Intervalos de Confiança - Amostras Pequenas

Transcrição

1 Intervalos de Confiança - Amostras Pequenas Teste de Hipóteses para uma Média Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP

2 1 Fixando a ideia de intervalo de confiança e tamanho da amostra 2 3

3 Fixando a ideia de intervalo de confiança Para estimar a média µ de uma população qualquer usamos a média X de uma amostra de tamanho n. Do teorema do limite central tem-se E = X µ N(0, σ X ), sendo σ X = σ n.

4 Fixando a ideia de intervalo de confiança Para estimar a média µ de uma população qualquer usamos a média X de uma amostra de tamanho n. Do teorema do limite central tem-se E = X µ N(0, σ X ), sendo σ X = σ n. P( E < 1.96σ X ) = P( 1.96σ X < X µ < 1.96σ X ) = 0.95 P(X 1.96σ X < µ < X σ X ) = 0.95

5 Fixando a ideia de intervalo de confiança Para estimar a média µ de uma população qualquer usamos a média X de uma amostra de tamanho n. Do teorema do limite central tem-se E = X µ N(0, σ X ), sendo σ X = σ n. P( E < 1.96σ X ) = P( 1.96σ X < X µ < 1.96σ X ) = 0.95 P(X 1.96σ X < µ < X σ X ) = 0.95 Se, baseados em amostras de tamanho n, construirmos uma quantidade grande de intervalos (X 1.96σ X, X σ X ), então 95% deles contêm o parâmetro µ.

6 Tamanho da amostra para estimar µ Tamanho da amostra: n = ( zα σ ) 2, E sendo E a margem de erro, σ o desvio padrão e z α é tal que P( z < z α ) = α 2

7 Tamanho da amostra para estimar µ Tamanho da amostra: n = ( zα σ ) 2, E sendo E a margem de erro, σ o desvio padrão e z α é tal que P( z < z α ) = α 2 Para aumentar a precisão da estimativa sem diminuir o nível de confiança aumenta-se o tamanho da amostra.

8 Exemplo 1 Determinar o tamanho mínimo da amostra para obter 95% de confiança de que a média amostral esteja a uma unidade da média populacional. Assuma que a população é normalmente distribuída com desvio padrão σ = 4.8.

9 Exemplo 1 Determinar o tamanho mínimo da amostra para obter 95% de confiança de que a média amostral esteja a uma unidade da média populacional. Assuma que a população é normalmente distribuída com desvio padrão σ = 4.8. ( ) n = =

10 Tamanho da amostra para estimar a proporção p No caso da proporção tem-se n = ˆp(1 ˆp) ( zα ) 2. E Se não for possível uma estimativa inicial de ˆp use ˆp = 0.5, que é o valor onde se tem o máximo da função f (ˆp) = ˆp(1 ˆp) (ou a margem de erro máxima).

11 Exemplo 2 Deseja-se estimar com 95% de confiança a proporção de eleitores que irão votar em determinado candidato. Com uma margem de erro de 3% encontrar o tamanho da amostra necessária nas seguintes situações: (a) não há nenhuma estimativa prévia (b) há uma estimativa prévia ˆp = 0.31.

12 Exemplo 2 Deseja-se estimar com 95% de confiança a proporção de eleitores que irão votar em determinado candidato. Com uma margem de erro de 3% encontrar o tamanho da amostra necessária nas seguintes situações: (a) não há nenhuma estimativa prévia (b) há uma estimativa prévia ˆp = (a) (b) n = n = ( ) = ( ) =

13 Quando σ não for conhecido o desvio padrão amostral s e a distribuição t podem ser usados para se obter um intervalo de confiança para a média populacional. A distribuição t Se a distribuição X for aproximadamente normal, então segue uma distribuição t. t = X µ s/ n

14 Distribuição t Cada curva t é determinada pelos seus graus de liberdade (gl). Os gl são o número de escolhas livres deixadas depois que X é calculada.

