Bioestatística e Computação I

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1 Bioestatística e Computação I Inferência por Teste de Hipótese Maria Virginia P Dutra Eloane G Ramos Vania Matos Fonseca Pós Graduação em Saúde da Mulher e da Criança IFF FIOCRUZ Baseado nas aulas de M. Pagano e Gravreau e Geraldo Marcelo da Cunha

2 Problema X Altura de indivíduos com 12 a 40 anos que sofrem de síndrome alcoólica fetal. Deseja-se inferir se a média μ dessa população é significativamente diferente da média da população de mesma faixa etária que não sofre de síndrome alcoólica fetal μ 0 =160 cm. A distribuição de X é aproximadamente normal com média μ desconhecida. A partir de uma amostra aleatória de 31 indivíduos a média μ foi estimada por =147,4 cm. x Há evidência de que μ μ0?

3 Teste de Hipótese Permite afirmar, com um certo grau de confiança, que uma determinada hipótese numérica é válida.

4 Teste de Hipótese Para cada tipo de hipótese há um tipo de teste Hipótese sobre uma média Hipótese sobre duas médias Hipótese sobre proporções Hipótese sobre variâncias...

5 Teste de Hipótese sobre 1 Média Estamos interessados em afirmar que a média de uma população μ, estimada a partir de uma amostra, é significativamente diferente de um valor pré-estabelecido μ 0.

6 Teste de Hipótese sobre 1 Média Outros exemplos A média de nível sérico de colesterol para a população de homens hipertensos e fumantes é significativamente diferente da população em geral? O volume médio de glóbulos vermelhos é menor do que o normal na população que se encontra em insegurança alimentar moderada ou grave? A média do ângulo de fase da bioimpedância de crianças sépticas é diferente da média das crianças normais?

7 Teste de Hipótese sobre 1 média A média para uma população μ, estimada a partir de uma amostra, é significativamente diferente de um determinado valor μ 0? É necessária uma prova dessa diferença. Até que se prove o contrário, deve-se presumir a igualdade. A hipótese que se deseja provar é como se fosse um crime. Até que se prove o contrário o réu é inocente.

8 Teste de Hipótese sobre 1 média 1.Para provar que uma média μ é diferente de um determinado valor μ 0 começamos afirmando que ela é igual.

9 Teste de Hipótese sobre 1 média Hipótese nula H 0 Hipótese da igualdade Essa é a hipótese que queremos rejeitar. H0 : μ = μ 0 Hipótese alternativa H A Hipótese da desigualdade HA : μ μ 0

10 Teste de Hipótese sobre 1 média 2.Estabelece-se o nível de significância do teste, a probabilidade de errar se a hipótese nula for verdadeira. 3.Retira-se uma amostra aleatória da população de interesse e estima-se a média μ a partir da média amostral. x 4.Há evidência significativa de que μ seja diferente de μ 0? 5.Se sim, rejeita-se a hipótese nula e aceita-se a hipótese alternativa. 6.Se não, só podemos afirmar que não há evidência da diferença.

11 Teste de Hipótese sobre 1 média Portanto, o interesse em se realizar um teste de hipótese é sempre rejeitar a hipótese nula (H 0 ) em favor da hipótese alternativa (H A ).

12 Teste de Hipótese sobre 1 média Ao pressupor que H 0 é verdadeira, pode-se supor também a respeito da distribuição de probabilidade de X. Se H 0 é verdadeira: X ~N 0, n A partir daí podemos estabelecer a probabilidade de X assumir um valor tão ou mais extremo que o observado e decidir se é realmente plausível que H 0 seja verdadeira. Se partíssemos de H A, não teríamos uma distribuição de probabilidade definida.

13 Teste de Hipótese sobre 1 média Teste bilateral H0 : μ = μ 0 HA : μ μ 0 Teste unilateral H0 : μ μ 0 HA : μ > μ 0 H0 : μ μ 0 HA : μ < μ 0 Juntas, as duas hipóteses devem cobrir todos os valores possíveis para a média μ.

