Teste de hipóteses para uma média populacional com variância conhecida e desconhecida

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1 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância conhecida e desconhecida Teste de hipóteses para uma média populacional com variância conhecida Tomando-se como exemplo os dados de recém-nascidos com Síndrome de Desconforto Idiopático Grave (SDIG) é possível elaborar a hipótese de que crianças que nascem com esta síndrome possuem peso médio ao nascer menor do que o peso médio ao nascer de crianças sadias. A variável de estudo é peso ao nascer (quantitativa contínua) Com base em conhecimento prévio (da literatura) sabe-se que a distribuição do peso ao nascer em crianças sadias segue uma distribuição normal com média 3000 gramas e desvio padrão 500 gramas, ou seja ~ N( = 3000; σ = 500). µ Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 1

2 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância populacional conhecida Pela abordagem de Neyman e Pearson Formulação das hipóteses H H 0 a : µ : µ SDIG SDIG = µ < µ Sadia Sadia ou H H 0 a : µ : µ SDIG SDIG = < Fixando-se o nível de significância α = 0, 05 Supor um tamanho de amostra n=50 recém-nascidos com SDIG Distribuição de probabilidade Como as hipóteses envolvem a média populacional, é necessário utilizar a distribuição de probabilidade da média. Pelo Teorema Central do Limite tem-se que σ ~ N( µ = µ ; σ = ) portanto, se H 0 for verdade, n e admitindo-se que as crianças com SDIG possuem distribuição do peso ao nascer com mesma dispersão que as crianças sadias, tem-se 500 ~ N( µ = 3000; σ = 50) Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 2

3 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância populacional conhecida Pode-se utilizar Z ou x obs para a tomada de decisão. Região de rejeição e aceitação da hipótese H 0. H 0 Rejeição de H 0 Aceitação de H 0 α=0,05 µ = z Z crítico =-1,64 σ = 70,71 Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 3

4 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância populacional conhecida Cálculo do peso médio na amostra de crianças com SDIG Supor que na amostra de 50 crianças, foi observado peso médio ao nascer igual a 2800 gramas ( x obs = 2800). Cálculo do peso médio observado em número de desvios padrão: xobs µ Z = = = 2, 83 obs σ 70,71 Confrontar o valor da estatística do teste com a região de rejeição e aceitação de H 0 Como Z obs está à esquerda de Z crítico (região de rejeição), decide-se por rejeitar H 0. Decisão Rejeita-se H 0. Conclusão Foi encontrada diferença estatisticamente significante entre os pesos ao nascer de crianças sadias e com SDIG para nível de significância α = 0,05. Crianças com SDIG nascem com peso menor do que crianças sadias. Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 4

5 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância populacional conhecida É possível realizar o teste comparando a média observada na amostra ( x = 2800) e o valor de peso médio ao nascer que deixa, no caso deste exemplo, uma área α=0,05 à sua esquerda. O valor de peso médio que limita esta área é denominado x critico. Cálculo de De Z x critico x critico x critico = tem-se critico Z critico σ µ x critico = 1,64x70, = 2884, 04g x = σ + µ obs Rejeita-se H 0 Aceita-se H 0 x critico = 2884, 04g Como x = 2800 é menor que x critico (fica à esquerda), opta-se por rejeitar H 0. obs µ σ = 3000 = 70,71 Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 5

6 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância populacional conhecida Regra geral: Rejeita-se H 0 se H : µ > µ Z obs >Z crítico para a SDIG Sadias H : µ < µ Z obs <-Z crítico para a SDIG Sadias H : µ µ Z obs >Z crítico ou Z obs <-Z crítico para a SDIG Sadias Ou Rejeita-se H 0 se x obs > x critico para H a : µ SDIG > µ Sadias x obs < x critico para H a : µ SDIG < µ Sadias x obs > x critico ou x obs < xcritico para H a : µ SDIG µ Sadias Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 6

7 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância populacional desconhecida Supor a situação anterior, só que a variância (desvio padrão) populacional do peso ao nascer de crianças sadias é desconhecida sendo conhecido somente o peso médio populacional de crianças sadias ( µ Sadias =3000 gramas). Formulação das hipóteses H H 0 a : µ : µ SDIG SDIG = 3000 < 3000 Fixando-se o nível de significância α = 0, 05 Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 7

