Estatística e Probabilidade

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2 Teste de hipóteses Objetivo: Testar uma alegação sobre um parâmetro: Média, proporção, variação e desvio padrão Exemplos: - Um hospital alega que o tempo de resposta de sua ambulância é inferior a dez minutos. - Uma revista de consumidores alega que a proporção das chamadas telefônicas via celular feitas durante as tardes e os fins de semana é de no máximo 60%.

3 Teste de Hipóteses Uma teste de hipótese é um procedimento que usa estatística amostral para testar uma alegação sobre um valor de um parâmetro populacional. Por exemplo, podemos formular a hipótese que a vida útil da pilha (informada pelo fabricante) é diferente de 300 min, Formalmente isso é escrito como: μ = μ 300 min 300 min Através dos testes de hipótese poderemos avaliar se esta alegação do fabricante é verdadeira ou falsa.

4 Testes de Hipótese Os testes de hipótese são uma das aplicações da estatística mais usadas. Via de regra, a hipótese nula é feita com base no comportamento passado do produto/processo/serviços, enquanto a alternativa é formulada em função de alterações / inovações recentes. Por que os testes de Hipótese são importantes??? No ambiente atual de melhoria contínua, é fácil entender a importância dos testes de hipótese: eles permitem confirmar a eficácia das medidas de melhoria adotadas. Ao testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória do sistema em estudo e se calcula o parâmetro desejado. Conforme o valor do parâmetro, a hipótese nula será aceita ou rejeitada, a partir de procedimentos estatísticos.

5 Teste de hipóteses Uma alegação sobre um parâmetro populacional é chamada de hipótese estatística. A hipótese nula H 0 é uma hipótese estatística que contem uma afirmativa de igualdade, (, = ou ) A hipótese alternativa H a é o complemento da hipótese nula. É uma afirmativa que deve ser verdadeira se H 0 for falsa e contem uma afirmativa de desigualdade ( <, ou > )

6 Teste de hipóteses Para escrever as hipóteses nulas H 0 e alternativas H a, transforme a formulação verbal da alegação sobre um parâmetro populacional em um formulação matemática. Depois, escreva seu complemento. Exemplo: Se o valor alegado é k e o parâmetro populacional é μ, alguns pares possíveis de H 0 e H á são H H 0 a : : μ μ > k k H : 0 Ha : μ μ < k k H : 0 Ha : μ = μ k k

7 Exemplo: Estabeleça uma alegação sobre a população. Em seguida, estabeleça seu complemento. Cada hipótese, tanto a nula quanto a alternativa, pode representar a alegação. Um hospital alega que o tempo de resposta de sua ambulância é inferior a dez minutos. H 0 H a min min (alegação) Uma revista de consumidores alega que a proporção das chamadas telefônicas via celular feitas durante as tardes e os fins de semana é de no máximo 60%. H 0 0,60 H a 0,60 (alegação)

8 Tipos de erros e nível de significância Não importa se a alegação está representada pela hipótese nula ou pela alternativa: Você sempre começará um teste de hipótese assumindo que a condição de igualdade na hipótese nula é verdadeira. Assim, ao realizar um teste você deve tomar uma das duas decisões: 1 Rejeitar a hipótese nula 2 Aceitar a hipótese nula

9 Tipos de erros e nível de significância Exemplo: Um amigo seu alega que uma moeda não é viciada. 1 - Para testar a alegação você joga a moeda 100 vezes e obtém 49 caras e 51 coroas: Você provavelmente concordará que não há evidência suficiente para rejeitar a alegação. Mesmo assim, é possível que a moeda não seja exatamente honesta e você tenha obtido uma amostra incomum.

10 Tipos de erros e nível de significância E se você jogasse a moeda e obtivesse 21 caras e 79 coroas? É muito improvável que se obtenha tal resultado se a moeda não for viciada. Portanto você tem evidências suficientes para rejeitar a alegação. Mesmo assim, é possível que a moeda não seja viciada e você tenha obtido uma amostra incomum. Ou seja: Para ter certeza de que sua hipótese é falsa ou verdadeira você deve testar toda uma população. Você pode ter rejeitado a hipótese nula quando ela era verdadeira ou não ter rejeitado a hipótese nula quando ela era realmente falsa.

11 Erro tipo I Estatística e Probabilidade Tipos de erros e nível de significância Será que nossa conclusão está correta? Ao decidir pela rejeição ou não de hipótese nula H 0, podemos cometer dois tipos de erro. Erro tipo II

12 Erros e nível de significância Decisão Não rejeitar H 0 Rejeitar H 0 Verdade real de H 0 H 0 verdadeira Decisão correta Erro do tipo I H 0 falsa Erro do tipo II Decisão correta Erro do tipo I: A hipótese nula é realmente verdadeira, mas optou-se por rejeitá-la.

