TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

Transcrição

1 TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM Ralph dos Santos Silva Departamento de Métodos Estatísticos Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro

2 Sumário

3 Amostragem estratificada Divisão da população em grupos chamados de estratos, motivada por: melhora da precisão das estimativas; estimativas independentes para estratos além da população como um todo; questões administrativas, estratos naturais Motivação técnica: Var AAS (y) = (1 f ) S2 n ; Erro diminui quando amostra cresce, mas cresce quando a variabilidade é grande; Uma alternativa é dividir a população em grupos (estratos) o mais homogêneos possíveis

4 Exemplo: Seja uma população P 8 sendo que se conhece as variáveis renda domiciliar (y) e bairro de moradia (x) como na tabela abaixo: i Y i X i B A B B B A A B Y = 11; σ 2 = 24; S 2 = 27, 43 Estrato A Estrato B i Y i X i A A A B B B B B Y A = 16 σa 2 = 8, 67 SA 2 = 13 Y B = 8 σb 2 = 9, 2 SB 2 = 11, 5

5 Vamos selecionar amostras de tamanho 4 das seguintes maneiras: AAS na população P N ; AAS de tamanho 2 no estrato A e AAS de tamanho 2 no estrato B Então, pode-se calcular: Var AAS (y) = (1 f ) S2 n Var AAS (y A ) = (1 f A ) S2 A n A Var AAS (y B ) = (1 f B ) S2 B n B Pode-se calcular a média da população como uma média ponderada das médias dos grupos A e B Propomos como estimador da média populacional a seguinte estatística: y ae = N A N y A + N B N y B

6 Portanto, Var(y ae ) = [ ] 2 NA Var(y N A ) + O efeito da estratificação é dado por: EPA = Var(y ae ) Var(y) [ ] 2 NB Var(y N B ) Escolha do método de amostragem: melhor método é o que tem menor variância para o estimador

7 Nem tudo são flores! Vamos supor que ao invés de usar a variável bairro para estratificar, fosse usada outra variável tal que: Estrato A Estrato B i Y i X i B A B B B A A B Y A = 10, 25 σa 2 = 24, 69 SA 2 = 32, 92 Y B = 11, 75 σb 2 = 22, 19 SB 2 = 29, 58 Será isto razoável? Qual será o valor EPA?

8 Formalização Seja a população P N = {U 1, U 2,, U N } Dividida em H estratos: P N1 = {U 11, U 12,, U 1N1 } P N2 = {U 21, U 22,, U 2N1 } P NH = {U H1, U H2,, U HNH }, sendo que P N = H P Nh e H P Nh =

9 Pode-se representar uma população estratificada por: Estrato Total Média Variância 1 τ 1 µ 1 = Y 1 σ1 2 ou S1 2 2 τ 2 µ 2 = Y 2 σ2 2 ou S2 2 h τ h µ h = Y h σh 2 ou Sh 2 H τ H µ H = Y H σh 2 ou SH 2 População τ µ = Y σ 2 ou S 2

10 Notação da população Tamanho do estrato h: N h ; Total do estrato h: τ h = Y h = N h i=1 Y hi; Média do estrato h: µ h = Y h = 1 N h Nh Variância do estrato h: S 2 h = 1 N h 1 Peso do estrato h: W h = N h N i=1 Y hi; Nh i=1 (Y hi Y h ) 2 ; tal que H W h = 1; Tamanho da população: N = H N h; Total da população: τ = H τ h ou Y = H Y h; Média da população: µ = Y = 1 N H Nh Variância populacional: S 2 = 1 N 1 H i=1 Y hi = H W hy h ; Nh i=1 (Y hi µ) 2

11 Notação da amostra Considere y ih como a i-ésima observação do estrato h Tamanho da amostra do estrato h: n h ; Média amostral do estrato h: y h = 1 n h nh Variância amostral do estrato h: s 2 h = 1 n h 1 Fração amostral do estrato h: f h = n h N h ; Tamanho da amostra: n = H n h; i=1 y hi; nh i=1 (y hi y h ) 2 ;

12 Resultados Temos que σ 2 = σ 2 d + σ 2 e A variância pode ser vista como uma soma das variâncias dentro dos grupos (estratos) mais uma medida da variância entre os grupos, sendo: tal que σ 2 d = W h σh 2 e σe 2 = σ 2 = σ 2 d + σ 2 e = De forma análoga, tem-se S 2 = W h (Y h Y ) 2 W h σh 2 + W h (Y h Y ) 2 N h 1 N 1 S2 h + N h N 1 (Y h Y ) 2