15 Exemplo 3 Observe que o valor crítico t c = corresponde a uma confiança de 95% quando o tamanho da amostra é 15.

16 Intervalos de confiança e a distribuição t Identifique a amostra: n, X e s. X = n i=1 x i n s = n i=1 (x i X ) 2 n 1 Nível de confiança c, e graus de liberdade gl = n 1 s Margem de erro: E = t c n Int. Conf.: X E < µ < X + E

17 Exemplo 4 Seleciona-se 16 cafeterias e mede-se a temperatura do café vendido em cada uma delas. A média da temperatura é o F com desvio padrão de 10.0 o F. Encontre um intervalo de 95% de confiança para a temperatura média admitindo que as temperaturas são aproximadamente normalmente distribuídas.

18 Exemplo 4 Seleciona-se 16 cafeterias e mede-se a temperatura do café vendido em cada uma delas. A média da temperatura é o F com desvio padrão de 10.0 o F. Encontre um intervalo de 95% de confiança para a temperatura média admitindo que as temperaturas são aproximadamente normalmente distribuídas. Portanto s E = t c = n 16 IC : (X E, X + E) = ( , ) = (156.7, 167.3)

19 Testes de Hipóteses Uma afirmação sobre um parâmetro populacional é chamada de hipótese estatística. Para testar um parâmetro populacional devemos afirmar cuidadosamente um par de hipóteses: { H0 : µ k H 1 : µ > k { H0 : µ k H 1 : µ < k { H0 : µ = k H 1 : µ k H 0 : Hipótese nula (contém a igualdade) H 1 : Hipótese alternativa (complemento da H 0 )

20 Tipos de erro. Inicia-se assumindo que a condição de igualdade é verdadeira na hipótese H 0. Decisões:

21 Tipos de erro. Inicia-se assumindo que a condição de igualdade é verdadeira na hipótese H 0. Decisões: A verdade de H 0 Decisão H 0 é verdadeira H 0 é falsa Não rejeite H 0 Decisão correta Erro tipo II Rejeite H 0 Erro tipo I Decisão correta

22 Tipos de erro. Inicia-se assumindo que a condição de igualdade é verdadeira na hipótese H 0. Decisões: A verdade de H 0 Decisão H 0 é verdadeira H 0 é falsa Não rejeite H 0 Decisão correta Erro tipo II Rejeite H 0 Erro tipo I Decisão correta Nível de significância: probabilidade máxima permitida para cometer um erro do tipo I. É denotado por α. Probabilidade de um erro de tipo II: β. Para calcular a probabilidade de cometer um erro do tipo II é preciso conhecer a média populacional, o que raramente ocorre na prática.

23 Teste unicaudal à esquerda { H0 : µ k H 1 : µ < k Estatística do teste: z 0 = X k σ/ n O valor p (p-valor) é a área à esquerda da estatística do teste.

24 Teste unicaudal à direita { H0 : µ k H 1 : µ > k Estatística do teste: z 0 = X k σ/ n O valor p (p-valor) é a área à direita da estatística do teste.

25 Teste bicaudal { H0 : µ = k H 1 : µ k Estatística do teste: z 0 = X k σ/ n O valor p (p-valor) é duas vezes a área à direita (esquerda) do valor positivo (negativo) da estatística do teste.

26 Exemplo 5 Está sendo proposta uma dieta que visa a reduzir o nível de colesterol sanguíneo. De uma população em que o nível médio é 262 mg/ml e o desvio padrão, 70 mg/ml, é selecionada uma amostra de 20 pessoas que se submetem a esta dieta. Ao final de certo tempo, o nível de colesterol é medido nessas pessoas e a média é 233 mg/ml. Pode-se afirmar que a dieta produziu realmente uma redução no colesterol sanguíneo (α = 0.05) ou a diferença deve ser atribuída ao acaso?

27 Exemplo 5: Resolução { H0 : µ dieta 262 H 1 : µ dieta < 262 (afirmação)

28 Exemplo 5: Resolução A estatística do teste: z 0 = / 20 = está na região de significância (rejeição).

29 Exemplo 5: Resolução A estatística do teste: z 0 = / 20 = está na região de significância (rejeição). Portanto há evidências para apoiar a afirmação que a dieta reduz a taxa de colesterol.

