Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

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1 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Para que serve a inferência estatística? Método dos Momentos Maximum Likehood Estimator (MLE) Teste de hipótese: definições Aula de hoje Teste de hipótese com relação a média Teste de hipótese: relação entre os tipos de erro

2 Testes Estatísticos São procedimentos que nos permitem decidir quando aceitar ou rejeitar uma determinada hipótese baseados na informação contida em uma amostra Duas hipóteses devem ser definidas: Hipótese nula H 0 Hipótese contraditória H 1 : é a hipótese alternativa que gostaríamos de aceitar caso a hipótese nula seja falsa. Deve ser escolhida de acordo com o interesse.

3 Testes Estatísticos: Regiões O teste é baseado em um conjunto de variáveis aleatórias X 1, X 2,..., X N que é uma amostra aleatória de tamanho N da população O teste irá dividir o espaço de observações em duas regiões: R(H 0 ) região de aceitação R(H 1 ) região crítica ou de rejeição

4 Testes Estatísticos: Tipos de Erros Tipo de erro I: A hipótese nula (H 0 ) é verdadeira mas a amostra está na região de rejeição do teste. Logo a hipótese H 0 será rejeitada quando deveria ser aceita. A probabilidade de ocorrer este erro é também chamada de nível de significância do teste.

5 Testes Estatísticos: Tipos de Erros Tipo de erro II: A hipótese nula (H 0 ) é falsa mas a amostra está na região de aceitação do teste. Logo a hipótese H 0 será aceita quando deveria ser rejeitada. A probabilidade de ocorrer este erro é é chamada a potência do teste (power of the test)

6 Testes Estatísticos: Tipos de Erros

7 Teste com relação a média região de aceitação Probabilidade da hipótese nula ser verdadeira mas a amostra cair na região de rejeição Se H 0 é verdadeira, temos uma probabilidade igual a (1- da estatística w cair dentro do intervalo (a,b). P [a w b H 0 istrue]=1

8 Teste com relação a média Testar a hipótese a respeito da média de uma população, ou seja H 0 :, baseado em uma amostra de tamanho n de uma população com distribuição normal e variância conhecida igual a Podemos definir uma estatística facilmente a partir da média amostral: Z = X n Z 0 = X n 0 / n / n Considere a hipótese alternativa como sendo H 1 : Como a estatística é simétrica com relação a zero, temos que a=-b. Logo a probabilidade da hipótese H 0 ser aceita é: P [ b Z 0 b]=1

9 Teste com relação a média Como estamos assumindo que a população tem distribuição normal, temos que P [ z / 2 Z 0 z / 2 ]=1 Logo, em termos da média amostral temos: P [μ 0 z α/ 2 σ n < X <μ + z α /2 σ n 0 n ] 1 α f Z 0 x região de aceitação X n μ 0 z α/2 σ n região de rejeição X n μ 0 > z α /2 σ n z /2 z /2

10 Teste com relação a média Testar a hipótese a respeito da média de uma população, ou seja H 0 :. Assuma agora que a hipótese alternativa é H 1 : Logo, em termos da média amostral temos: Z 0 = X n μ 0 σ / n região de rejeição X n 0 z n Só estamos interessados em saber se Z 0 > z α P [ X n >μ 0 z σ α n ] 1 α, X n >μ 0 z α σ n f Z 0 x z região de aceitação H 0 é verdadeira

11 Teste com relação a média Testar a hipótese a respeito da média de uma população, ou seja H 0 :. Assuma agora que a hipótese alternativa é H 1 : Logo, em termos da média amostral temos: Z 0 < z α, P [X n >μ 0 + z α σ n ] 1 α,x n<μ 0 + z α σ n H 0 é verdadeira região de aceitação f Z 0 x Só estamos interessados em saber se região de rejeição X n 0 z n z

12 Teste com relação a média Exemplo do Livro do Trivedi (pg. 697)

13 Relação entre os tipos de erro Usualmente queremos fixar o erro do tipo I ( e formular um teste que tenha o erro do tipo II ( ) o menor possível. Para derivar uma expressão para o erro do tipo II, vamos considerar H 0 : e H 1 : Suponha que a região crítica do teste seja: Logo : X n C =P [ X n C H 0 ] =P[ X n C H 1 ] Resultado do teste cai na região de rejeição mas a hipótese verdadeira é H 0 Resultado do teste cai na região de aceitação mas a hipótese verdadeira é H 1

14 Relação entre os tipos de erro O valor de C é dado por: C= 0 z n Resultado do teste cai na região de rejeição =P [ X n C H 0 ] =P[ X n C H 1 ] c Resultado do teste cai na região de aceitação

15 Relação entre os tipos de erro É possível determinar o tamanho mínimo da amostra a partir dos especificação dos dois tipos de erro

16 Relação entre os tipos de erro Exemplo do Livro do Trivedi (pg. 701)