Métodos Quantitativos

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1 Métodos Quantitativos Unidade 4. Estatística inferencial Parte II 1

2 Sumário Seção Slides 4.1 Correlação entre variáveis quantitativas Teste de significância Regressão linear Estudando resíduos Anexo A Alfabeto grego

3 Seção 4.1 CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS QUANTITATIVAS 3

4 Correlação Duas variáveis estão correlacionadas quando existe uma relação de dependência entre elas 4

5 Covariância Cov X, Y = x i x n 1 (y i y), com n 2 Correlação entre as variáveis: Se Cov (X,Y) > 0... correlação positiva Se Cov (X,Y) < 0... correlação negativa Se Cov (X,Y) = 0... não existe correlação 5

6 Covariância e relação das variáveis Com covariância tradicional podemos pensar que quanto maior a magnitude da covariância, maior o relacionamento entre as variáveis. Isso não é verdade, dado que quanto maior o valor dos dados maior a chance disto ocorrer. Para corrigir tal situação, uma possibilidade é utilizar variáveis padronizadas. Para corrigir esta questão (padronizar variáveis) utilizar o coeficiente de correlação. 6

7 Coeficiente de correlação r = ρ X, Y = x i x (y i y) n 1 dp x dp(y) = Cov(X, Y) dp(x) dp(y) Se r > 0... variáveis são positivamente correlacionadas Se r < 0... variáveis são negativamente correlacionadas Se r = 0... variáveis não são correlacionadas Se r = correlação positiva perfeita Se r = correlação negativa perfeita Observação: Quanto mais próxima de +1 (relação direta) ou -1 (relação inversa), mais forte é a correlação 7

8 Forma alternativa de calcular Mais prática do que as formulas anteriores. Usar a soma dos quadrados das variáveis. SQ x = x 2 ( x)2 n SQ xy = xy ( x)( y) n SQ y = y 2 ( y)2 n r = ρ X, Y = SQ (xy) SQ x x SQ(y) 8

9 Dados hipotéticos Exemplo 1 Usando a SQ(xy) calcular o coeficiente de correlação para as variáveis apresentadas na tabela abaixo e classifique as variáveis quanto à correlação Ano PIB (X) Investimentos em educação (Y)

10 Exemplo 1 - resolução Ano (n) X Y X 2 Y 2 XY 1950 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) SQ x = = 45,43 7 SQ y = = 48 7 SQ xy = 894 r = p X, Y = = ,43 48 = 0,94 X e Y são positivamente correlacionadas (correlação forte). 10

11 Dados hipotéticos Exercício 1 Usando a SQ(xy) calcular o coeficiente de correlação para as variáveis apresentadas na tabela abaixo e classifique as variáveis quanto à correlação Ano Consumo (X) Preço (Y) Resposta: r=-1 ; X e Y apresentam correlação negativa (perfeita) 11

12 Seção 4.2 TESTE DE SIGNIFICÂNCIA 12

13 Coeficiente de correlação (r) Se r > 0... Correlação positiva entre X e Y Quanto mais próximo de 1, mais forte a correlação Se r < 0... Correlação negativa entre X e Y Quanto mais próximo de -1, mais forte a correlação Se r = 0... Não há correlação entre X e Y Se r 0... Indício de não correlação Tendo isto em mente, vamos fazer teste de hipótese para checar a força de uma correlação por meio de r (teste de significância) 13

14 Teste de significância (hipóteses) Hipóteses H 0 : ρ 0 (não há correlação negativa significativa) H 1 : ρ < 0 (correlação negativa significativa) Lado Unilateral à esquerda H 0 : ρ 0 (não há correlação positiva significativa) H 1 : ρ > 0 (correlação positiva significativa) Unilateral à direita H 0 : ρ = 0 (não há correlação significativa) H 1 : ρ 0 (correlação significativa) Bilateral 14

15 Fórmula para calcular hipóteses Teste t pode ser usado Caso de correlação entre duas variáveis ser significativa Distribuição t com n 2 graus de liberdade t c = r σ r = r 1 r 2 n 2 15

16 Exemplo 1 Nos slides 09 e 10 foi apresentado um exemplo com relação a PIB e investimento, onde o r = 0,9423. Com 95% de confiança, o valor de r = 0,9423 indica que a correlação é significante? 16

17 Exemplo 1 - resolução Passo 1: elaborar hipóteses Teoricamente, parece que quando investimento, o PIB H o : ρ = 0... Não há correlação significante H 1 : ρ 0... Correlação significante Passo 2: Fixar nível de significância α = 100% 95% = 5% Passo 3: Calcular estatística t c = 0, (0,9423) ,

