Tratamento Estatístico de Dados em Física Experimental

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1 Tratamento Estatístico de Dados em Física Experimental Prof. Zwinglio Guimarães o semestre de 06 Tópico 7 - Ajuste de parâmetros de funções (Máxima Verossimilhança e Mínimos Quadrados)

2 Método da máxima verossimilhança Para estimar os valores dos parâmetros das funções (densidade) de probabilidade que regem os dados obtido em um experimento, é razoável supor que o conjunto de dados obtidos seja um conjunto com grande probabilidade de ocorrer. O método da máxima verossimilhança consiste em se estimar os valores desses parâmetros como sendo os que maximizam o produto das funções (densidade) de probabilidades de se obter cada um dos dados obtidos no experimento.

3 A função verossimilhança A função verossimilhança, L x i a, de se obter um conjunto de dados x i = {x, x,, x }, sendo que a medida de cada dado x i é descrita pela função (densidade) de probabilidade f x i a é: L x i a = f x a. f x a f x a Onde f x i a é uma função densidade de probabilidade que depende de um conjunto de parâmetros a (por exemplo, para uma gaussiana os parâmetros podem ser o valor médio verdadeiro e o desvio-padrão).

4 Aspectos práticos do método da máxima verossimilhança O método da máxima verossimilhança consiste nas seguintes etapas:. Escrever a função verossimilhança L x i a. Determinar o vetor de parâmetros a = a que maximizam L (na prática, o ln(l), porque isso simplifica manipular algebricamente as derivadas) 3. Estimar as incertezas dos parâmetros estimados a por propagação de incertezas. Após isso, é conveniente avaliar se as expressões obtidas para os estimadores não são tendenciosas.

5 Um exemplo do uso do método da máxima verossimilhança A função verossimilhança de medições independentes de uma mesma grandeza x i = {x, x }, com função densidade de probabilidade gaussiana de valor verdadeiro x 0 e desvios padrões conhecidos (σ e σ ) é: L {x, x }/x 0 = e π σ σ x x 0 x σ + x 0 σ E a estimativa x de x 0 por máxima verossimilhança é: x = x σ σ +x + σ σ com incerteza σ x = σ + σ

6 A estimativa (tendenciosa) do desvio padrão por máxima verossimilhança A função verossimilhança de um conjunto de medições repetitivas de uma mesma grandeza depende do valor médio verdadeiro e do desvio padrão verdadeiro das medições. essas condições, as estimativas da média e da variância por máxima verossimilhança, são: x = i= xi e σ = i= xi x o entanto, a estimativa da variância por máxima verossimilhança é tendenciosa, pois: σ = σ 0.

7 O método dos mínimos quadrados O método dos mínimos quadrados consiste em determinar os parâmetros como os que minimizam a seguinte somatória: Q a = i= y i G x i, a onde a função modelo, G x i, a, descreve a relação entre o valor esperado do i ésimo dado experimental com os parâmetros a serem estimados. Por exemplo, no caso do ajuste de uma reta: G x, a, a = a + a x

8 Ajuste de funções lineares nos parâmetros pelo MMQ o caso de funções lineares nos parâmetros, a função modelo pode ser escrita como: a i G a j = 0, G x, a = a g x + a g x + + a M g M (x) e os parâmetros que minimizam a variável Q( a) correspondem às soluções do seguinte sistema linear: yi g (x i ) = a i= yi g (x i ) = a i= g (x i )g (x i ) + a i= g (x i )g (x i ) + a i= g (x i )g (x i ) + i= g (x i )g (x i ) + σ i= i

9 Ajuste de funções lineares nos parâmetros pelo MMQ - II O sistema de equações do MMQ pode ser escrito como: D = M A onde A l = a l, e: D l = yi g l (x i ) e M l,c = i= gl (x i )g c (x i ) σ i= i A solução é dada por: A = (M )D A matriz de covariância de A é dada por: V A = (M ) Obs: o Octave, a inversa da matriz M é obtida por: inv(m)

10 Covariâncias e correlações (revisão) Interpretação da matriz de covariâncias, V A = M : V A = σ a cov(a, a ) cov(a, a ) σ a As correlações correspondentes, ρ a,a = cov(a,a ), σ a σ a podem ser fornecidas em uma matriz de correlações: C A = ρ(a, a ) ρ(a, a )

11 Exemplo de aplicação do MMQ em um ajuste pouco usual Exemplo baseado em exercício do livro "Método dos Mínimos Quadrados com Formalismo Matricial" do prof. Otaviano Helene

12 Exemplo numérico de ajuste de uma função linear nos parâmetros pelo MMQ G x, a = a g x + a g x + + a M g M (x) Considere o volume de combustível em trajetos com diferentes composições de trechos urbano e rodoviário a) 4,4 litros em 0,3 km na cidade e 45,6 km na estrada b) 8,0 litros em 95, km na cidade e 5,3 km na estrada c) 34,3 litros em 0, km na cidade e 53,5 km na estrada d) 36,5 litros em 30,9 km na cidade e 54, km na estrada e) 9,5 litros em 0,6 km na cidade e 77,4 km na estrada y = 4,4 8,0 34,3 36,5 9,5 g = 0,3 95, 0, 30,9 0,6 g = 45,6 5,3 53,5 54, 77,4

13 Ajustes lineares pelo MMQ (revisão) Escrevendo a função modelo como: G x, a = a g x + a g x + + a M g M (x) O sistema linear de equações do MMQ pode ser escrito de forma matricial: D l = i= D = M A yi g l (x i ) M l,c = cuja solução é: A = a a a M gl (x i )g c (x i ) i= = (M )D com V A = M Obs: o Octave, a inversa da matriz M pode ser obtida por: inv(m)

14 Resultados do exemplo numérico: y = 4,4 8,0 34,3 36,5 9,5 g = 0,3 95, 0, 30,9 0,6 g = 45,6 5,3 53,5 54, 77,4 Considerando que a incerteza dos valores de y sejam = 0,5 l A = 0,04 (3) l/km 0,0674 (7) l/km cov a, a = 4,3.0 7 l /km ρ a, a = 0,4 E a qualidade do ajuste pode ser avaliada pelo teste de χ χ = i= y i G x i, a = 4,3