13 Tipos de erros e nível de significância Em um teste de hipótese o nível de significância α éa probabilidade máxima permitida de ocorrer um erro tipo I. P(erro I) I = P(rejeitar H H 0 0 é verdadeira) = α α : nível de significância do teste P(erro II) = P(não rejeitar H H 0 0 éfalsa) = β 1 - β : poder do teste

14 Erros e nível de significância Decisão de um professor

15 Erros e nível de significância

16 Tipos de teste de hipóteses H a valor H a émaisprovável. Teste monocaudal esquerdo H a émaisprovável. H a valor Teste monocaudal direito H a émaisprovável. H a valor Teste bicaudal

17 Valores P Estatística e Probabilidade O valor P é a probabilidade de se obter uma estatística amostral com um valor tão ou mais extremo que o determinado pelos dados da amostra. Área na cauda esquerda. Valor P = área indicada Área na cauda direita. z Em um teste monocaudal esquerdo. Em um teste monocaudal direito. z Se z é negativo, P é o dobro da área da cauda esquerda. z z Em um teste bicaudal. Se z é positivo, P é o dobro da área da cauda direita.

18 Determinando valores P: teste monocaudal A estatística teste para um teste monocaudal direito é z = 1,56. Determine o valor P. Área na cauda direita. z = 1,56 A área à direita de z = 1,56 é 1 0,9406 = 0,0594. Logo, o valor P é 0,0594.

19 Determinando valores P: teste bicaudal A estatística teste para um teste bicaudal é z = 2,63. Determine o correspondente valor P. z = 2,63 A área à esquerda de z = 2,63 é 0,0043. O valor P é 2(0,0043) = 0,0086.

20 Decisões baseadas no valor P Após comparar o valor P ao valor de α, o nível de significância do teste, podemos decidir se há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula. Se P, rejeite a hipótese nula. Se P, não rejeite a hipótese nula.

21 Usando os valores P O valor P de um teste de hipóteses é 0,0749. Tome sua decisão a um nível de significância α de 0,05. Compare o valor P a α Como 0,0749 > 0,05, não rejeite H 0. Se P = 0,0246, qual será sua decisão se: 0,05 0,01 1) Como 0,0246 0,05,, rejeite H 0. 2) Como 0,0246 > 0,01, não rejeite H 0.

22 Exemplo: Identificando a natureza de um teste de hipótese. Para cada alegação, estabeleça em palavras e símbolos H 0 e H a. Determine o tipo de teste, esboce uma distribuição normal e sombreie a área para o valor de P. 1 - Uma universidade federal lá de Imperatriz alega que a proporção de seus estudantes que se graduaram em 4 anos é de 82%. H 0 : p=0,82 H a : p 0,82 A proporção de estudantes graduados é de 82 % A proporção de estudantes graduados não éde 82 % A área marcada de cada lado no gráfico tem metade do valor de P

23 Exemplo: Identificando a natureza de um teste de hipótese. 2 Um fabricante de torneiras afirma que a taxa de fluxo médio de um tipo de torneira é menor do que 2,5 gpm. Área do valor P H 0 : μ 2,5 H a : μ 2,5 A taxa de fluxo média é maior ou igual a 2,5 gpm A taxa de fluxo média é menor que 2,5 gpm 3 Um companhia que fabrica panelada enlatada afirma que o peso médio de suas latas de 1kg é maior que um 1kg Área do valor P H 0 : μ 1 H a : μ1 O peso médio é menor ou igual a 1kg O peso médio é maior que 1kg

24 Interpretando a decisão Alegação A alegação é H 0 A alegação é H a Decisão Rejeite H 0 Não rejeite H 0 Há evidência suficiente para rejeitar a alegação. Não há evidência suficiente para rejeitar a alegação. Há evidência suficiente para aceitar a alegação. Não há evidência suficiente para aceitar a alegação.

25 Etapas do teste de hipóteses 1. Estabeleça as hipóteses alternativa e nula. Escreva H 0 e H a como afirmativas matemáticas. Lembre que H 0 sempre contém o símbolo =. 2. Estabeleça o nível de significância. Ele representa a probabilidade máxima de se rejeitar a hipótese nula, caso ela seja a realmente verdadeira (ou seja, de se cometer um erro do tipo I). 3. Identifique a distribuição amostral. A distribuição amostral é a distribuição da estatística teste, supondo-se que a condição de igualdade na H 0 seja verdadeira e que o experimento foi repetido infinitas vezes.

26 Etapas do teste de hipóteses 4. Determine a estatística teste e padronize-a. Faça os cálculos para padronizar sua estatística amostral. 5. Calcule o valor P da estatística teste. Ele representa a probabilidade de se obter a estatística teste (ou outro valor mais extremo) na distribuição amostral.

27 Etapas do teste de hipóteses 6. Tome sua decisão. Se o valor P for menor que α (o nível de significância), rejeite H 0. Se o valor P for maior que α, não rejeite H Interprete sua decisão. Se a alegação for a hipótese nula, você poderá rejeitá-la ou determinar que não há evidência suficiente para isso. Se a alegação for a hipótese alternativa, você poderá aceitá-la ou determinar que não há evidência suficiente para isso.

28 Na Na próxima próxima aula: aula: Cap. Cap Testes Testes de de Hipótese Hipótese para para Média Média Amostras Amostras grandes, grandes, pequenas... pequenas... e e mais, mais, muito muito mais... mais...

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