Exercícios Resolvidos

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1 Exercícios Resolvidos R10.1) Velocidade média na estrada Sergio afirma que Raquel dirige seu carro na estrada a uma velocidade média superior a 100 km/h, enquanto Raquel discorda, afirmando dirigir na estrada a uma velocidade média menor ou igual a 100 km/h. Para dirimir essa controvérsia, Sergio resolve cronometrar o tempo (em minutos) que ela gasta ao volante em 10 viagens, sempre pelo mesmo percurso que liga duas cidades distanciadas de 120 km: 73, 68, 73, 61, 70, 78, 63, 64, 74, 62. (a) Quem parece ter razão, ao nível de significância de 5%? (b) Qual o nível crítico? Solução: (a) As hipóteses a serem consideradas são H 0 : µ 100 (Raquel) e H 1 : µ > 100 (Sergio), onde µ é a média populacional da velocidade (em km/h) com que Raquel dirige na estrada. Como o desvio padrão populacional σ é desconhecido, teremos que utilizar a distribuição t de Student com ν = 10 1 = 9 graus de liberdade. O critério de decisão a ser utilizado é então: Rejeitar H 0, se T obs = > t 0,95 = 1,83. Caso contrário, aceitar H 0. Os dados com os quais devemos trabalhar neste caso são as velocidades médias (em km/h) correspondentes a cada uma das 10 viagens. Eles podem ser obtidos através da expressão: velocidade (km/h) = Os resultados obtidos em km/h são: 98,63 105,88 98,63 118,03 102,86 92,31 114,29 112,50 97,30 116,13 Com base nesses dados, temos: = 105,66 ; s = 9,06. Daí, T obs = = 1,97 > 1,83, o que implica que H 0 deve ser rejeitada. Isso significa que, ao nível de significância α = 0,05, Sergio parece estar com a razão. (b) O p-valor no caso é R10.2) Teste de hipótese simples contra alternativa simples com modelo Normal de variância conhecida Queremos testar a hipótese H 0 : = 50 contra a alternativa H 1 : = 52, onde é a média populacional de uma distribuição Normal com variância conhecida 2 = 25. Temos então variáveis aleatórias iid X 1, X 2,...,X n, que seguem todas essa lei de probabilidade, e a média amostral X será usada como estatística de teste. Se as probabilidades dos erros de tipo I e II são pré-fixadas em = 0,01 e = 0,05 respectivamente: (a) Determine qual deve ser o tamanho n da amostra.

2 (b) Qual o critério de decisão para se aceitar ou rejeitar H 0? Solução: Como as hipóteses H 0 e H 1 se referem à média populacional, a estatística de teste será a média amostral. Como 50 < 52, a regra de decisão será : Rejeitar H 0 se X > C, onde C é uma constante a determinar. Sabemos que 0,01 = = P(Erro I) = P(Rejeitar H 0 ), se H 0 é verdadeira. X 50 C 50 Então 0,01 = P[ > C], se =50 0,01 P 5 5 n n C 50 Logo, 2,33 (valor obtido da tabela da Normal Padrão) 5 n Por outro lado, 0,05 β P(ErroII) P(Aceitar H0 ), se H 0 é falsa. (I) X 52 C 52 Então 0,05 = P[ C], se =52 0,05 P 5 5 n n C 52 Logo, 1, 64 (valor obtido da tabela da Normal Padrão) (II) 5 n Resolvendo o sistema de 2 equações a duas incógnitas formado pelas equações (I) e (II), obtemos n = 99 e C = 51,18. R10.3) Testando hipóteses em uma eleição para governador Em uma pesquisa eleitoral referente ao primeiro turno de uma eleição para governador foram ouvidos n = 1000 eleitores selecionados aleatoriamente e entre eles m = 510 declararam-se favoráveis ao candidato A. Deseja-se testar a hipótese H 0 de que a proporção p de eleitores do candidato A é menor ou igual a 0,5 contra a alternativa de que A venceria direto, sem a necessidade do segundo turno. (a) Qual seria a sua decisão ao nível de significância de 5%? Por que? (b) Qual é o p-valor? (c) Se na realidade p = 0,55, qual seria a probabilidade de ser cometido o Erro de tipo II ao ser usada essa mesma regra de decisão? Qual o poder do teste neste caso? Solução: (a) Queremos testar H 0 : p 0,5 contra H 1 : p > 0,5 ao nível de significância α = 0,05. Então neste caso temos p 0 = 0,5 e σ 0 = 0,0158 Por outro lado, 1 α = 0,95 e z 0,95 = 1,645. O critério de decisão é então: Rejeitar H 0 se > 0,5 + 1,645 = 0,526. Como 0,526, a hipótese nula H 0 deve ser aceita. Isso significa que, ao nível de significância α = 0,05, não há evidências suficientes de que o candidato A já tenha ganho a eleição no 1º turno.

