Teste de hipóteses. Tiago Viana Flor de Santana

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1 ESTATÍSTICA BÁSICA Teste de hipóteses Tiago Viana Flor de Santana sala 07 Curso: MATEMÁTICA Universidade Estadual de Londrina UEL Departamento de Estatística DSTA

2 Testes de hipóteses Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 2 / 40

3 Introdução Exemplo Uma indústria usa, como um dos componentes das máquinas que produz, um parafuso importado, que deve satisfazer a algumas exigências. Uma dessas é a resistência à tração. Esses parafusos são fabricados por alguns países, e as especificações técnicas variam de país para país. Por exemplo, o catálogo do país A afirma que a resistência média à tração de seus parafusos é de 145kg, com desvio padrão de 12kg. Já para o país B, a média é de 155kg e desvio padrão 20kg. Um lote desses parafusos, de origem desconhecida, será leiloado a um preço muito convidativo. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 3 / 40

4 Introdução Para que a indústria saiba se faz ou não uma oferta, ela necessita saber qual país produziu tais parafusos. O edital do leiloeiro afirma que, pouco antes do leilão será divulgada a resistência média x de uma amostra de 25 parafusos do lote. Suponha que interessa a indústria fazer uma proposta apenas no caso do parafuso ser de origem B. Qual a regra de decisão deve ser usada pela indústria para dizer se os parafusos são do país B ou de outros países? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 4 / 40

5 Introdução Suponha que no dia do leilão, fôssemos informados de que x = 148. Qual decisão tomar? Podemos estar errados na decisão? É possível que uma amostra de 25 parafusos de origem B apresente média de x = 148? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 5 / 40

6 Introdução Hipóteses H 0 : os parafusos são de origem B X segue uma distribuição com média µ = 155 H 1 : os parafusos não são de origem B X segue distribuição desconhecida média µ =? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 6 / 40

7 Introdução As hipóteses podem ser representadas de forma mais sucinta, por exemplo H 0 : µ = 155 H 1 : µ 155 (Hipótese bilateral) Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 7 / 40

8 Introdução As hipóteses podem ser representadas de forma mais sucinta, por exemplo H 0 : µ = 155 H 1 : µ 155 (Hipótese bilateral) H 0 : µ = 155 H 1 : µ < 155 (Hipótese unilateral à esquerda) H 0 : µ = 155 H 1 : µ > 155 (Hipótese unilateral à direita) Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 7 / 40

9 Introdução Região Crítica (RC) RC = { x : x x c1 ou x x c2 } Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 8 / 40

10 Introdução Região Crítica (RC) RC = { x : x x c1 ou x x c2 } RC = { x : x x c1 } RC = { x : x x c2 } Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 8 / 40

11 Introdução Erro Tipo I: dizer que os parafusos não são de B quando na realidade são. Erro Tipo II: dizer que os parafusos são de B quando na realidade não são. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 9 / 40

12 Introdução A probabilidade de cometer um erro tipo I ou tipo II pode ser representada por: P( Erro Tipo I ) = P( X RC H 0 é verdadeira ) = α P( Erro Tipo II ) = P( X RC H 0 é falsa ) = β RC: Região crítica. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 10 / 40

13 Introdução Fixando α = 5% tem-se 5% = P( Erro tipo I ) = P( X < x c1 ou X > x c2 X Normal(155; 16) ) e onde obtém-se = P (Z < 1, 96 ou Z > 1, 96) e com região crítica 1, 96 = x c , 96 = x c x c1 = 147, 16 x c1 = 162, 84 RC = { x : x < 147, 16 ou x > 162, 84} Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 11 / 40

14 Introdução Exemplo Uma máquina automática para encher pacotes de café enche-os segundo uma distribuição normal, com média µ e variância sempre igual a 400g 2. A máquina foi regula para µ = 500g. Periodicamente uma amostra de 16 pacotes é colhida para verificar se a produção está sob controle, isto é µ = 500g ou não. Se uma dessas amostras apresentar média x = 492g, deve-se parar a produção para regular a máquina ou não? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 12 / 40

15 Introdução 1. Definindo a v.a. X como sendo o peso de cada pacote, tem-se que X Normal(500g, 400g 2 ) e as hipóteses a serem testadas serão: { H0 : µ = 500g H 1 : µ 500g 2. O peso médio amostral dos pacotes é dado pela estatística X Normal ( 500g, 25g 2) Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 13 / 40

16 Introdução 3. Fixando α = 1%. A região crítica será dada por e e portanto 2, 58 = x c , 58 = x c x c1 = 487, 1 x c2 = 512, 9 RC = { x : x < 487, 1g ou x > 512, 9g} 4. A média obtida da amostra é x = 492g. Como x RC H 0 não deve ser rejeita 5. Conclusão: O desvio da média da amostra pode ser considerado como devido apenas ao sorteio aleatório dos pacotes. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 14 / 40