8 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância populacional desconhecida Cálculo do tamanho da amostra: supor um tamanho de amostra n=50 recém-nascidos com SDIG Distribuição de probabilidade Como as hipóteses envolvem a média populacional, é necessário utilizar a distribuição de probabilidade da média. σ Pelo Teorema Central do Limite tem-se que ~ N( µ = µ ; σ = ). n Admitindo-se que H 0 é verdade, resta um problema que é o fato de não se conhecer o valor da dispersão do peso ao nascer das crianças sadias. Neste caso não é possível utilizar a estatística Z. Utiliza-se, então, a estatística T onde µ T = S n população de estudo, estimado com os dados da amostra de crianças com SDIG. µ = S sendo S o desvio padrão da Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 8

9 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância populacional desconhecida T segue uma distribuição t de Student, com (n-1) graus de liberdade. Quando o tamanho da amostra é grande, a estatística T tende para uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1 ( n T ~ N( 0 ;1 ) ). A família t de Student Student é o pseudônimo de W. S. Gosset que, em 1908, propôs a distribuição t. Esta distribuição é muito parecida com a distribuição normal. A família de distribuições t é centrada no zero e possui formato em sino. A curva não é tão alta quanto a curva da distribuição normal e as caudas da distribuição t são mais altas que as da distribuição normal. O parâmetro que determina a altura e largura da distribuição t depende do tamanho da amostra (n) e é denominado graus de liberdade (gl), denotado pela letra grega (ν ) (lê-se ni). A notação da distribuição t é t ν. Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 9

10 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância populacional desconhecida Curvas t para graus de liberdade (tamanhos de amostra) diferentes. Quando o número de graus de liberdade da distribuição t aumenta, a distribuição se aproxima de uma distribuição normal. Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 10

11 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância populacional desconhecida Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 11

12 Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média Teste de hipóteses para uma média populacional com variância populacional desconhecida Esta família t não descreve o que acontece na natureza mas sim o que aconteceria se selecionássemos milhares de amostras aleatórias de uma população normal com média µ e fosse calculado amostra. t µ s = para cada Calculando o valor de t para 500 amostras de tamanho 6 de uma população com distribuição normal, obtém-se o gráfico a seguir n 12

13 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância populacional desconhecida Obs: A tabela da distribuição de Student apresenta um valor de probabilidade dividido em duas partes iguais. Para n=50, o número de graus de liberdade (gl) é 49; como não existe este valor na tabela, deve-se trabalhar com o número de gl mais próximo e dependendo se o teste é mono ou bicaudal, utiliza-se respectivamente o valor de p/2 ou p, apresentados na primeira linha da tabela. Por exemplo: n=10; teste bicaudal, α=0,05; t crítico =-2,262 e t crítico = 2,262 (p da tabela =0,05) n=10; teste monocaudal a esquerda, α=0,05; t crítico =-1,833 (p da tabela = 0,10) n=10; teste monocaudal a direita, α=0,05; t crítico = 1,833 (p da tabela = 0,10) Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 13

14 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância populacional desconhecida Região de rejeição e aceitação da hipótese H 0. H 0 Rejeição de H 0 Aceitação de H 0 α=0,05 µ = 3000 t crítico = -1,676 0 t Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 14

15 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância populacional desconhecida Cálculo do peso médio na amostra de crianças com SDIG Supor que na amostra de 50 crianças, foi observado peso médio ao nascer igual a 2800 gramas e desvio padrão igual a 610g ( x 2800; s = 610). obs = Cálculo do peso médio observado em número de desvios t obs = x obs S µ = = 2, Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 15

16 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância populacional desconhecida Confrontar o valor da estatística do teste com a região de rejeição e aceitação de H 0 Como t obs está à esquerda de t crítico (região de rejeição), decide-se por rejeitar H 0. Decisão Rejeita-se H 0. Conclusão Foi encontrada diferença estatisticamente significante entre os pesos ao nascer de crianças sadias e com SDIG para nível de significância α = 0,05. Crianças com SDIG nascem com peso menor do que crianças sadias. Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 16