13 Estimação O estimador da média populacional (média global) é dado por: y ae = 1 N N h y h = W h y h, sendo y h o estimador da média no estrato h Se todos os y h são estimadores não tendenciosos, tem-se que: E(y ae ) = Y Em particular, isso ocorre se os estimadores de cada média de estrato for a correspondente média amostral

14 Exemplo Uma vila foi dividida (estratificada) em três conjuntos de domicílios segundo suas características: 1-região onde moram trabalhadores da indústria, 2-moradores mais antigos, 3-área rural Foi selecionada uma amostra em cada estrato e investigado o número de horas em que se assiste televisão por semana em cada domicílio Estimar a média de horas por semana em cada estrato e na população; Existe evidência que o número de horas difere em cada estrato? Estrato 1 Estrato 2 Estrato N 1 = 155 N 2 = 62 N 3 = 93 n 1 = 20 n 2 = 8 n 3 = 12

15 Exemplo (continuação) y ae = y 1 = 33, 900 s1 2 = 33, y 2 = 25, 125 s2 2 = 232, 4107 y 3 = 19, 000 s2 2 = 87, [155 33, , , 0] = 27, Ao nível de significância de 5%, tem-se: ic 95% (Y 1 ) = (31, 47; 36, 33) ic 95% (Y 2 ) = (15, 27; 34, 98) ic 95% (Y 3 ) = (14, 05; 30, 07) Portanto, existe diferença entre o número médio de horas em cada estrato

16 Importante O estimador sugerido para a média populacional na amostragem estratificada não é a média amostral A média amostral é dada por: y = 1 n = 1 n = n h y hi i=1 n h y h w h y h com w h = n h, h = 1, 2,, H n Então, y = y ae se w h = W h para todo h = 1, 2,, H

17 Estimação Um estimador para o total populacional é dado por: Ŷ ae = Ŷ h = N h y h = Ny ae com Ŷh = N h y h Variância dos estimadores: média: Var AE (y ae ) = Wh 2 Var(y h ) total: Var AE (Ŷae) = H N2 Wh 2 Var(y h ) = Nh 2 Var(y n ) E se em todos os estratos tivermos AAS?

18 Alocação da amostra Um problema na amostragem estratificada é determinar como dividir as n unidades da amostra total em cada estrato de modo que: n = n h Chama-se este problema de alocação da amostra Os três tipos principais de alocação são: Alocação proporcional; Igual; Ótima ou de Neyman

19 Alocação proporcional Nesse tipo de alocação o número de unidades na amostra em cada estrato é proporcional ao tamanho do estrato: Portanto: n h = nw h = n N h, para todo h = 1, 2,, H N f h = n h = n, para todo h = 1, 2,, H N h N Alocação igual Tem-se que n h = n H, para todo h = 1, 2,, H Pode-se adaptar adequadamente as fórmulas das variâncias dos estimadores para cada alocação

20 Exemplo Uma região possui 60 municípios e deseja fazer uma amostragem para atualizar a estimativa do total de sua população Para isso foi decidido pesquisar 20 cidades e deseja-se saber qual seria o mais eficiente para o caso: uma amostra aleatória simples (AAS), uma amostra aleatória estratificada (AAE) com alocação proporcional ou uma AAE com alocação igual As cidades foram agrupadas em dois estratos segundo a população apurada no último Censo (cidades grandes: mais de 300 mil habitantes; e cidades pequenas: menos de 300 mil habitantes) A tabela mostra essa estratificação e as populações, no censo, em milhares de habitantes Estrato Estrato Estrato 1 Estrato 2 Total Soma de Quadrado

21 Alocação ótima de Neyman Sabe-se que populações (ou estratos) grandes precisam de amostras grandes Sabe-se que fenômenos com grande variabilidade também precisam de amostras grandes Suponha que o custo para pesquisar uma unidade amostral possa variar para cada estrato A alocação ótima de Neyman leva tudo isso em conta: n h = n O custo da pesquisa será suposto linear, ou seja: C = c 0 + N h S h / c h H N hs h / c h (1) n h c h, (2) sendo c 0 o custo de escritório que não depende de h e c h o custo de pesquisar uma unidade do estrato h

22 Alocação ótima de Neyman Tendo o custo fixo, pode-se calcular o tamanho da amostra, substituindo (1) em (2), por: n = (C c 0) H N hs h / c h H N hs h ch Fixando a variância desejada para estimar a média como V, ou seja, V = Var AE (y ae ) = Wh 2 Var(y h ) = W 2 h (1 f h ) S2 h n h = e substituindo (1) em V, tem-se: ( H W hs h / ) ( H c h W ) hs h ch n = V + 1 H N W hsh 2 Wh 2 Sh 2 1 n h N W h Sh, 2