17 Exercícios Exercícios 6, 7, 8 e 9 pág 347 Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 15 / 40

18 Teste para a proporção Teste para proporção Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 16 / 40

19 Teste para a proporção Exemplo Uma estação de televisão afima que 60% dos televisores estavam ligados no seu programa especial da última segunda-feira. Uma rede competidora deseja contestar essa afirmação e decide usar uma amostra de 200 famílias para um teste. Qual deve ser o procedimento adotado para avaliar a veracidade da afirmação da estação? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 17 / 40

20 Teste para a proporção 1. Definindo a v.a. X como sendo a característica ter assistido ou não o programa especial, tem-se que X Bernoulli(p) e as hipóteses a serem testadas serão: { H0 : p = 0, 6 H 1 : p < 0, 6 *Se H 0 não for verdadeira espara-se um proporção menor. 2. A proporção de 200 famílias que assistiram ao programa é dada pela estatística ( ) 0, 24 ˆP Normal 0, 6 ; 200 Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 18 / 40

21 Teste para a proporção 3. Fixando α = 5% e sob suposição que H 0 seja verdadeira. A região crítica dada por ( ) P Z ˆp c 0, 6 = 0, 05 0, 24/200 ˆp c 0, 6 0, 24 = 1, 645 ˆp c = 1, 645 0, 24/ , 6 ˆp c = 0, 544 é RC = {ˆp : ˆp < 0, 544} Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 19 / 40

22 Teste para a proporção 4. Admitindo que, na pesquisa feita com as 200 famílias, obtive-se 104 pessoas que assistiram o programa. A proporção da amostra é ˆp = 104/200 = 0, 52. Como ˆp RC H 0 deve ser rejeita 5. Conclusão: Há evidências que a audiência do programa de segunda-feira não foi de 60%, mas inferior a esse valor. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 20 / 40

23 Valor-p Valor-p Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 21 / 40

24 Valor-p Exemplo Considere o exemplo da estação de televisão, cuja proporção amostral foi ˆp 0 = 0, 52 e H 0 : p = 0, 6. Podemos calcular a probabilidade de ocorrer valores para ˆP mais desfavoráveis para H 0 que 0, 52. P( ˆP < 0, 52 p = 0, 60) = P(Z < 2, 30) = 1% Logo o valor-p é ˆα = 0, 01. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 22 / 40

25 Valor-p Esse resultado sugere que, se H 0 é verdadeira (p = 0, 6), uma amostra com uma proporção de 0,52 ou menor de audiência é um evento raro de ocorrer. Ou H 0 é falsa. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 23 / 40

26 Valor-p Exemplo Uma companhia de ônibus intermunicipais planejou uma nova rota para servir vários locais situados entre duas cidades importantes. Um estudo preliminar afirma que a duração das viagens pode ser considerada uma v.a. normal, com média igual a 300 minutos e desvio padrão 30 minutos. As dez primeiras viagens realizadas nessa nova rota apresentaram média igual a 314 minutos. Esses resultados comprova ou não o tempo médio determinado nos estudos preliminares? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 24 / 40

27 Valor-p 1. Seja X a duração de cada viagem. As hipóteses adequadas são: { H0 : µ = 300, H 1 : µ Amostras de dez viagens terão média X Normal(µ, σ 2 /10). 3. Sob H 0 e fixando σ = 30, tem-se X Normal(300, 900/10) 4. Como o valor x 0 = 314, pode-se encontrar a probabilidade de ocorrerem amostras com valores de X mais extremos do que esse: P( X > 314 µ = 300) = P(Z > 1, 48) = 0, 07 Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 25 / 40

28 Valor-p Como a distribuição de X é normal, portanto simétrica, tomamos ˆα = 0, 14. O problema consiste em decidir se essa probabilidade corresponde ou não à chance de ocorrer um evento raro. Por ser uma probabilidade não muito pequena, pode-se concluir que não existe muita evidênica para rejeitar H 0. Assim, os estudos preliminares parecem estar corretos. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 26 / 40

29 Valor-p Um problema que pode ocorrer em dobrar a probabilidade, é que o valor de ˆα pode ser maior que um. Por isso, às vezes, é preferível anunciar o valor do valor-p unilateral e a direção segundo a qual a observação afasta-se de H 0. Exemplo: o resultado indica que a chance de ocorrerem amostras com médias iguais ou superiores a 314 é 7%. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 27 / 40

30 Teste para a variância de uma normal Teste para a variância de uma normal Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 28 / 40