18 Exemplo 1 - resolução Passo 4: Tomar decisão Como teste é bilateral, devemos consultar a coluna 5% na tabela t Pegando gl = 7 2, vamos na linha 5, e coluna 5%, e dessa forma, percebemos que t = 2,571, ou seja, nossa região crítica é RC = {T R T 2,571 ou T 2,571} Como t c = 6,2940 RC, rejeitamos H 0, ou seja, nossa correlação entre PIB e Investimento pode ser considerada significativa 18

19 Exercício 1: Obter o coeficiente de correlação entre o conjunto de dados da tabela abaixo e testar a significância de r para 95% de confiança. Adotar: SQ X = 0,4417; SQ Y = 8,6363 ; SQ XY = 1,5172. (Resposta: t c = 2,75821). Pessoa Índice de placa bacteriana (X) Tempo de escovação em minutos (Y) 1 0,08 2,50 2 0,18 1,20 3 0,78 0,50 4 0,03 2,80 5 0,20 1,18 6 0,00 4,00 7 0,05 2,50 19

20 Seção 4.3 REGRESSÃO LINEAR 20

21 Regressão linear Princípio básico: reta que melhor se ajusta a um conjunto de pontos (X,Y) observados 21

22 Matematicamente De modo intuitivo, pensar numa função de grau 1: y = ax + b, em que a e b são números desconhecidos, e para ser uma função de grau 1, a 0. Regressão linear: Dada uma amostra de dados bivariados, vamos montar função: y = ax + b Como se trata de uma reta média entre os pontos observados, é importante perceber que existe um erro entre cada valor da amostra e da reta. 22

23 Calculando os coeficientes y = ax + b a = r s(y) s(x) b = y a. x Legenda: a = coeficiente angular b = intercepto r = coeficiente de correlação s = desvio-padrão amostral y = média dos valores de Y x = média dos valores de X 23

24 Fórmulas alternativas y = ax + b a = n xy ( x)( y) n x 2 ( x) 2 = SQ(xy) SQ(x) b = y ax = n y a x n 24

25 Exemplo 1 Obter a regressão linear do conjunto de dados da tabela abaixo: Pessoa Índice de placa bacteriana (X) Tempo de escovação em minutos (Y) 1 0,08 2,50 2 0,18 1,20 3 0,78 0,50 4 0,03 2,80 5 0,20 1,18 6 0,00 4,00 7 0,05 2,50 25

26 Exemplo 1 resolução n X Y X^2 Y^2 XY 1 0,08 2,50 0,0064 6,2500 0, ,18 1,20 0,0324 1,4400 0, ,78 0,50 0,6084 0,2500 0, ,03 2,80 0,0009 7,8400 0, ,20 1,18 0,0400 1,3924 0, ,00 4,00 0, ,0000 0, ,05 2,50 0,6903 6,2500 0,1250 Soma 1,32 14,68 0, ,4224 1,2510 Média 0, ,09714 dp 0, ,

27 Exemplo 1 resolução SQ X = 0,6906 1,32 2 SQ(X) = 0,44169 SQ Y = 39, ,68 2 SQ(Y) = 8,63634 SQ XY = 1,2510 SQ(XY) = 1, ,32 14,68 7 a = SQ(XY) SQ(X) = 1, ,44169 a = 3,43509 b = y a. x b = 2,09714 ( 3,43509)(0,18857) b = 2,74490 y = ax + b y = 3,43509x + 2,

28 Estudando os resíduos SEÇÃO

29 Recapitulando - Exemplo 1 Supondo dados da tabela, n x i y i x 2 i y 2 i x i. y i , , , , ,5 458 Média 6, ,

30 Exemplo 1 coeficiente de correlação SQ x = = 49,42857 SQ y = 692, = 12,35714 SQ xy = = 24,28571 r = 24, , ,35714 = 0,

31 Exemplo 1 - r significante (95%) H 0 : ρ = 0 (não há correlação significante) H 1 : ρ 0 (há correlação significante) t c = r 1 r 2 n 2 = 0, (0,98266) = 11,85022 α = 100% 95% = 5% RC = T R T 2,571 ou T 2,571 Como t c RC, rejeitamos H 0, ou seja, existem indícios que permitem considerar a correlação entre x i e y i 31