14 Teste de Hipótese sobre 1 média Deseja-se inferir se a média de altura da população com 12 a 40 anos que sofre de síndrome alcoólica fetal μ é significativamente diferente da média da população de mesma faixa etária que não possui a síndrome μ 0 =160cm. Considere σ = 6cm. Hipótese nula H 0 : μ = μ 0 =160cm Hipótese alternativa H A : μ μ 0 ou μ 160cm (teste bilateral)

15 Teste de Hipótese sobre 1 média Vamos estabelecer que queremos rejeitar a hipótese nula com uma probabilidade de erro de 5%. Nível de significância α = 0,05 O pesquisador escolhe o α dependendo da precisão que deseja, das evidências na literatura,

16 Teste de Hipótese sobre 1 média Selecionou-se uma amostra aleatória de 31 indivíduos da população de interesse, obtendo-se uma altura média de 147,4 cm. Há evidência significativa de que μ seja diferente de μ 0 =160cm? Com um nível de significância α de 5%, que valores de nula? x nos levariam a rejeitar a hipótese

17 Teste de Hipótese sobre 1 média Se H 0 fosse verdadeira = 0 =160cm X ~N 0, n Z = X 0 / n = X 160 6/ 31 α=0,05 P(Z<-z ou Z>z) = 0,05 z = ± 1,96 Região de Rejeição: Z<-1,96 ou Z>1,96 x Distribuição Normal Padrão α/2 = 0,025 0,025 0, z -1,96 1,96 Para um determinado, se Z estiver na região de rejeição, estaremos observando um evento muito improvável (probabilidade < 5%). Nesse caso, rejeitaríamos a hipótese nula.

18 Teste de Hipótese sobre 1 média Para a amostra selecionada x=147,4 Z = x 160 6/ 31 =147, / 31 Como Z está na região de rejeição, há evidência de que H 0 seja falsa. Rejeitamos a hipótese nula de que μ=μ 0 =160cm. 0,025 0,025 0,95 = 11, z -1,96 1,96 Podemos afirmar, com 5% de chance de erro, que a média de altura μ da população com síndrome alcoólica fetal é significativamente diferente da média da população em geral μ 0.

19 Teste de Hipótese sobre 1 média Outra forma de concluir o teste p-valor Probabilidade de observar uma média amostral tão ou mais extrema que o valor observado, caso H 0 fosse verdadeira. p = P(Z<-11,7 ou Z>+11,7) =? Pela tabela A.3 p<0,001 ou p 0 Como p<α, rejeita-se a hipótese nula.

20 Teste de Hipótese sobre 1 média Deseja-se testar se a média μ do nível sérico de colesterol da população de homens hipertensos e fumantes é significativamente diferente da população de homens em geral μ 0 =211mg/100ml. O nível de significância desejado é α = 5% e o desvio-padrão da população em geral é σ = 46mg/100ml. Seleciona-se aleatoriamente uma amostra de 12 homens hipertensos fumantes e mede-se um nível médio de colesterol de 217mg/100ml.

21 Teste de Hipótese sobre 1 média Solução 0 =211, =46, =0,05, n=12, x=217 Hipóteses H 0 : μ = μ 0 =211 H A : μ μ 0 ou μ 211 Região de rejeição para α=5% Z<-1,96 ou Z>+1,96 Para =217 x Z = x 0 / n = / 12 =0,45

22 Teste de Hipótese sobre 1 média α = 0,05 Se H 0 é verdadeira Região de rejeição Padronização µ= x z = z

23 Teste de Hipótese sobre 1 média Z está fora da região de rejeição Não rejeita-se a hipótese nula Não há evidência significativa de que a média μ do nível sérico de colesterol da população de homens fumantes e hipertensos seja diferente da média da população de homens em geral μ 0. Mas também não há prova de que seja igual. Não se pode afirmar que μ = μ0. Pode ser que μ seja igual a outro valor. H 0 nunca é aceita, apenas H A não é rejeitada.

24 Teste de Hipótese sobre 1 média Conclusão pelo p-valor Z = 0,45 p = P(Z<-0,45 ou Z>+0,45) teste bilateral Pela tabela A.3, p = 2 x 0,326 = 0,652 p>α Não rejeita-se a hipótese nula.

25 Teste de Hipótese sobre 1 média Teste unilateral Queremos determinar se o nível médio de hemoglobina μ para a pop. de crianças de até 6 anos expostas a altos níveis de chumbo é menor do que a média para crianças não expostas, pois não é razoável imaginar que seria maior. Considere α=5%, a média p/ não expostos μ =12,29 g/100ml e σ=0,85 g/100ml. 0 Uma amostra aleatória de 74 crianças expostas a altos níveis de chumbo apresentou nível médio de hemoglobina de 10,6 g/100ml.