23 Para o caso em que os custos para coleta dos dados independem do estrato tem-se N h S h W h S h n h = n H N = n H hs h W hs h A alocação acima é a que minimiza a variância quando o tamanho total da amostra, n, é dado Utiliza-se também essa fórmula quando não se tem nenhuma ideia sobre o custo de coleta nos estratos

24 Dado um tipo de alocação, pode-se adaptar as fórmulas das variâncias dos estimadores: Alocação proporcional: Var(y es:prop ) = 1 f nn N h Sh 2 Alocação igual ou uniforme: Var(y es:igual ) = 1 N 2 [ H n ] Nh 2 Sh 2 N h Sh 2 Alocação ótima ou Neyman: ( Var(y es:otima ) = 1 1 H ) 2 N N 2 h S h N h Sh 2 n

25 Tamanho da amostra estratificada - caso geral Seja V a variância mínima desejada para estimar a média da população Seja uma alocação qualquer n h = na h, sendo a h a constante que define a alocação no estrato h Pela fórmula da variância da média temos ( V = Wh 2 1 na ) h S 2 h = 1 N h na h n Logo, W 2 h Sh 2 1 a h N W h Sh 2 n = H W 2 h S 2 h a h V + 1 N H W hs 2 h Portanto, os a h s vão depender da alocação escolhida Proporcional: a h = W h Igual: a h = 1 H Ótima: a h = W h S h / c h H W hs h / c h

26 Pode-se usar a mesma estratégia do cálculo do tamanho da amostra na AAS, calculando n 0 e depois n, sendo: n 0 = 1 V W 2 h S 2 h a h, n = NV n 0 W h Sh 2 Fixando o erro, d, ao invés da variância V : [ ] 2 d V = z 1 α/2

27 Intervalos de confiança Intervalos de confiança para a média e total, supondo AAS dentro dos estratos Seja a variância amostral em cada estrato: s 2 h = 1 n h 1 n h i=1 (y hi y h ) 2 Um estimador não tendencioso para variância da estimativa da média é: v(y ae ) = W 2 h s 2 h n h W h s 2 h N Intervalos de confiança podem ser calculados por: ) ic (1 α)100% (Y ) = (y ae z 1 α/2 v(y ae ), y ae + z 1 α/2 v(y ae ) ( ) ic (1 α)100% (Y ) = Ny ae z 1 α/2 N v(y ae ), Ny ae + z 1 α/2 N v(y ae )

28 Intervalos de confiança Quando as amostras nos estratos são muito pequenas aconselha-se substituir a aproximação Normal pela t-student com ν graus de liberdade Os graus de liberdade são dados por ν = H [ H ] 2 g hsh 2 [ g 2 h sh 4(n h 1) ] com g 2 h = N h(n h n h ) n h O grau de liberdade ν pode ser arredondado para um inteiro positivo

29 Estrato com tamanho unitário Suponha que os estrato certo é h = 1 Então, o estimador da média da população é y ae = W h y h = W 1 Y 1 + W h y h, com variância dada por Var AE (y ae ) = W 2 1 Var AE (Y 1 ) + h=2 Wh 2 Var AE (y h ) = h=2 pois Var AE (Y 1 ) = 0 Para o total populacional, tem-se: Ŷ ae = N 1 Y 1 + N h y h, Var AE (Ŷae) = H h=2 h=2 e N 2 h Var AE (y h ) Wh 2 Var AE (y h ), h=2

30 Amostragem estratificada: proporções Em uma população com H estratos: P h = N ch N h, sendo N ch o número de unidades no estrato h com a característica A variância de y no estrato h é dada por: S 2 h = N hp h Q h N h 1 Estima-se a proporção na população por: p ae = 1 N N h p h = W h p h, com p h = y ae = 1 n h n h i=1 y hi Sua variância é dada por Var AE (p ae) = Wh 2 Var AE (p h ) = W 2 h [ ] Nh n h Ph Q h N h 1 n h

31 Tamanho da amostragem Alocação proporcional: n h = nw h Fixando a variância V : V = W 2 h [ ] Nh nw h Ph Q h = N N h 1 nw h n W 2 h H P h Q h N h 1 W 2 h P h Q h N h 1 n = N H W 2 h P h Q h N h 1 V + H W h 2 P h Q h N h 1 Supondo N h grande : = n n 0 N com n 0 = N H W 2 h V P h Q h N h 1 H n = W hp h Q h V + 1 = n 0 H N W hp h Q h 1 + n 0 N H com n 0 = W hp h Q h V