ou loglog), considere a relação entre x e y dada por: (0.20) y = c x n

7 i / A 0,0 8,0 6,0 4,0 2,0,0 0,8 0,6 0,4 0, APÊNDICE 7 i,/a t / s 4,0,0 2,5 2,0,8 3,0,0 4,0 0,4 6,0 0, 0,0,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 t / s Figura 6. Esboço do gráfico monolog da i t durante a carga de um capacitor em um circuito RC onde c e n são constantes. Vamos supor que se deseja obter o valor de n. Para isso aplicamos o logaritmo em ambos os membros e obtemos: ln y = ln c + n ln x }{{} }{{} }{{} y = b + n x Temos assim uma reta em um gráfico de ln y versus ln x. O coeficiente angular da reta é o próprio coeficiente angular da reta. Dois pontos sobre esta reta tem coordenadas P = (x, y ) e P 2 =(x 2, y 2 ). A equação da reta é ln y = ln c + n x e portanto ln y = ln c + n x e ln y 2 = ln c + n x 2. Então: (0.2) n = ln y 2 ln y ln x 2 ln x Esta equação equivale a medir no gráfico, com uma régua, a distância entre y 2 e y e entre x 2 e x e depois dividir os dois valores Apêndice Papel com escala logarítmica. Para ilustrar a construção de uma folha em escala logarítmica considere os números naturais de a 0, a saber, (,0;2,0;3,0;4,0;5,0;6,0;7,0;8,0;9,0;0,0). Calculando o logaritmo de cada um deles obtemos o conjunto (0,0;0,69;,09;,38;,6;,79;,94;2,08;2,9;2,30). Calculado

8 8 5 0 ln 0, 4 - ln 5 5,7-0,7 = -0,505 a = -0,505 s - i / A 0,4 0, ,7 5,7 t / s Figura 7. Coeficiente angular no esboço do gráfico monolog da i t durante a carga de um capacitor em um circuito RC com logaritmo na base 0 o conjunto é (0,0;0,30;0,47;0,60;0,69;0,77;,84;0,90;0,95;,0). Estes valores colocados em um eixo com escala linear é mostrado na figura 8. Pela figura vemos que as marcas (os ticks ) dos valores sucessivos vão se aproximando a medida que o número aumenta. Pode-se ver que esta característica se mantêm, independente da base em que o logaritmo foi calculado. Para verificar o que ocorre com decadas sucessivas repetimos fazemos os mesmos cálculos para o intervalo de 0, até 00. O resultado encontra-se no gráfico da figura 9. Pode-se ver que, independente da base em que o logaritmo foi calculado, ocorre a mesma aproximação das marcas com o aumento do número dentro de cada década. Além disso, a distribuição destas marcas é igual para todas as décadas. Assim, em um papel com escala logarítmica, em cada marca do limite de década, a potência de 0 aumenta de uma unidade. O inicio de cada década é identificado pela distância maior entre duas marcas sucessivas. Se esta for, por exemplo, a potência 0 3 a próxima é esta multiplicada por 0, ou seja, 0 2. E assim, sucessivamente. Não existe o zero na escala logarítmica Método dos mínimos quadrados. Em um gráfico y versus x podemos usar o Método dos Mínimos Quadrados para ajustar os pontos a uma função qualquer. No caso de uma reta os coeficientes da reta são obtidos analiticamente.

9 0.6. APÊNDICE 9 Figura 8. Valores de logaritmos na base e=2,7 (superior) e na base 0 (inferior) de números de a 0 colocados em um eixo em escala linear. Figura 9. Valores de logaritmos na base e=2,7 (superior) de números em três décadas colocados em um eixo em escala linear. O desenho inferior ilustra a colocação dos números nas marcas da escala logarítmica.

10 0 Aqui colocamos apenas os resultados prontos para serem utilizados. De modo geral os pontos estão ajustados a uma equação na forma: (0.22) y = ax + b onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear da reta. A seguir mostramos as fórmulas para diversas situações práticas. O caso geral é quando o conjunto de pontos é formado por N pares (x i, y i ) com incertezas diferentes em y. Temos para cada ordenada y i a incerteza σ i, ou: x, y ± σ x 2, y 2 ± σ 2 x N, y N ± σ N Os coeficientes angular a e linear b da equação da reta são dados por: (0.23) a = β (0.24) b = β onde (0.25) β = ( N σ 2 i ( N x i y i σ 2 i y i σ 2 i σ 2 i σ 2 i σ 2 i x i y i σ 2 i σ 2 i x i σ 2 i ( N x i σ 2 i x i y i σ 2 i As incertezas σ a e σ b nestes dois coeficientes são dadas respectivamente por: ) 2 ) ) (0.26) σ 2 a = β σ 2 i σ 2 b = β σ 2 i Um caso mais simples é quando as incertezas em y são iguais. σ = σ 2 =...σ N = σ e os dados ficam como: Neste caso x, y ± σ x 2, y 2 ± σ x N, y N ± σ Os coeficientes angular a e linear b da equação da reta são dados por: ( (0.27) a = N x i y i β N x i y i )

11 (0.28) b = β onde ( N (0.29) β = N 0.6. APÊNDICE y i N x i ( N ) 2 x i x i y i ) As incertezas σ a e σ b dos dois coeficientes são dadas respectivamente por: (0.30) σ 2 a = N β σ2 σ 2 b = σ2 β Reta passando pela origem. Consideremos um conjunto de N dados formados por pares (x i, y i ) onde para cada ordenada y i temos uma incerteza correspondente σ i, ou: x, y ± σ x 2, y 2 ± σ 2 x N, y N ± σ N Para a reta passando pela origem temos b=0. incerteza σ a são dadas por: O coeficiente angular a e a (0.3) (0.32) a = σ 2 a = N N N x iy i σ 2 i σ 2 i Com incertezas iguais em y, ou σ = σ 2 =...σ N = σ, os dados ficam como: σ 2 i x, y ± σ x 2, y 2 ± σ x N, y N ± σ O coeficiente angular a e sua incerteza σ a são: (0.33) (0.34) N a = x iy i σ 2 a = N x2 i σ 2 N x2 i

12 Transferência de incerteza do eixo x ao eixo y. Consideremos um conjunto de N dados formados por pares (x i, y i ) com suas respectivas incertezas σ xi e σ yi. Incorporando as incertezas em x para as incertezas em y teremos o conjunto apenas com incerteza σ yi neste último, ou: x ± σ x, y ± σ y x 2 ± σ x2, y 2 ± σ y2 x N ± σ xn, y N ± σ yn x, y ± σ y x 2, y 2 ± σ y2 x N, y N ± σ yn Supondo x e y são estatisticamente independentes e um comportamento linear de y em torno de cada ponto em x a incerteza transferida σ yi é dada por [( ) ] 2 dy (0.35) σ yi 2 = σyi 2 + σxi 2 dx A derivada pode ser calculada usando o método das diferenças finitas. No ponto x i : ( ) dy = y i+ y i (0.36) dx i 2 x onde x = x i+ x i = x i x i. Para o primeiro e último ponto: (0.37) (0.38) ( dy dx ( ) dy dx ) N i = y 2 y x = y N y N x Caso os pontos sejam ajustados a uma reta utiliza-se o cálculo dos coeficientes e suas incertezas usando o MMQ.