17 Exemplo Uma companhia de produtos alimentícios utiliza uma máquina para embalar salgadinhos cujas embalagens especificam 454gramas. Com o propósito de verificar se a máquina está trabalhando corretamente, selecionou-se 50 pacotes de salgadinhos, obtendo-se os seguintes valores de peso: média da amostra, x =451,22 gramas e s=8,40 gramas Testar a hipótese de que a máquina está trabalhando corretamente. Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 17

18 Exercício 1 O conteúdo de iodo em pacotes de sal é recomendado que seja igual a 590 µ g. Determinada indústria, tendo recebido reclamações de que estava vendendo seu produto com teor de iodo abaixo do recomendado, realizou um estudo com dosagem de iodo em 15 amostras de sal. Os resultados das quantidades de iodo são apresentados a seguir. Realize um teste de hipóteses pela abordagem de Neyman e Pearson (nível de significância = 5%) para verificar se a reclamação procedia Exercício 2 Em uma pesquisa realizada entre os cadetes da Força Aérea sobre a relação entre saúde em geral e patologias orais, o escore médio de CPO (número de superfícies de dentes cariados, obturados ou extraídos em um indivíduo) foi 27,2. Em 121 cadetes que procuraram os serviços médicos 5 ou mais vezes durante um ano, o CPO médio foi 31,1 com desvio padrão 15,5. Se for assumido que estes 121 cadetes representam a população de cadetes com pior saúde, existe evidência que pior nível de saúde está associado a escore de CPO mais elevado? Tome a decisão utilizando as duas estratégias: a clássica de Neyman e Pearson, com nível de significância de 5%. Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 18

19 Teste de hipóteses de uma média populacional (µ) (com variância conhecida e desconhecida) Abordagem de Fisher Revisão de conceitos básicos Distribuição Normal Medindo-se a altura de muitas mulheres (população), obtém-se o gráfico a seguir. Aos dados pode ser ajustada uma curva teórica Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 19

20 A curva ajustada aos dados é uma curva teórica (curva de Gauss) que representa a altura de mulheres idosas. Notação: : altura, ~ N ( µ = 160, σ = 10). A curva tem propriedades conhecidas: Soma da área sob a curva é igual a 1 ou 100%; Pode-se calcular probabilidade trabalhando-se com a área sob a curva; Sorteia-se uma mulher ao acaso; P(desta mulher ter mais de 160) = 50%; P(esta mulher tenha mais de 180)= P ( > 180) = P( Z > ) = P( Z > 2) =0,5-0,47725=0, ou 2,3% Sortear uma mulher com altura 180 ou mais desta população é uma coisa comum? Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 20

21 P(esta mulher tenha mais de 170)= P ( > 170) = P( Z > ) = P( Z > 1) = 0,5-0,34134=0,15866 ou 15,9% Sortear uma mulher com altura 170 ou mais desta população é uma coisa comum? O limite para decidir o que é comum é arbitrário. O investigador é que decide, com base no problema que está sendo estudado. Supor agora uma outra distribuição de altura, por exemplo, entre homens. N m = σ : altura, ~ ( 180, = 10) P(homem tenha mais de 180)= P(>180)=0,5 ou 50% Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 21

22 Supor que as pessoas da primeira curva tenham uma marca vermelha e as pessoas da segunda curva tenham uma marca azul. Misturam-se todas as pessoas e sorteia-se uma pessoa ao acaso e ela tem altura 180. De qual população seria este indivíduo? Agora não estamos mais interessados em um indivíduo e sim em vários indivíduos portanto, vamos trabalhar com a altura média. Supor : altura, ~ N( m = 160, σ = 20). Toma-se uma amostra de tamanho n=30 desta população e calcula-se a altura média ( x = 170 ). Deseja-se saber a probabilidade desta amostra vir de população com altura média maior ou igual a 170. µ= Pelo Teorema Central do Limite m P( 170) = P( ) = P( Z ) = P( Z 2,74) σ 20 3, Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 22

23 Na curva da Normal reduzida tem-se P(Z 2,74) = 0,5-0,49693 = 0,0031 ou 0,31% µ=0 2,74 Z Sortear uma amostra que apresenta altura média igual a 170 cm ou mais da população que tem altura média 160 cm é uma coisa comum? Para decidir se a amostra representa uma população com altura média maior e que o resultado não é devido ao acaso, realiza-se o teste de hipóteses. Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 23