32 Exemplo 1 regressão linear a = SQ(xy) = 24,28571 SQ(x) 49,42857 a = 0,49133 b = y a x = 9, , ,28571 b = 6,76878 y = ax + b y = 0,49133x + 6,

33 Contexto Mesmo ajustando a regressão aos dados observados, ainda assim é comum que o ajuste esteja sujeito a erros, o qual chamamos de desvios 33

34 Tipos de desvios Desvio não explicado: diferença entre valor amostrado e o valor previsto pela regressão (e i = y i y i ) Diferença entre valor previsto e o amostrado Desvio explicado: diferença entre o valor previsto pela regressão e o valor médio da mesma (y i y) Desvio totalmente entendido pela regressão Desvio total: diferença entre o valor amostrado e o valor médio (y i y) Ou seja, desvio total = desvio explicado + desvio não explicado 34

35 Fórmula dos desvios Variação total = var. explicada + var. não explicada (y i y) 2 = (y i y) 2 + y i y i 2 35

36 Exemplo 1 - desvios Desvio total: DT = (y i y) 2 DT = DE + DNE Desvio explicado: DE = (y i y) 2 Desvio não explicado: DNE = y i y i 2 n x i y i Regressão DT DE DNE , , , , ,5 8, , , , , , , , , , , , ,5 10, , , , , , , , , , , , , , ,42486 Média 9,

37 Coeficiente de determinação (ou explicação) Medida que mostra em termos percentuais, quanto de Y e explicado por X. Por exemplo, se o resultado do coeficiente de determinação for 0,8: Significa que 80% da variação de Y se deve a X Significa que 20% não pode ser explicado por X Coeficiente de determinação = variação explicada variação total Coeficiente de determinação = r 2 37

38 Exemplo 1 coeficiente de determinação (r 2 ) r 2 = variação explicada variação total = 11, ,35714 = 0,96562 Ou r 2 = 0, = 0,96562 Isso significa que 96,56% da variação de Y se deve a X E que 3,44% não pode ser explicado por X 38

39 Intervalo de previsão (IP) Intervalo de previsão: quando fazemos uma regressão linear y = ax + b, é natural se construir um intervalo de confiança para a estimativa Dada y = ax + b, para cada valor específico x i, o intervalo de confiança para y i será: y i E < y i < y i + E, ou, y i E, y i E, onde E é a margem de erro. 39

40 IP Dada regressão y = a. x + b, margem de erro E para estimativa y 0, calculada a partir de um valor x 0, é dada por: E = t γ S e n + n x 0 x 2 n x 2 x 2 t γ é obtido a partir da tabela T com n-2 graus de liberdade e erro padrão da estimativa obtido pela fórmula: S e = (y i y i ) 2 n 2 = y i 2 b y i a x i y i n 2 40

41 Exemplo 1 - IP y = 0,49133x + 6,76878 com 95% de confiança para y 0, dado x o = 4 Resolução: y 0 = 0, ,76879 = 8,73410 S e = (y i y i ) 2 n 2 = 0, = 0,

42 Exemplo 1 IP (continuação) α = 100% 95% = 5%... t γ = 2,571 E = t γ S e n + n x 0 x 2 n x 2 x 2 E = 2,571 0,29150 E = 0, (4 6,28571)2 7(326) (44) 2 42

43 Exemplo 1 IP (continuação) IC y 0 = 8,73410 ; 95% IC = 8,73410 E; 8, E IC = 8, ,83742; 8, ,83742 IC = 7,89668; 9,57152 Conclusão: Há 95% de probabilidade de y 0, calculado a partir de x 0 = 4, pertencer ao intervalo 7,89668; 9,

44 Anexo ALFABETO GREGO 44

45 A. Alfabeto grego Nome Pronúncia Minúscula Maiúscula Equivalente latino Alfa Alpha a Beta Vita b Gama Ghama gh = g = j Delta Dhelta dh = d Epsilon Épsilon e Zeta Zita z Eta Ita e ou h Teta Thita th = t Iota Iota i = j Kapa Kappa k = c = qu Lambda Lambda l Mi Mi m 45

46 B. Alfabeto grego (continuação) Nome Pronúncia Minúscula Maiúscula Equivalente latino Ni Ni n Ksi Ksi ou xi ks = cs = ch (X) Omicron Ômikron o Pi Pi p Ro Ro r = rh Sigma Sigma s Tau Taf t Upsilon Ípsilon u = y = i Phi Fi ph = f Psi Psi Os Chi Khi (ri) kh = x (H) Omega Omega o 46