31 Teste para a variância de uma normal Hipóteses do teste X N(µ, σ 2 ) Estatística do teste { H0 : σ 2 = σ 2 0, H 1 : σ 2 σ 2 0. χ 2 (n 1)S 2 = σ 2 0 Região crítica para o teste bilateral χ 2 (n 1) RC = (0, χ 2 1] [χ 2 2, ) Nível de significância P(χ 2 RC H 0 ) = P(0 < χ 2 < χ 2 1 ou χ 2 > χ 2 2) = α Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 29 / 40

32 Teste para a variância de uma normal Exemplo Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um produto é controlar sua variabilidade. Uma máquina de encher pacotes de café está regulada para enchê-los com média 500g e desvio padrão de 10g. O peso de cada pacote X segue uma distribuição N(µ, σ 2 ). Colheu-se uma amostra de 16 pacotes e observou-se uma variância de S 2 = 169g 2. Com esse resultado, você diria que a máquina está desregulada com relação a variância? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 30 / 40

33 Teste para a variância de uma normal Hipóteses do teste A estatística do teste é X N(500, 100) { H0 : σ 2 = 100, H 1 : σ χ 2 = = 25, 35 Fixando α = 5% e com n = 16 a região crítica pode ser obtida diretamente da tabela χ 2. RC = ( 0 ; 6, 262 ] [ 27, 488 ; ) Como χ 2 0 RC, aceita-se H 0, isto é, a máquina está sob controle quanto à variância. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 31 / 40

34 Teste para a variância de uma normal Distribuição χ 2 χ t 2 p χ 2 99% 98% 97.5% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 4% 2.5% 2% 1% 0.2% 0.1% Essaéalinhaque apresenta o nível Essaéacoluna de significância que apresenta o grau de liberdade Tabela 3: Quantis da Distribuição χ 2. Graus de liberdade na margem esquerda da tabela e probabilidades p dadas no topo da tabela tal que p = P [χ 2 χ 2 t ]. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 32 / 40

35 Teste para a variância de uma normal Intervalo de confiância para a variância Intervalo de confiância para a variância Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 33 / 40

36 Teste para a variância de uma normal Intervalo de confiância para a variância A construção do intervalo de confiância para σ 2 dado o nível de confiança γ é feita a partir da expressão ) P (χ 21 (n 1)S 2 σ 2 χ 2 2 = γ que permite obter a seguinte desigualdade: Portanto (n 1)S 2 χ 2 2 σ 2 (n 1)S 2 χ 2 2 χ 2 1 [ ] (n 1)S IC(σ 2 2 (n 1)S 2 ; γ) = ; χ 2 1 Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 34 / 40

37 Teste para a variância de uma normal Intervalo de confiância para a variância Exemplo Os dados abaixo referem-se às vendas diárias, em reais, durante uma semana, de carros de uma revendedora. Construa um IC(σ 2 ; 90%). Vendas: 253, 187, 96, 450, 320, 105. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 35 / 40

38 Teste sobre a média de uma normal com σ 2 desconhecido. Teste sobre a média de uma normal com σ 2 desconhecido. Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 36 / 40

39 Teste sobre a média de uma normal com σ 2 desconhecido. Hipóteses do teste X N(µ, σ 2 ) σ 2 é desconhecido Estatística do teste { H0 : µ = µ 0, H 1 : µ µ 0. n( X µ0 ) T = t-student(n 1) S Fixado α, obtém-se a RC para o teste bilateral calculando P( T < t c ) = 1 α RC = (, t c ] [t c, ) Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 37 / 40

40 Teste sobre a média de uma normal com σ 2 desconhecido. Intervalo de confiância para a média com σ 2 desconhecido Intervalo de confiância para a média com σ 2 desconhecido Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 38 / 40

41 Teste sobre a média de uma normal com σ 2 desconhecido. Intervalo de confiância para a média com σ 2 desconhecido A construção do intervalo de confiância para µ com σ 2 desconhecido, dado o nível de confiança γ é feita a partir da expressão P ( ) n( X µ) t γ t γ = γ S que permite obter a seguinte desigualdade: X t γ S n µ X + t γ S n Portanto [ IC(µ ; γ) = X t γ S n ; X + t γ S n ] Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 39 / 40

42 Teste sobre a média de uma normal com σ 2 desconhecido. Intervalo de confiância para a média com σ 2 desconhecido Exemplo Um fabricante afirma que seus cigarros contêm não mais que 30mg de nicotina. Uma amostra de 25 cigarros fornece média de 31,5mg e desvio padrão de 3mg. No nível de 5%, os dados refutam ou não a afirmação do fabricante? Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATÍSTICA 40 / 40