24 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância conhecida - Abordagem de Fisher Situação: Estudos mostram que crianças sadias possuem peso médio (m) ao nascer igual a 3100 gramas e desvio padrão σ = 610gramas. Suspeita-se que crianças que nascem com síndrome de desconforto idiopático grave possuem peso ao nascer abaixo do peso ao nascer da população de crianças sadias. Proposição (equivalente à H 0 ): Crianças com síndrome vêm de uma população com peso médio =3100 gramas Realiza-se um estudo em uma amostra de n=50 crianças que nasceram com esta síndrome, onde observou-se peso médio ( x ) igual a 2800 gramas. Supondo-se que as crianças da amostra (com síndrome) vêm de uma população com mesma dispersão do peso ao nascer de crianças sadias, teste a hipótese de que crianças com síndrome idiopática grave possuem peso médio ao nascer igual ao peso médio ao nascer de crianças sadias. Distribuição de probabilidade: Distribuição do peso médio: segue uma distribuição normal com média m=3100 gramas e desvio σ 610 padrão = = 86, 27 gramas n 50 Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 24

25 2800 µ=3100 Cálculo da probabilidade de observar um peso médio ao nascer igual ou menor que 2800 se H 0 for verdade. m P( 2800) = P( ) = P( Z ) = P( Z 3,48) σ , ,48 µ = 0 Z Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 25

26 Pela distribuição Normal reduzida tem-se que P ( Z 3,48) = 0,5 0,49975 = 0, ou 0,025% Os resultados não são compatíveis com uma distribuição que tem peso médio igual a Possivelmente a amostra vem de uma população com média menor que Pode-se dizer que crianças com síndrome de desconforto idiopático grave possivelmente possuem peso ao nascer menor do que o peso médio de crianças sadias. -3,48 µ = 0 Z Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 26

27 Teste de hipóteses para uma média populacional com variância desconhecida - Abordagem de Fisher Supor a mesma situação anterior, só que neste caso somente a média populacional é conhecida. O peso médio de crianças sadias (µ) é igual a 3100 gramas. H 0 : Crianças com síndrome de desconforto idiopático grave vêm de uma população com peso médio = 3100 gramas Seleciona-se uma amostra de 50 crianças com a síndrome e calcula-se o peso médio e o desvio padrão do peso, obtendo-se n=50; x = 2800 e s=510 Distribuição de probabilidade: Distribuição do peso médio ao nascer de crianças sadias: como não se sabe o desvio padrão populacional, este é estimado utilizando-se os dados da amostra. Neste caso a variável a variável segue uma distribuição t de Student com n-1=50-1=49 graus de liberdade. m P( 2800) = P( ) = P( t ) = P( t 4,159) S ,12 50 Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 27

28 -4,16 µ=0 t Pela distribuição t de Student com 49 graus de liberdade, tem-se P ( 4,159) < 0,05% Os resultados não são compatíveis com uma distribuição que tem peso médio igual a Pode-se dizer que crianças com desconforto idiopático grave provavelmente vêm de uma população com peso médio ao nascer menor do que o peso médio ao nascer de crianças sadias. t Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 28

29 Valor de p é a probabilidade de ocorrência do valor observado ou de um valor mais extremo de uma estatística, em uma curva de probabilidade especificada (conhecida, verdadeira). Fisher dizia que antes de dar uma forma matemática a um problema, propondo hipóteses a serem testadas, era necessário um amplo conhecimento dos dados, o que poderia ser realizado com base no valor de p. Passos necessários para a realização de um teste de hipóteses segundo a abordagem de Fisher. Formular a proposição inicial ( hipótese ) que será testada; Identificar a distribuição de probabilidade; Realizar o estudo e observar o resultado da estatística de interesse; Calcular o valor de p, ou seja, a probabilidade de ocorrer o valor observado ou um valor mais extremo, sob a curva especificada na proposição inicial; Tomar a decisão com base no valor de p. Apresentar as conclusões Aula 14 - Teste de hipóteses de uma média 29