26 Teste de Hipótese unilateral Solução 0 =12,29, =0,85, =0,05, n=74, x=10,6 Hipóteses p/ teste unilateral H 0 : μ 12,29 H A : μ < 12,29 Região de rejeição para α=5% Z<-1,645 Para =10,6 x α = 0,05 0,95 Distribuição Normal Padrã Z = x 0 / n =10,6 12,29 0,85/ 74 = 17, ,645

27 Teste de Hipótese unilateral Z está na região de rejeição Rejeita-se a hipótese nula. Conclusão pelo p-valor Z = -17,1 p = P(Z<-17,1) teste unilateral Pela tabela A.3, p 0 p<α Rejeita-se a hipótese nula.

28 Teste de Hipótese para uma média Teste bilateral p z z Teste unilateral p Deve ser decidido antes de selecionar amostra Teste bilateral é sempre mais conservador p 2x maior z

29 Teste de Hipótese para uma média Teste Z σ conhecido Teste t σ desconhecido

30 Teste t A população de bebês normais possui nível médio de alumínio no plasma de 4,13μg/l. Ao selecionar aleatoriamente uma amostra de 10 bebês que recebem antiácidos com alumínio, obteve-se uma média de 37,2μg/l e um desvio-padrão de 7,13μg/l. A um nível de significância de 5%, há evidências de que a população que recebe antiácidos possua nível médio de alumínio plasmático diferente da população que não recebe?

31 Teste t Solução 0 =? =? n=? x=? desvio-padrão s=? Teste bilateral ou unilateral?

32 Teste t Solução 0 =4,13, =0,05, n=10, x=37,2, s=7,13 Hipóteses p/ teste bilateral H 0 : μ = 4,13 H A : μ 4,13 Região de rejeição para t9 e α=5% (tabela A.4) t<-2,262 ou t>2,262 x Para =37,2 t= x 0 s/ n = 37,2 4,13 7,13/ 10 =14,67 Distr. t com 9 gl 0,025 0,025 0, z -2,262 2,262

33 Teste t t está na região de rejeição Rejeita-se a hipótese nula. Conclusão pelo p-valor t = 14,67 p = P(t<-14,67 ou t>14,67) - teste bilateral Pela tabela A.4, p < (2*0,0005), p<0,001 0 p<α Rejeita-se a hipótese nula.

34 Resumindo Testes de hipótese para 1 média Desvio padrão Teste Estatística de teste Lateralidade Região de rejeição populacional σ Z Z = X 0 / n bilateral Z >z α/2 unilateral Z >z α amostral s t t= X 0 s/ n bilateral unilateral t >t n-1,α/2 t >t n-1,α

35 Tipos de Erro Conclusão do teste Não rejeita H 0 Rejeita H 0 Erro tipo I População H 0 verdadeira H 0 falsa μ = μ 0 Correto Erro tipo I α Rejeitar H 0 quando ela é verdadeira μ μ 0 Erro tipo II β Correto P(Erro tipo I) = P(Rejeitar H 0 H 0 verdadeira) = α Nível de significância Ao repetir vários testes, se H 0 for verdadeira, em 5% deles concluiríamos erroneamente que H 0 é falsa.

36 Tipos de Erro Conclusão do teste Erro tipo II População H 0 verdadeira H 0 falsa μ = μ 0 Não rejeitar H 0 quando ela é falsa μ μ 0 Não rejeita H 0 Correto Erro tipo II - β Rejeita H 0 Erro tipo I - α Correto P(Erro tipo II) = P(não rejeitar H 0 H 0 falsa) = β Se H 0 for falsa, β é a proporção de repetidos testes nos quais concluiríamos erroneamente que H 0 é verdadeira. Poder do teste = 1- β, propabilidade de acertar quando H 0 é falsa

37 Teste de Hipótese e Intervalo de Confiança Nível sérico colesterol de fumantes e hipertensos H 0 : = 0 =211, =46, =0,05, n=12, x=217 Intervalo de confiança de 95% (1-α) para μ P(-z < Z < +z) = 0,95 z = ± 1,96 IC95% = x± z n =217±1,96 46 =217±26,02= 190,98 ; 243, ,98 μ 243,02 0 =211 Como o IC95% inclui μ 0, não podemos rejeitar H 0

38 Teste de Hipótese e Intervalo de Confiança Alumínio no plasma de bebês com antiácidos H 0 : = 0 =4,13, =0,05, n=10, x=37,2, s=7,13 Intervalo de confiança de 95% (1-α) para μ P(-t < t 9 < +t) = 0,95 t = ± 2,262 IC95% = x± t n =37,2±2,262 7,13 =37,2±5,1= 32,1 ; 42,3 10 μ 0 =4,13 32,1 42,3 Como o IC95% não inclui μ 0, rejeitamos H 0 com 5% de chance de erro