3 (b) O p-valor é o menor valor de α para o qual ainda rejeitaríamos H 0, com os dados disponíveis. Então, se p = 0,5. Ou seja, padronizando, temos P(Z > 0,632) = 0,264. Como esse p-valor é excessivamente grande, isso reforça a nossa decisão de não rejeitar a hipótese nula H 0 de que há necessidade de um 2º turno. (c) Se p 1 = 0,55, temos σ 1 =. Então, β = P(Aceitar H 0 ) = P(Z -1,525) = 0,064. O poder do teste neste caso seria então 1 0,064 = 0,936 ou 93,6%. Exercícios Propostos P10.1) Verificação de conceitos básicos Quando estamos testando hipóteses relativas a um parâmetro de uma distribuição de probabilidade: (a) A região de rejeição corresponde aos valores do parâmetro que tornam falsa a hipótese nula. Sim ou não? Por que? (b) A soma das probabilidades dos erros de tipo I e de tipo II é igual a 1. Sim ou não? Por que? (c) O p-valor (também chamado nível crítico) depende do conjunto de dados coletados. Sim ou não? Por que? (d) Apenas com base em uma amostra não podemos afirmar com certeza que H 0 seja verdadeira ou que H 0 seja falsa. Sim ou não? Por que? P10.2) Propaganda enganosa? A propaganda da Companhia de Cigarros Tabacox afirma que o teor médio de nicotina dos cigarros da marca Delicious, que ela fabrica é no máximo, de 0,7 mg. Um organismo fiscalizador analisa 16 cigarros dessa marca, obtendo um valor médio para a amostra analisada de 0,708 mg de nicotina. O organismo decide denunciar o fabricante à Justiça, que o autua por propaganda enganosa e o condena a pagar uma elevada multa. A Companhia decide recorrer. Formulando o problema no contexto de um teste de hipótese, temos: População: todos os cigarros da marca Delicious produzidos pela Companhia de Cigarros Tabacox Propriedade da população a ser analisada: teor de nicotina, representado pela v.a. X. Função de densidade de X: podemos supor distribuição Normal

4 (a) (b) (c) Hipótese Nula: O teor médio de nicotina da marca Delicious é no máximo igual a 0,7 mg. Simbolicamente, H 0 : 0,7 Hipótese Alternativa: O teor médio de nicotina da marca Delicious é maior que 0,7 mg. Simbolicamente, H 1 : > 0,7 Amostra aleatória X 1, X 2,..., X 16 : teor de nicotina em cada cigarro dessa marca selecionado para análise Para um nível de significância de 5%, construa o teste de hipóteses adequado para dirimir essa controvérsia, especificando a estatística de teste e as regiões de aceitação e de rejeição. Se os valores de teor de nicotina dos 16 cigarros da amostra coletada são: 0,718 0,703 0,692 0,792 0,657 0,679 0,706 0,719 0,673 0,682 0,665 0,684 0,770 0,761 0,699 0,728 qual a decisão a ser tomada? Qual é o p-valor neste caso? P10.3) Arqueologia Os crânios encontrados são de que raça? Suponha que a longitude máxima de crânios humanos de uma certa raça A da antiguidade pode ser encarada como uma variável aleatória com distribuição Normal de média 145 mm e desvio padrão 12 mm. Por outro lado, para uma segunda raça B, a longitude máxima dos crânios segue uma distribuição Normal com média 149 mm e o mesmo desvio padrão de 12 mm. Admita agora que, em uma escavação, foram encontrados 36 crânios e há dúvidas quanto à raça da população da qual eles são provenientes. Evidências adicionais encontradas nessa escavação mostram que os crânios só podem ser de uma das duas raças: A ou B. Os antropólogos consultados acreditam que a longitude máxima do crânio fornece uma boa medida para se especificar a raça. Como decidir de que raça são os crânios encontrados? (a) Formule o problema em um contexto de teste de hipótese, especificando claramente o que seriam H 0 e H 1. (b) Qual o critério de decisão a ser utilizado, se decidirmos trabalhar a um nível de significância α = 5%? (c) Neste caso qual seria a probabilidade β de se cometer o erro tipo II? P10.4) Viscosidade em um processo químico Um artigo em Quality Engineering (Vol. 4, 1992, PP ) apresenta dados sobre viscosidade em um lote de um processo químico. Uma amostra desses dados é apresentada a seguir (ler de cima para baixo, da esquerda para a direita). 13,3 14,5 15,3 15,3 14,3 14,8 15,2 14,5 14,6 14,1 14,9 13,7 15,2 14,5 15,3 15,6 15,8 13,3 14,1 15,4 15,8 13,7 15,1 13,4 14,1 14,8 14,3 14,3 16,4 16, ,9 13,6 15,3 14,3 15,6 16,1 13,9 15,2 14,4 14,3 16,1 13,1 15,5 12,6 14,6 14,3 15,4 15,2 16,8 15,2 15,2 15,9 16,5 14,8 15, ,9 14, ,2 16,9 14,9 15,2 14,4 15,2 14,6 16,4 14,2 15, ,4 13,7 13,8 15,6 14,5 12,8 16,1 16,6 15,6