30 Exemplo 5: Resolução A estatística do teste: z 0 = / 20 = está na região de significância (rejeição). Portanto há evidências para apoiar a afirmação que a dieta reduz a taxa de colesterol. Observação sobre o valor p: p = P(Z < ) = < 0.05 = α

31 Exemplo 6 Em indivíduos sadios, o consumo renal de oxigênio distribui-se normalmente em torno de 12 cm 3 /min. Deseja-se investigar, com base em 9 indivíduos portadores de uma doença, se esta tem influência no consumo renal de oxigênio. Os dados são: 12.3, 13.1, 11.9, 11.2, 11.6, 11.9, 11.6, 11.0 e O consumo médio para os 9 pacientes foi cm 3 /min e o desvio padrão s = 0.76 cm 3 /min.

32 Exemplo 6 Em indivíduos sadios, o consumo renal de oxigênio distribui-se normalmente em torno de 12 cm 3 /min. Deseja-se investigar, com base em 9 indivíduos portadores de uma doença, se esta tem influência no consumo renal de oxigênio. Os dados são: 12.3, 13.1, 11.9, 11.2, 11.6, 11.9, 11.6, 11.0 e O consumo médio para os 9 pacientes foi cm 3 /min e o desvio padrão s = 0.76 cm 3 /min. { H0 : µ = 12 H 1 : µ 12 (afirmação)

33 Exemplo 6: Resolução Como σ é desconhecido usamos a variável t de Student com n 1 = 8 graus de liberdade e α = 0.05, isto é t c =

34 Exemplo 6: Resolução A estatística do teste é t 0 = X µ 0 s/ n = / 9 = 1.26, que não pertence à região crítica.

35 Exemplo 6: Resolução A estatística do teste é t 0 = X µ 0 s/ n = / 9 = 1.26, que não pertence à região crítica. Portanto não há evidências para apoiar a afirmação que a doença tem influência no consumo renal de oxigênio.

36 Exemplo 6: Resolução A estatística do teste é t 0 = X µ 0 s/ n = / 9 = 1.26, que não pertence à região crítica. Portanto não há evidências para apoiar a afirmação que a doença tem influência no consumo renal de oxigênio. Valor p: p = P( t 8gl > 1.26) = = > 0.05

37 Exemplo 7 O teor de enxofre na análise de um gás distribui-se normalmente em torno de 80 ppb (partes por bilhão) com um desvio padrão de 5 ppb. Deseja-se investigar o teor de enxofre em 6 análises: 83.08, 61.00, 57.00, 80.41, 65.57, Com base nesta análise podemos afirmar ao nível de 5% de significância que o teor de enxofre é diferente de 80 ppb? { H0 : µ = 80 H 1 : µ 80 (afirmação)

38 Exemplo 6: Resolução Como σ é desconhecido usamos a variável t com n 1 = 5 graus de liberdade e α = 0.05, isto é t c =

39 Exemplo 6: Resolução Como σ é desconhecido usamos a variável t com n 1 = 5 graus de liberdade e α = 0.05, isto é t c = A média amostral é X = e o desvio padrão amostral é s =

40 Exemplo 6: Resolução Como σ é desconhecido usamos a variável t com n 1 = 5 graus de liberdade e α = 0.05, isto é t c = A média amostral é X = e o desvio padrão amostral é s = A estatística do teste é t 0 = X µ 0 s/ n = / 6 = 1.46 que não pertence à região crítica. Portanto não há evidências para apoiar a afirmação que a média seja diferente de 80.

41 Exemplo 6: Resolução Como σ é desconhecido usamos a variável t com n 1 = 5 graus de liberdade e α = 0.05, isto é t c = A média amostral é X = e o desvio padrão amostral é s = A estatística do teste é t 0 = X µ 0 s/ n = / 6 = 1.46 que não pertence à região crítica. Portanto não há evidências para apoiar a afirmação que a média seja diferente de 80. Valor p: p = P( t 5gl > 1.46) = = > 0.05

42 Em um teste de hipótese a maior preocupação é com o erro do tipo I, cuja probabilidade α é conhecida. Tem-se uma decisão estatisticamente forte quando se rejeita H 0.