5 (a) Teste a hipótese de que neste processo a média populacional da viscosidade é igual a 15 contra a alternativa de que ela é diferente de 15, ao nível de significância de 5%. (b)qual o nível crítico? P10.5) Valor médio de Nitrogênio Total em uma amostra de combustíveis Se µ é a média do conteúdo de Nitrogênio Total em um determinado combustível, deseja-se testar a hipótese nula H 0 : µ = 130 contra a hipótese alternativa H 1 : µ 130, admitindo que essa variável segue uma distribuição Normal. Para isso foi coletada uma amostra com n = 33 observações, com base na qual obtivemos Σx = 4484 e Σx 2 = (a) Qual a sua conclusão ao nível de significância de 5%? (b) Qual o nível crítico? P10.6) Mais uma vez os implantes mamários Usando de novo os dados dos Exercícios P7.4 e P9.2: 72,2 80,1 70,4 67,8 70,9 72,1 75,1 73,0 59,4 77,2 65,1 66,5 64,1 79,0 70,6 70,3 63,1 64,4 74,9 75,3 relativos à tensão de ruptura para uma amostra de n = 20 implantes mamários produzidos por um determinado fabricante, teste a hipótese de que a média populacional dessa variável é igual a 70 contra a alternativa de que ela é maior que 70, ao nível de significância α = 5%. Suponha que os dados são provenientes de uma distribuição Normal. P10.7) Desempenho de automóvel O fabricante de um determinado modelo de automóvel alega que, sob condições de tráfego tipicamente urbanas, esse carro faz, em média, pelo menos 10 quilômetros por litro de gasolina. A proprietária de um automóvel desse modelo registrou o desempenho do seu carro em nove ocasiões diferentes em que ela encheu o tanque com gasolina e conduziu no perímetro urbano. Os resultados, em quilômetros por litro, foram os seguintes: 7,80 9,30 9,15 10,05 10,75 9,20 9,55 10,20 9,50 Verifique se a alegação do fabricante se sustenta, realizando um teste ao nível de significância de 5%. Liste cuidadosamente as suposições que você deve fazer para o uso desse teste. P10.8) Teste sobre a proporção de eleitores que apóiam Seu Fernando Foi realizada uma pesquisa eleitoral na cidade em que Seu Fernando é candidato a prefeito. Sabe-se que: n = 1625 eleitores foram ouvidos quanto às suas preferências nessa eleição

6 entre eles, m = 475 revelaram sua intenção de votar em Seu Fernando Se p é a proporção de eleitores na cidade que pretendem votar nele: (a) Teste a hipótese nula H 0 : p 0,30 contra a alternativa H 1 : p < 0,30, ao nível α = 1%. (b) Determine o nível crítico. P10.9) Teste bilateral de proporção Queremos testar a hipótese nula H 0 : p = 0,20 contra a alternativa H 1 : p 0,20, onde p é a proporção de elementos de uma população que possuem determinada característica. Para isso será usada uma amostra com n = 500 elementos dessa população. Seja X o número de elementos da amostra com a característica aqui considerada. O critério de decisão a ser utilizado é: Aceitar H 0 se 82 X 118 e rejeitar H 0 em caso contrário. (a) Determine o nível de significância relativo a esse teste. (b) Determine a probabilidade do erro de tipo II, caso o valor real de p seja 0,25. Qual o poder do teste neste caso? P10.10) Testando hipóteses sobre a proporção de pessoas com nível superior Estima-se em 30% a proporção dos habitantes adultos de certa localidade que têm curso superior completo. Para testar tal hipótese escolhe-se uma amostra aleatória de 15 habitantes adultos. Se, dentre eles, houver de 2 a 7 indivíduos com curso superior completo, aceitaremos a hipótese H 0 : p = 0,30. Caso contrário, ela será rejeitada em favor de H 1 : p 0,30. (a) Determinar o nível de significância do teste. (b) Determinar = P[Erro tipo II], para a alternativa p = 0,2. (c) Determinar = P[Erro tipo II], para a alternativa p = 0,4. Obs.: 1. Note que para n = 15 não é adequado aproximar a binomial por uma Normal. 2. A tabela abaixo contem os valores de P(X k), onde X Binomial(15;p), para (p = 0,2), (p = 0,3) e (p = 0,4) e para k variando desde 0 até 15: p k ,2 0,035 0,167 0,398 0,648 0,836 0,939 0,982 0,996 0,3 0,005 0,035 0,127 0,297 0,515 0,722 0,869 0,950 0,4 0,000 0,005 0,027 0,091 0,217 0,403 0,610 0,787 p k ,2 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,3 0,985 0,996 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,4 0,905 0,966 0,991 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000